2018年全国2卷理科数学试卷及答案.pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 全国 2 卷数学 理科 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是复合 题目要求的 1 12 12 i i A 43 55 iB 43 55 iC 34 55 iD 34 55 i 2 已知集合 22 3Axy xyxyZZ 则A中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3 函数 2 xx ee fx x 的图象大致是 4 已知向量ab 满足 1a 1a b 则2aab A 4 B 3 C 2 D 0 5 双曲线 22 22 100 xy ab ab 的离心力为3 则其渐近线方程为 A 2yxB 3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 6 在 ABC 中 5 cos 25 C 1BC 5AC 则AB A 4 2B 30C 29D 2 5 7 为计算 11111 1 23499100 S 设计了右侧的程序框图 则在空白框中应填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和 如 3 07 2 3 在不超过30 的素数中 随机选取两个不同的数 其和等于30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9 在长方体 1111 ABCDA B C D中 1ABBC 13AA 则异面直线1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 10 若cossinfxxx在aa 是减函数 则a的最大值是 A 4 B 2 C 4 3 D 11 已知 fx 是定义域为 的奇函数 满足11fxfx 若12f 则 12350ffff A 50B 0C 2D 50 12 已知 1 F 2 F是椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的左 右焦点交点 A是 C 的左顶点 点P在过A且 斜率为 3 6 的直线上 12 PF F 为等腰三角形 12 120F F P 则 C 的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 曲线2ln1yx在点00 处的切线方程为 14 若xy 满足约束条件 250 230 50 xy xy x 则 zxy的最大值为 15 已知 sincos1 cos sin0 则sin 16 已知圆锥的顶点为 S 母线SA SB所成角的余弦值为 7 8 SA与圆锥底面所成角为45 若SAB 的面积为5 15 则该圆锥的侧面积为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 记 n S为等差数列 na的前n项和 已知 1 7a 15 3 S 1 求 n a的通项公式 2 求 n S 并求 n S的最小值 18 12 分 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y 单位 亿元 的折线图 为了预测改地区2018 年的环境基础设施投资额 建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年数据 时间变量t的值依次为 127 建立模型 30 413 5yt 根据 2010 年 至 2016 年的数据 时间变量t的值依次为 127 建立模型 9917 5yt 1 分别利用这两个模型 求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 19 12 分 设抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 过F且斜率为0k k 的直线 l 与 C 交于 AB 两点 8AB 1 求 l 的方程 2 求过点AB 且与 C 的准线相切的圆的方程 20 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 2 2ABBC 4PAPBPCAC O 为 AC 的中点 1 证明 PO平面 ABC 2 若点M在棱 BC 上 且二面角MPAC 为 30 求 PC 与平面PAM所成角的正弦值 21 12 分 已知函数 2x fxeax 1 若1a 证明 当0 x 时 1fx 2 若f x在0 只有一个零点 求a 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一部分计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 C 的参数方程为 2cos 4sin x y 为参数 直线 l 的参数方程为 1cos 2sin xla yla l 为参数 1 求 C和l的直角坐标方程 2 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为12 求 l 的斜率 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数52fxxax 1 当1a时 求不等式0fx 的解集 2 若1fx 求a的取值范围 参考答案部分 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B B A A B C C A C D 12 解 4 1 2 3 6 3 2 2 e ca c cPF 二 填空题 13 xy2 14 9 15 2 1 16 240 16 设母线长为a aaa 2 2 OA8055ASBsin 2 1 S 22 ABS 所以 240 2 2 2 1 S 2 aCa 侧 三 填空题 17 解 1 由15 3 S可得 1533 1 da 所以2d 所以92nan 2 16 S4 8 2 n 21 取最小值时 当n nn naa S n n 18 解 1 1 22619 5 134 30 y 5 2569 5 1799 y 2 对于模型 当年份为2016 年时 1 19917 5 134 30 y 对于模型 当年份为2016 年时 5 2217 5 1799 y 比较而言 的准确度高 误差较小 所以选择 19 解 1 F 1 0 设直线 1 xky 联立0 42 1 4 2222 2 kxkxk xky xy 1 42 21 2 2 21 xx k k xx 82AB 21xx k 1 所以直线方程01yx 2 设 AB的中点为N NN yx 设圆心为M a b 所以圆的半径r a 1 因为 2 2 3 2 21 21 yy y xx x N N 所以 MN的方程为2 3 1 xy 即05yx 所以 222 22 b3 aMN ax 由垂径定理 2 2 2 2 AB MNr 即 2 2 32161 aa解得 113aa或 所以圆的方程为 16 2 3 22 yx和144 6 11 22 yx 20 证明 连接BO 因为 AB BC 则 BO AC 所以 BO 2 又因为在 PAC 中 PA PC 4 所以 PO AC 且32PO 因为 222 PBOBPO 所以 PO BO 从而 PO平面 ABC 2 以OB为 x 轴 以OC为 y 轴 以OP为 z 轴 设BCBM B 2 0 0 C 0 2 0 A 0 2 0 P 0 0 32 设 M x y 0 所以 0 2 2 0 2BMBCyx 所以 0 2 2 2M 设 平 面PAC 的 法 向 量 为 0 0 1 1n 设 平 面MPA 的 法 向 量 为 1112zyxn 0 2 2 2 2MA32 2 0PA所以 3 3 1 33 0MA 0PA 2 2 2 2 2 z y x n n 因为二面角MPAC 为 30 所以 2 3 30cos 21 21 0 nn nn 得 3 1 设 PC与平面 PAM所成角为 所以 4 3 PC PC sin 2 2 n n 21 解 1 当 a 1 2 2 2xxx exfxexfxexf 当 单调递增单调递减 2ln 2ln xfxxfx 所以02ln22 2 ln fxf 所以是单调递增在 0 xf 所以1 0 fxf 3 令00 2 a x e xf x 令a x e xg x 2 3 2 x xe xg x 当 单调递减时 0 2 xgxgx 单调递增时 0 2 xgxgx 所以a e gxg 4 2 2 min 当无零点时 0 4 min 2 xgxg e a 当只有一个零点时 0 4 min 2 xgxg e a 0 4 min 2 xg e a时 22 1 曲线 C的直角坐标方程 1 164 22 yx 直线 L 直角坐标方程 2 1 tanxy 2 联立 1 164 22 yx 与 1cos 2sin xla y