2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版).doc

*高考真题 高三数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 1 卷理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-i1设 z=1+i+2i ，则 |z|=12A0 B C 1 D 2解析：选 C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i2已知集合 A=x|x2-x-20 ，则 ? RA =RA =Ax|-1x2 B x|-1 x 2 C x|x2 D x|x -1 x|x 2解析：选 B A=x|x23某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番， 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选 A4设 Sn 为等差数列a n 的前 n 项和，若 3S3=S2+S4， a1=2，则 a5=A-12 B-10 C10 D 12解析：选 3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 d=-3 a 5=-105设函数 f(x)=x3+(a-1)x 2+ax，若 f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x) 在点 (0,0) 处的切线方程为Ay=-2x By=-x C y=2x Dy=x解析：选 D f(x) 为奇函数 a=1 f(x)=x3+x f (x) =3x2+1 f ( 0)=1 故选 D= 6在 ABC中， AD为 BC边上的中线， E 为 AD的中点，则 EB3 -A AB414 BAC14 -AB34 CAC34 +AB14 DAC14 +AB3 AC4第 1页共 7 页*高考真题高三数学=- 1 +BD)=- 1- 1=- 1 -1 -AB)= 3 - 1解析：选A 结合图形， EB (BA BA BC BA (AC AB AC2 2 4 2 4 4 47某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从M到 N的路径中，最短路径的长度为A2 17 B2 5 C3 D 2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长28设抛物线 C：y =4x 的焦点为 F，过点（ 2，0）且斜率为23 的直线与 C交于 M，N两点，则 FM FN=A5 B6 C7 D 8 23解析：选D F(1,0) ，MN方程为 y=(0,2),FN=(3,4)(x+2), 代入抛物线方程解得交点 M(1,2),N(4,4), 则FMFM FN=89已知函数 f(x)=e x， x 0x， x 0lnx ，x0，g(x)=f(x)+x+a 若 g（ x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A 1，0） B0 ，+） C 1，+） D1 ，+）解析：选C g(x)=0 即 f(x)=-x-a ，即 y=f(x) 图象与直线 y=-x-a 有 2 个交点，结合 y=f(x) 图象可知 -a110下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC的三边所围成的区域记为 I ，黑色部分记为 II ，其余部分记为 III 在整个图形中随机取一点，此点取自 I ，II ，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则Ap1=p2 Bp1=p3Cp2=p3 Dp1=p2+p3解析：选A AC=3，AB=4， BC=5，1 3 1AC= AB=2 ,，2 2 21 5BC=2 2以 AC和 AB为直径的两个半圆面积之和为12 (32)1 252 2+ 2 =2 8以 BC为直径的半圆面积与三角形 ABC的面积之差为12 (5)22-1 25 34= -6 ；2 8两个月牙形（ 图中阴影部分）的面积之和等于25 8-(25 8-6)=6= ABC面积p1=p22x11已知双曲线 C：3- y2 =1 ，O为坐标原点， F 为 C的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若 OMN为直角三角形，则 |MN|=第 2页共 7 页高考真题 高三数学32AB3 C 2 3 D4解析：选 B 依题 F(2,0), 曲线 C的渐近线为 y=3x,MN 的斜率为 3，方程为 y= 3(x-2), 联立方程组解得3 3M( ,- 23),N(3, 3), |MN|=3212已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为3 3 4AB2 33C3 24D32解析：选 A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大此时正六边形的边长为2，其面积为 623(42)23 32= 4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x-2y-2 013若 x，y 满足约束条件 x-y+1 0 ，则 z=3z+2y 的最大值为 _y 0解析：答案为 614记Sn 为数列a n 的前 n 项和，若 Sn=2an+1，则 S6=_解析： a1=-1 ，n 2 时， an=Sn-Sn-1 =2an-1 ，an=-2n-1， S 6=2a6+1=-64+1=-636=2a6+1=-64+1=-6315从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有 _种（用数字填写答案）解析：合条件的选法有 C63-C 3=16416已知函数 f(x)=2sinx+sin2x ，则 f(x) 的最小值是 _解析：由题意可得 T=2是 f （x）=2sinx+sin2x 的一个周期，故只需考虑f （x） =2sinx+sin2x 在0 ，2）上的最小值。 