“2013届高中暑假自主学习调查”阅卷总结(苏州期初试卷的分析.doc

“2013届高中暑假自主学习调查”阅卷总结吴江市教育局教研室一、阅卷基本情况第一大题 填空题部分全市平均49.9分，三星高中为42.3分，四星高中56.3分。出错率较高的试题有第4，7，9，13，14题。第4题为复数问题，很多考生不知道 “虚部”的定义；第7题为概率题，问题是对基本事件的个数列举不到位；第9题“构造法”学生较为陌生；第13题学生缺乏整体（或者换元）的思想，没能把看成一个整体，同时也要加强分式函数的训练；第14题绝大多数考生没有做，部分考生以代替。特别值得一提的是第8题结果是焦点在轴上的双曲线方程出错率也相当高。第15题 全市平均9.0分，三星高中6.8分，四星高中10.9分。本题是与三角形相关的三角函数问题，出错主要有以下两个方面：（1）正负号问题，如的负号丢了，中间的减号误写为加号。（2）没有灵活应用配凑法，而是用方程组法：得到两解，其中或，没有详细的理由舍去负值。PFGBAM图1第16题 全市平均9.0分，三星高中7.4分，四星高中10.3分。本题为立体几何题，学生的错误主要有如下方面：（1） 由相似三角形推出线线平行或面面平行；（2） 由面面垂直得到两个平面内任意的两条直线垂直；（3） 由线线平行证线面平行的三个条件有少写现象；（4） 由线线平行跳过线面平行，直接到面面平行；（5） 如图1，点是三角形边AB的中点，点满足，直接得到是的中点。以上（1）、（2）为科学性错误 ，（3）、（4）属于书写欠规范，（5）是缺乏关键步骤。当然，对于（5）的证明，也要求学生掌握。第17题 全市平均3.1分，三星高中1.5分，四星高中4.4分。本题为应用题，有以下几个方面的错误：（1）猜测较多，本题原意为构造函数，求出函数的最小值，说明铁棒的长度大于最小值都无法通过。但是学生多以特殊情况，如等腰直角三角形时不成立作答，对于这种情况，得分一般不超过三分。（2）本题解答方式多样化，可以通过设角、设边、建立直角坐标系处理，但不少同学在作答时，解题过程中一出现困难就换方法，导致卷面不清，且浪费时间。（3）本题通过三角函数处理较多，针对接下去的灵活换元思想，学生还不能灵活应用，不能很好的变形，大多同学采用导数法，求导后出现三次，导致正确率低。（4）部分同学解出最小值后仍判断能够通过，说明学生对生活常识缺乏。（5）用建立坐标系法求解时，需要两次使用基本不等式，取等号的条件没有很好的说明。第18题 全市平均4.1分，三星高中2.6分，四星高中5.4分。本题为解析几何问题，有以下问题值得注意：（1）错误最多的地方为AF1的直线方程，具体体现在直线的斜率错或者点的坐标写错，另外学生运算能力较弱，解方程出错。（2）第二问条件繁琐，找不出规律，学生不会应用，导致无法下手。（3）第二问常用的方法有：由向量方程得出的关系，再由韦达定理代换；直接由条件求出与之间的关系，代入化简；答案提供的“设而不求法”；参数方程法；利用和韦达定理求解。第19题 全市平均得分5.8分，三星高中3.9分，四星高中7.4分。主要问题有：（1）在第1小题中，有部分同学不会求导，有同学利用在上增，从而在上增，而没有证明。（2）在第2小题中，有学生利用分离变量来做，由得出，由于是存在性问题，应求的最大值，有的学生求了最小值，本质上是“存在”与“恒成立”混淆。（3）有的学生得出且，而取了，即逻辑关系没有弄清。（4）第三小题中，有学生在判断得出或时，不会舍去情况，本质上是对定义域的忽视。（5）分类讨论比较混乱，最后也缺乏总结性的结论。第20题 全市平均得分3.8分，三星高中1.8分，四星高中5.5分。本题三问梯度明显，有很好的区分度。第二问除了参考答案的作商法外，还有两种方法：一是作差法；二是夹逼法。第三问，分离变量后，采用分子常数化的方法更好，即：。失分原因如下：（1）第一问得到后不会变形；第二问不少同学只研究了这样一种情况，导致最大项只有一项。（2）第三问：大多数学生不会使用变量分离法进行等价转换；解题不严谨，不会考虑和。附加题1. 矩阵与变换 全市平均得分7.5分，三星高中6.7分，四星高中8.1分。 特征多项式化错；没有写出求特征向量的过程。 2.极坐标与参数方程 全市平均得分8.4分，三星高中7.6分，四星高中8.9分。 余弦和角展开公式化错；弄反；弦长公式出错。 3.