10年数学建模论文.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天水师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王军祥 2. 麻成军 3. 梁 艳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王志坚 王芳平 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别和罐容表标定摘要储油罐在长时间的使用中，由于地基变形等原因造成罐体的变位，从而导致罐容表发生改变。针对这个问题，我们研究了两种不同油罐在变位前后罐内油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。（1）首先，对椭圆柱体油罐进行分析，分别建立了罐体未变位和倾斜变位时油量体积和高度之间的数学模型。同时，对该模型进行数据模拟，结果与实验数据极为吻合。其次，通过建立倾斜时油量体积和高度之间的数学模型得出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对主体为圆柱两端为球冠体的油罐发生纵向倾斜和横向倾斜时作了研究，得到了变位后油量体积和高度之间的数学模型，发现横向偏转时，其油面高度低于未变位时。接着通过对这个模型的数据模拟得到罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。关键词：储油罐；罐容表标定；数学模型；变位参数一问题的提出及分析 随着社会经济的发展，人们生活水平得到了很大的提高，汽车逐渐普及，路边加油站的数目不断增加。为了方便人们，将有更多的加油站被建成。一般加油站都使用卧式油罐存储油料，但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。现在的问题是，用数学建模的方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，这个问题在加油站管理中是一个很重要的问题。二. 符号说明椭圆柱体中的符号说明（椭圆长轴）； （椭圆短轴）；（油面高度）； （椭圆柱体未倾斜时的罐内油量的体积）；（椭圆柱体倾斜时从中截取的小椭圆柱的体积）；（纵向倾斜角）；主体为圆柱，两端为球冠的柱体中的符号说明（油面高度）； （纵向倾斜角）；（横向偏转角）； （未变位时的圆柱体积）；（纵向倾斜时从中截取的小圆柱的体积）；（油罐两端任意一球冠的体积）；（纵向倾斜时截取小圆柱和两球冠体剩余的体积）；（油罐内油面距罐顶壁的距离）；(横向偏转时油面相对下降的高度)。三模型建立（一）椭圆柱体油罐问题1.椭圆柱体油罐没有倾斜时的高度和体积之间的关系储油罐内油量体积是油量液面高度的函数，某一液面高度下，罐内油的体积为，当油罐中油的高度为时，可以找到一个面元，对在上进行积分，便可得到椭圆柱储油罐内油的高度和体积之间的函数关系式，这样就求出了在没有倾斜的时候油的液面高度和体积之间的函数关系式，如图1所示。xo图1其中 ， ，则椭圆柱体体积为 （1）代入以上数据得 由（1）式得到图2（A）无变位出油油量体积与高度的关系基本成正比关系，对无变位出油实验数据的模拟如图2（B）所示，无变位数学模型拟合结果R2 = 0.9995斜变位进油拟合：R2 =0.9991，理论结果与实验极为吻合。AB图2：无变位出油和倾斜变位出油时油量容积和油位高度的模型（A）与实验数据（B）关系图，圆和三角形数据点代表无变位和变位2.倾斜情况下的液面高度和体积之间的函数关系图3图42ayxCBA建立如图所示的模型，把阴影部分近似成一个椭圆柱体，如图3所示,同上述方法一样求出它的体积和高度之间的关系：则得到柱体部分的体积为 ， ，-再把图中剩余部分体积做近似计算，把剩余的这部分体积的底面近似为圆，可得到这一部分的油量体积和倾斜角之间的关系，如图4所示。= 其中， ，代入上式得椭圆柱体油罐总体积为: （2） 由（2）式我们得到图5（A）倾斜变位出油油量体积与高度的关系，对倾斜变位出油实验数据的模拟如图5（B）所示，两者均成线性关系。同时根据模型给出罐体变位后油位高度间隔为1cm时相应的罐体变位后油位高度间隔1cm与罐容的关系（如图6）。表1为罐体变位后油位高度间隔1cm与罐容的部分数据。AB图5. 倾斜变位油量容积和油位高度的理论模型（A）与实验数据（B）关系图 图6.罐体变为后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值示意图表1. 变位后储油罐油位高度间隔为1cm的罐容表部分标定值V（L）510520530540550560570h(cm)135127139331143534147736151936156136160335V（L）600610620630640650660h(cm)172926177121181315185508189700193890198080 图7. 罐体变为后油位高度间隔为1cm对应罐容间隔标定值示意图（二）圆柱球冠油罐问题研究一个主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐，罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度横向偏转角度）之间的关系。1没有倾斜时液面高度和体积之间的关系如图8所示，可以求出和(球冠的面积)，由+积分可得到关于体积和高度的函数:AByoxyho图8. 圆柱球冠截面图(A)和球冠截面图(B)由于两端对称,一个球冠的体积为则 (4) 由（4）式得到图8（A）无变位油量体积与高度的关系，对无变位出油实验数据的模拟如图8（B）所示，理论结果与实验亦完全吻合。AB图9：无变位进/出油时油量容积和油位高度的理论模型（A）与实验数据（B）关系图，圆和三角形数据点代表无变位和变位，图中曲线为多项式拟合线。2考虑纵向倾斜和横向倾斜（1）罐体纵向倾斜时，把中间的部分近似成一个圆柱体，如图10所示求出柱体体积，对球冠部分积分可以算出，剩余部分近似为。yxo图10A：柱体体积：把中间的阴影部分近似成一个圆柱体,则它在轴方向上截取一个截面，该截面为一长方形，其宽为，长为，D为罐体直径，则面积为，其中将其截面在轴方向进行积分，即可得到该圆柱体的体积B：两端球冠体积： 该油罐的直径D减去即为所截圆柱体两端小球冠的直径，则其半径为，取油面高度为，在球冠上取平行轴的面积，该面积的半径为，面积为，则一个球冠的体积为对其面积在轴方向积分，如图11所示oxy图11C：三角部分的体积：如上图10所示，除截去圆柱体及两个相等的球冠体后，剩余部分近似为两个相同的三角锥体，将这两个三角锥体合在一起成为一个底面为三角形，高为的柱体 。而底面三角形的面积为扇形的面积减去小三角形的面积，然后其面积与高的积即为剩余的三角柱体的体积（2）横向倾斜时，如图12所示，半径为R，没倾斜时液面高度为，当倾斜时，假设偏转瞬间液面仍保持水平，但探针随整个装置倾斜，浮子下降，假设设浮子下降的高度为。 xmhyo图12 其中 ， ，+ = + （5） 由（5）式得图13，为倾斜变位后油量体积与高度的关系，与图9（A）比较，和横轴有一个交点，说明纵向变位和横向变位后，油浮子上升。 图13. 变位后理论模型油量容积和油位高度关系由式（5）给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的关系，如图14所示 （6）图14. 实际储油罐油位高度间隔为10cm的罐容示意图表2 . 油位高度间隔为10cm的罐容表部分标定值V（L）528.43192.45857.48523.411190.413858.416527.4h(cm)300400500600700800900V（L）19197.421868.424540.427213.429887.432562.435238.4h(cm)1000110012001300140015001600四 模型评价与分析1.对椭圆罐体，首先，通过建立的数学模型和实验数据的比较，图2和图5可见，模型拟合的数据与实验结果极为吻合，相关系数为R2为0.9994。其次，图2显示，罐体倾斜变位后使表读数升高，这一点也与我们建立的模型相符。2.从实际储油罐的数学模型计算结果和实验数据的比较（图12和图13）可见，问题二中纵向倾斜对结果有较大的影响。横向倾斜使浮子下降与所建立的模型和计算相符。3.通过表