高考数学二轮复习第二部分2.4.3导数与函数的零点及参数范围课件文.pptx

2 4 3导数与函数的零点及参数范围 2 判断 证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性 零点存在性定理 数形结合判断例1设函数f x e2x alnx 1 讨论f x 的导函数f x 零点的个数 2 证明当a 0时 f x 2a aln 难点突破 1 讨论f x 零点的个数要依据f x 的单调性 应用零点存在性定理进行判断 3 2 证明由 1 可设f x 在 0 的唯一零点为x0 当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 单调递减 在 x0 单调递增 所以当x x0时 f x 取得最小值 最小值为f x0 解题心得研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况 4 对点训练1已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 1 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 5 2 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在R有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 6 解题策略二分类讨论法例2已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 难点突破 1 设切点 x0 0 依题意f x0 0 f x0 0 得关于a x0的方程组解之 2 为确定出h x 对自变量x 0分类讨论 确定出h x 后对参数a分类讨论h x 零点的个数 h x 零点的个数的确定要依据h x 的单调性和零点存在性定理 7 解 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 2 当x 1 时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 无零点 当x 0 1 时 g x lnx 0 所以只需考虑f x 在 0 1 的零点个数 8 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 无零点 故f x 在 0 1 单调 所以当a 3时 f x 在 0 1 有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 没有零点 9 解题心得1 如果函数中没有参数 一阶导数求出函数的极值点 判断极值点大于0小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 往往一阶导数的正负不好判断 这时先对参数进行分类 再判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 10 对点训练2已知函数f x alnx a 1 x a R 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 2 当a 1时 讨论函数f x 的零点个数 解 1 函数f x 的定义域为 x x 0 所以f x 在区间 0 1 内单调递减 在区间 1 内单调递增 所以x 1时 函数f x 取得最小值f 1 11 则f x 0 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得最小值f 1 a 由于x 0 从右侧趋近0 时 f x x 时 f x 所以f x 有两个零点 12 当00 f x 为增函数 x a 1 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x 在x a处取极大值 f x 在x 1处取极小值 当0 a 1时 f a 0 即在x 0 1 时 f x 0 而f x 在x 1 时为增函数 且x 时 f x 所以此时f x 有一个零点 13 所以f x 为增函数 且x 0 从右侧趋近于0 时 f x x 时 f x 所以f x 有一个零点 14 已知零点个数求参数范围解题策略一最小值法 例3 2017内蒙古包头一模 文20 已知函数f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 当a 1时 求证 函数f x 在 0 内单调递增 2 若函数y f x t 1有三个零点 求t的值 难点突破 1 先求f x 的导函数f x 再证明f x 0 2 由题意当a 0 a 1时 f x 0有唯一解x 0 y f x t 1有三个零点 f x t 1有三个根 从而t 1 f x min f 0 1 解得t即可 15 1 证明f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 由于a 1 故当x 0 时 lna 0 ax 1 0 所以f x 0 故函数f x 在 0 上单调递增 2 解当a 0 a 1时 f x 2x ax 1 lna f x 2 ax lna 2 0 f x 在R上单调递增 因为f 0 0 故f x 0有唯一解x 0 所以x f x f x 的变化情况如表所示 又函数y f x t 1有三个零点 所以方程f x t 1有三个根 而t 1 t 1 所以t 1 f x min f 0 1 解得t 2 16 解题心得在已知函数y f x 有几个零点求f x 中参数t的值或范围问题 经常从f x 中分离出参数t g x 然后用求导的方法求出g x 的最值 再根据题意求出参数t的值或范围 17 对点训练3已知函数f x 2lnx x2 ax a R 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 2 若函数g x f x ax m在上有两个零点 求实数m的取值范围 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 18 19 解题策略二分类讨论法例4 2017吉林市三模 文20 已知函数f x 曲线y f x 在点 e2 f e2 处的切线与直线2x y 0垂直 其中e为自然对数的底数 1 求f x 的解析式及单调减区间 对k讨论 运用单调性和函数零点存在定理 即可得到k的范围 20 当k 0时 h x 0在x 0 1 1 内恒成立 即h x 在 0 1 内递减 在 1 内也单调递减 又h 1 0 所以在 0 1 和 1 内也无零点 故满足条件 21 若k 2 则h x 在 0 1 内递减 在 1 内单调递增 又h 1 0 所以x 0 1 1 时 h x 0恒成立 故无零点 满足条件 22 当k 2时 h e k 0 综上可得 k的取值范围为k 0或k 2 解题心得在已知函数零点个数的情况下 求参数的范围问题 通常采用分类讨论法 依据题目中的函数解析式的构成 将参数分类 在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意 将满足题意的参数的各个小范围并在一起 即为所求参数范围 23 对点训练4已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 故当x ln 2a 1 时 f x 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 所以f x 在 ln 2a 1 单调递增 在 ln 2a 1 单调递减 24 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 则由 1 知 f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 所以f x 有两个零点 设a 0 则f x x 2 ex 所以f x 只有一个零点 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 25 若a 则由 1 知 f x 在 1 ln 2a 单调递减 在 ln 2a 单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 26 与函数零点有关的证明问题解题策略等价转换后构造函数证明例5设函数f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数F x f x g x 有两个零点x1 x2 求满足条件的最小正整数a的值 27 难点突破 2 求出函数F x 的导数 28 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 所以f x 单调递增区间为 0 此时f x 无单调减区间 2 F x x2 alnx a 2 x 29 所以存在a0 2 3 h a0 0 当a a0时 h a 0 所以满足条件的最小正整数a 3 30 因为t 0 所以m t 0 当且仅当t 1时 m t 0 所以m t 在 0 上是增函数 又m 1 0 所以当t 0 1 m t 0总成立 所以原题得证 解题心得证明与零点有关的不等式 函数的零点本身就是一个条件 即零点对应的函数值为0 证明的思路一般对条件等价转化 构造合适的新函数 利用导数知识探讨该函数的性质 如单调性 极值情况等 再结合函数图象来解决 31 对点训练5 2017河南天一大联考 文21 已知函数f x alnx g x x f x 1 讨论h x g x f x 的单调性 2 若h x 的极值点为3 设方程f x mx 0的两个根为x1 x2 且 1 a 0即