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第二节 偏导数与高阶偏导数 一 偏导数定义及其计算法 引例 研究弦在点x0处的振动速度与加速度 就是 中的x固定于x0处 求 一阶导数与二阶导数 关于t的 将振幅 定义1 在点 存在 的偏导数 记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意 同样可定义对y的偏导数 若函数z f x y 在域D内每一点 x y 处对x 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 偏导数 记为 或y偏导数存在 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 偏导数定义为 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 对y轴的 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 二 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 数 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 偏导数为 例5 求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 的二阶偏导数及 例如 二者不等 例6 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 则 定理 例如 对三元函数u f x y z 说明 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 函数在其定义区域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有
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