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等差数列及其通项公式 一般地 如果一个数列a1 a2 a3 an 从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数d a2 a1 a3 a2 an an 1 d那么这个数列就叫做等差数列 常数d叫做等差数列的公差 知识回顾 an 1 an d n n 通项公式的推导1 归纳猜想 设一个等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则有 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d 所以有 an a1 n 1 d当n 1时 上式也成立 所以等差数列的通项公式是 an a1 n 1 d n n 问an 通过观察 a2 a3 a4都可以用a1与d表示出来 a1与d的系数有什么特点 a1 an n d知三求一 a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d an a1 n 1 d a2 a1 d a3 a2 d a1 d d a1 2da4 a3 d a1 2d d a1 3d 叠加得 等差数列的通项公式推导2 叠加 例 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行 此后每4年举行一次 奥运会如因故不能举行 届数照算 1 试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 2 2008年北京奥运会是第几届 2050年举行奥运会吗 解 1 由题意知 举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项 4为公差的等差数列 这个数列的通项公式为an 1896 4 n 1 1892 4n n n 2 假设an 2008 由2008 1892 4n 得n 29 假设an 2050 2050 1892 4n无正整数解 答 所求通项公式为an 1892 4n n n 2008年北京奥运会是第29届 2050年不举行奥运会 例 在等差数列 an 中 已知a3 10 a9 28 求a12 推广 等差数列 an 中 am an n m 等差数列的通项公式一般形式 an am n m d 解 由题意得 a1 2d 10a1 8d 28 所以a12 4 12 1 3 37 注 a12 a1 11d a1 2d 12 3 d a3 12 3 d a1 8d 12 9 d a9 12 9 d 解得 a1 4d 3 练一练 已知a5 11 a8 5 求等差数列 an 的通项公式 练习 1 填空题 1 已知等差数列3 7 11 则a11 2 已知等差数列11 6 1 则an 3 已知等差数列10 8 6 中 10是第 项 43 5n 16 11 练习 2 已知等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 求首项a1和公差d 变式引申 如果一个数列 an 的通项公式an kn d 其中k b都是常数 那么这个数列一定是等差数列吗 语言描述这种现象 想一想 在等差数列 中 为公差 若 且 求证 证明 设首项为 则 例2 等差数列的性质 若p q呢 练习 在等差数列 an 中 1 已知a6 a9 a12 a15 20 求a1 a20 2 已知a3 a11 10 求a6 a7 a8 分析 由a1 a20 a6 a15 a9 a12及a6 a9 a12 a15 20 可得a1 a20 10 分析 a3 a11 a6 a8 2a7 又已知a3 a11 10 a6 a7 a8 a3 a11 15 例题分析 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 2a 5 3a 2 则a等于 a 1b 1c 2d 2 b 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 2 2a 5 3a 2 a 6 提示1 提示 d an 1 an 4 35 3 在等差数列 an 中 1 若a59 70 a80 112 求a101 2 若ap q aq p p q 求ap q d 2 a101 154 d 1 ap q 0 课堂练习 4 例3 练习 已知 求的值 解 小结 掌握等差数列的通项公式 并能运用公式解决一些简单的问题 an a1 n 1 d 提高观察 归纳 猜想 推理等数学能力 am an ap aq 上面的命题中的等式两边有相同数目的项 否则不成立 如a1 a2 a3成立吗 说明 3 更一般的情形 an d 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d an 1 an d an a1 n 1 d an kn b k b为常数 am n m d b为a c的等差中项 2b a c 4 在等差数列 a
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