概率分布 全市平均得分3.8分，三星高中2.2分，四星高中4.8分。事件的表示不熟练；分布列的概率和为1，应作为解题和验证的依据；答题不规范。4.数学归纳法 全市平均得分3.4分，三星高中1.6分，四星高中4.6分。 答题不规范，基本的格式没有；证时，没有用到归纳假设出错，目标意识弱。二、简单思考及教学建议 本试卷作为期初摸底测试，难度适中，所选试题典型，所考查知识点均为主干知识，所需方法常用，测试结果，全市正卷平均为84.8分，附加为22.7分。 1.在一轮教学中，应采用低起点、全覆盖的复习策略。从阅卷结果来看基本概念、公式学生都有不同程度遗忘，一些基本如：虚部、三角函数的诱导公式、余弦的和角公式、直线的点斜式方程、极坐标与直角坐标的互化等，都成为较多的错误，这必须在一轮复习中得到解决；2.注意对课本题复习，或者变形、改造再使用。如第17题就来源于必修4第一章的一道复习题。但全市均分仅为3.1分。说明平时的教学中对课本题关注不够。事实上近年的高考或者苏州市的模考或多或少都会找到课本题的影子，建议在一轮复习中对课本中典型的例题和习题要做到过一遍。各备课组可以采用分工的形式，对课本题开展梳理、选取，以便在复习的过程中加以渗透。3.在解题教学时要对基本方法进行归纳、提炼。对一些典型问题要让学生一见到就知道采用什么方法，如填空题第9题的构造法、第15题的配凑法、第19题的分离参数法、第20题中用到的分子常数化、夹逼法等方法。此外，对方法的归纳，还要注意及时训练，白天的讲解要和晚上的作业做到一定程度的匹配，从而提高训练效果。4.在学生的薄弱环节进行强化。从阅卷来看：首先，大多数问题都有表达欠规范的问题，这要求教师平时板演要为学生树立好榜样，对学生易疏忽的地方反复加以提醒和训练，如证明线面平面漏条件问题、由线线平行直接到线面平面问题等。其次，计算能力弱，也是不容忽视的问题，要在第一学期时间相对宽松的情况下，放手让学生自己进行计算、引导他们研究算法、算理。如解析几何答案提供的解法中：“两式相乘如何想到的？”就是研究 “算理”的极好说明。再次，分类讨论思想的薄弱，也必须在平时的教学中加以灌输，如第19题讨论混乱和第20题缺少对字母的讨论。5.重视应用问题和解析几何的教学，这两题是提高学生数学分数的关键，也关系到好学生能否上本一，中等生能否上本二。无论是本次考试（平均分分别为3.1和4.1），还是高考，得分都非常低。特别是应用问题，一定要在每章中都进行教学、训练，仅靠在二轮复习中讲一个专题是远远不够的。6.教师应对考试中学生的答题情况和试题作深入研究，结合自己所教的学生情况进行教学，避免就题论题，从而开拓学生思维，让他们自己学会思考。下面提供一个研究范例，供参考，里面的变式和拓展可供不同层次的班级使用。2m2m图2三、试题研究范例本次考试第17题：如图2所示，某建筑物内有一个直角型过道，两过道的宽均为2米，问长为6米的铁棒能否通过该直角型过道？请说明理由。1. 试题原型该试题来源于苏教必修4第一章复习题，原题如下。1.2m1.8m图3一铁棒欲通过如图3所示的直角走道，试回答下列问题：（1）证明棒长；（2）当时，作出上述函数的图象；（可用计算器或者计算机）；（3）求的最小值；（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走道的铁棒的长度的最大值。2.试题的解法分析【方法一】（三角法）：设，得到，下面使用换元法；【方法二】（基本不等式法）：同方法一得出两次使用基本不等式放缩；【方法三】（解析法）建立坐标系，设AB直线方程，求出A和B两点坐标，使用两点间公式得出AB长度，再求最小值。具体解法，见参考答案。【方法四】（导数法）在得出后，对进行求导。事实上导数法是通解通法，不仅可以解决“等宽走道”问题，也可以解决课本上“不等宽走道”问题。3.试题一般化（1）如图2所示，一条直角走道宽为米，若一根铁棒能水平地通过此直角走道，求此铁棒的最大长度。（答案：当时，铁棒EF被直角走道卡住的最小值为米）（2）如图3所示，一条直角走道宽分别为，若一根铁棒EF能水平地通过此不等宽直角走道，求此铁棒的最大长度。简解：则 ，令得，不妨设，易判断，当时，AB取得极小值，也是最小值。此时，代入AB表达式化简可得：。4.试题变式【变式1】某建筑物内有一个直角型过道，两过道的宽相等，若长为米的铁棒恰好能够通过该直角型过道，试求过道的宽。