多元函数微分学与应用(ppt 30页).ppt

一 函数 极限 连续 三 多元函数微分学 二 导数与微分 微分学 四 微分学应用 一 函数 极限 连续 1 一元函数 显函数 定义域 使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定 隐函数 参数方程所表示的函数 函数的特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 复合函数 构造新函数的重要方法 初等函数 由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次 复合而成且能用一个式子表示的函数 例如 函数 基本初等函数 常数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数 2极限 极限定义的等价形式 以为例 极限运算法则 无穷小 无穷小的性质 无穷小的比较 常用等价无穷小 两个重要极限 等价无穷小代换 存在 或为 定理 洛必达法则 说明 定理中 换为 之一 条件2 作相应的修改 定理仍然成立 洛必达法则 3 连续与间断 函数连续的定义 函数间断点 第一类 左右极限存在 第二类 左右极限至少有一个不存在 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 重要结论 初等函数在定义区间内连续 例1 设函数 在x 0连续 则a b 提示 例2 若 求a与b的值 二 导数和微分 导数定义 当 时 为右导数 当 时 为左导数 微分 关系 可导 可微 导数几何意义 切线斜率 1 有关概念 例3 设 在 处连续 且 求 解 2 导数和微分的求法 正确使用导数及微分公式和法则 要求记住 高阶导数的求法 逐次求一阶导数 例4 求函数 的导数 解 例5 求函数 在x处的微分 解 三 多元函数微分法 1 多元显函数求偏导和高阶偏导 2 复合函数求偏导 注意正确使用求导符号 3 隐函数求偏导 将其余变量固定 对该变量求导 4 全微分 5 重要关系 例6 已知 解 为正常数 求 解 设 则 例7 设 四 导数与微分的应用 1 导数的几何意义 例8 求曲线 上切线平行于x轴的点 解 由 解得 得 代入 所求点为 函数单调性的判定及极值求法 若 定理1 设函数 则在I内单调递增 递减 在开区间I内可导 2 函数的性态 注意 1 函数的极值是函数的局部性质 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 极值第一判别法 且在空心邻域 内有导数 极值第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 例9 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 因 故为极小值 又 故需用第一判别法判别 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 设函数 在区间I上有二阶导数 凹弧凸弧的分界点为拐点 例9 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹 向上凸 点 0 1 及 均为拐点 凹 凹 凸 的连续性及导函数 例10 填空题 1 设函数 其导数图形如图所示 单调减区间为 极小值点为 极大值点为 提示 的正负作f x 的示意图 单调增区间为 说明 使偏导数都为0的点称为驻点 极值必要条件 函数 偏导数 但驻点不一定是极值点 且在该点取得极值 则有 存在 多元函数极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 时 具有极值 极值充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值