f （ x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1) ，令 f （ x）=0 可解得 cosx=1或 cosx=-1 ， 可得此时 x=2 3，或53；y=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在点x=3，或53和边界点x=0 中取到，计算可得 f （33 3） = ，f （） =0，f （253）=-3 3 2，f （0）=0， 函数的最小值为 -3 32三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 60 分。17（ 12 分）在平面四边形 ABCD中， ADC=900， A=450，AB=2，BD=5.（1）求 cos ADB； （2）若 DC=2 2，求 BC.解：（ 1）在 ABD中，由正弦定理得BDsinA AB 2= . 由题设知， sin ADB= . sin ADB 5第 3页共 7 页高考真题 高三数学0由题设知， ADB 90 ，所以 cosADB = 235.2（2）由题设及（ 1）知， cosBDC= sin ADB= .5在BCD中，由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BD DC cosBDC=25 所以 BC=5.18（12 分）如图，四边形 ABCD为正方形， E，F 分别为 AD，BC的中点，以 DF为折痕把 DFC折起，使点 C到达点 P 的位置，且 PFBF.（1）证明：平面 PEF平面 ABFD；（2）求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值 .解：（1）由已知可得， BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF.又 BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PHEF，垂足为 H.由（ 1）得， PH平面 ABFD.以 H为坐标原点， HF的方向为 y 轴正方向， |BF| 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H- xyz.由（1）可得， DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE= 3. 又 PF=1，EF=2，故 PEPF. 可得 PH=3 3 ,EH= .2 2则 H(0,0,0),P(0,0,3),D(-1,-23,0 ), DP=(1, 3,2 23),2=(0,0,HP3) 为平面 ABFD的法向量 .2设 DP与平面 ABFD所成角为，则 sin =| HPDP| DP | |HP|=3.4所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为3.419（12 分）设椭圆 C:2x2+ y2 =1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C交于 A,B 两点，点 M的坐标为 (2,0).（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM的方程；（2）设 O为坐标原点，证明： OMA=OMB.解：（1）由已知得 F(1,0) ，l 的方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为 (1,2) 或(1,-22).2所以 AM的方程为 y= -2x+ 2或 y=22x- 2.2（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA= OMB =00.当 l 与 x 轴垂直时， OM为 AB的垂直平分线，所以 OMA= OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k(x-1)(k 0) ，A(x 1,y 1) ，B(x2,y 2)，第 4 页 共 7 页高考真题 高三数学y 1则 x1 2,x 2 2，直线MA，MB的斜率之和为 kMA+kMB=x1 -2y 2+x2-2.2kx1x2-3k(x 1+x2)+4k由 y1=kx1-k, y 2=kx2-k 得 kMA+kMB=(x 1-2)( x 2-2)将 y=k(x-1) 代入2x2+ y2 =1 得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k2-2=0 所以， x 1+x2=1+x2=24k, x 1x2=22k +12k2-2.22k +1则 2kx 1x2-3k(x 1+x2)+4k = 3 3 34k -4k-12k +8k +4k =02k 2+12+1从而 kMA+kMB=0，故 MA，MB的倾斜角互补，所以 OMA= OMB.综上， OMA=OMB.20（ 12 分）某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品 检验时， 先从这箱产品中任取20 件作检验， 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p0 ；当 p(0.1,1) 时，f ( p)400，故应该对余下的产品作检验 .21（ 12 分）已知函数 f(x)=1x- x+alnx （1）讨论f(x) 的单调性；（2）若 f(x) 存在两个极值点 x1,x 2，证明：f(x 1 )-f(x 2)x1-x 22，令 f ( x)=0 得， x=2a+ a 2-42-4或 x=2.当 x(0,a- a 2 -42 -42) (a+ a 2-42-42,+ ) 时，f ( x)0.所以 f(x) 在(0,a- a 2-42-42) 、(a+ a 2 -42 -42,+ ) 单调递减，在 (a- a 2-42-42,a+ a 2-42-42) 单调递增.（2）由（ 1）知， f(x) 存在两个极值点当且仅当 a2.第 5页共 7 页高考真题 高三数学由于 f(x) 的两个极值点 x1,x 2 满足x 1x2=1，不妨设 x11. 2 -ax+1=0 ，所以 x由于f(x 1)-f(x 2)x1-x 2= -1x 1 x2-1+alnx 1-lnx 2= -2+ ax 1-x 2lnx 1-lnx 2=-2+ ax 1-x 2-2lnx 2，1 -x 2x2所以f(x 1)-f(x 2)x1-x 2a-2 等价于1 x2+2lnx 20.x2设函数 g(x)=1x- x+2lnx ，由（ 1）知，