（答案：米）3m3m图4【变式2】某建筑物内有一个水平直角型过道如图4所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米. 问：该设备能否水平移进拐角过道？ 解：由题设，我们以直线OB，OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段 AB长的最小值。设直线AB的方程为，它与圆相切， （1） ，又原点 (0,0)与点M(3,3)在直线的异侧， ，（1）式可化为（2）.下面求（a0,b0）的最小值。设代入（2）得（3），再设，.,代入（3）得 ，记，。，在内有解。这时这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为，故该设备不能水平移进过道。另解: 在上是减函数，。5.试题拓展【拓展】由“等宽直角走道”问题拓展到“等宽非直角走道”问题如图5，一拐角走道宽为米，夹角成，其中。若一根铁棒能水平地通过此走道，求此铁棒的最大长度。图5mm图6C解：（解析法，利用函数的单调性求最值）如图6以平分线为轴，以为原点建立平面直角坐标系。设方程为，其中，则方程为，再设的方程为，其中，由联立可得：，同理可得，则由两点间距离公式：，显然，故，因此随的增大而增大，即是关于的单调减函数。所以当时，取得最小值，化简得。说明：（1）由此可见，本次试题为本题当时的特殊情况，取等号的条件也相同，均为当铁棒与两墙夹角平分线垂直时取到；（2）本题有着鲜活的实际背景，如园林里的九曲桥就是夹角非直角的走道。【拓展2】由“等宽直角走道”问题拓展到“半圆形走道”问题一走廊拐角处的横截面如图7所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于，两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内 壁圆弧相切于点设，试用表示木棒的长度； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值（2010年福建省高考试题）NMABCDEFGHPQ1m1m图7解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为在中，因为，所以因为与圆弧切于点，所以，在，因为，所以，若在线段上，则，在中，因此。若在线段的延长线上，则，在中，因此（2）设，则，因此因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为四、试题变式训练针对阅卷中出错较多或者相对薄弱的地方，选编和改编部分习题，供大家参考。1. 函数的值域是。（07浙江文）（分子常数化）2. 已知且，则 。（变角法）3.已知数列的通项公式，求时，取得最大值。4. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 。（2004年北京高考题改编） 5. 已知，若对所有的均成立，则实数的取值范围是 .（变量分离法）6已知数列的首项为1，以为坐标的点在过椭圆左焦点下顶点直线上。（1）试证明数列是等比数列；（2）求的通项公式。7. 设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围。（2011年江西省高考题改编）8m1m8. 如图所示，一条直角走道宽分别为1m和8m，若一根铁棒EF能水平地通过此不等宽直角走道，求此铁棒的最大长度。9. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，为棱上一点，且。（1）证明平面；（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论。(2004湖南高考题改编)10. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。（2004年天津高考22题改编）（训练多个变量处理问题）参考答案：1238或945 6（1）直线的方程为：，即，所以，即，故，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1），即。7解：（1）已知