拓扑学教案6《连续映射与同胚》.docx

拓扑学教案62-5 连续映射与同胚一、连续映射 （我们这里先给出映射在点处的连续定义） 定义 1 设和都是拓扑空间，是一个映射。若，且在中的任意邻域的原象为在中的邻域，则称为在点处连续的映射。V f (x)f (x)f -1(V)f -1(V)f f X X Y Y V x x 该定义的空间上分析见下图，左图是连续情况，右图是间断情况。在上述定义中，将“邻域”换成“开集”，意义不变。于是，为在点处连续的定义可以描述为：对于包含的每个开集，必存在包含的开集，使得。这正是本章开始给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。它是连续映射的等价定义。 定义 2 若映射在任一点都连续，则称为上的连续映射。 注：映射在某点处连续具有“局部性”，而连续映射具有“整体性”。定理 1 设映射，下列各条件相互等价（1）是连续映射。 （2）的任一开集在下的原象是的开集。（此条可做连续映射的定义） （3）的任一闭集在下的原象是的闭集。 证明：(1)(2)设连续，是的开集，设的原象。（下面证是开集，即是内点）由于，设是的邻域，根据在点处连续的定义，则是的邻域（即存在开集，），则是的内点。又由的任意性，则，即是开集(即全部是由内点组成)。(2)(3)设是的闭集，则是开集。因此，由上述结论（2），有是的开集，于是 （由数学分析性质）是闭集。（注：这里用到分析数学中性质 ）(3)(1)设是的邻域，且，而是闭集，由（3），其原象是闭集。则 是开集，且 (注：)所以，是的邻域。由定义知，在处连续。 证毕。说明：在许多教材中，连续映射的定义都是“，若的任一开集的原象都是的开集。”另外，教材中还给出了连续映射的其他等价条件，如（4）的拓扑的某一子基的任一成员的原象都是的开集。（子集改成基，结论也成立）（5）对于的任一子集，的闭包的象包含于的象的闭包，即 .此处不做证明了。二、连续映射的性质 性质：设,为拓扑空间，如果在处连续，在处连续，则复合映射在处连续。证明： 对的任一邻域，由于在处连续，则是的邻域；又由于是的邻域，故性质得证。三、同胚映射定义 3 设,为拓扑空间，如果为在上的一一映射（单满），并且和都是连续的，则称是一个同胚映射，或同胚。（与度量空间上的定义是一致的） 当存在到的同胚映射，就称与同胚。 注：同胚映射中条件“连续”不能忽视，它不能从“一一的满射和连续”推出来。f (1/2)f (0)f -1f 001/21Af（A）S1XX 例 表示复平面上的单位圆周，设 （提示：）则是到上的一一映射，并且连续，但是不连续。比如，记，知是的开集。记，则 而是上半圆且包含点1，1不是内点，则不是开集。注：0是的内点，但不是上的内点，即是的开集，不是开的。性质： 全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系。证明是容易而简单的，这里仅作一些解释： 恒同映射是同胚映射，则与同胚。 若是同胚，则也是同胚映射，即与同胚，则与同胚。 两个同胚映射的复合也是同胚映射，即与同胚， 与同胚，则与同胚。0-/2/2XY下面介绍几个同胚映射的例子。例 1 开区间（作为的子空间）同胚于。 如：到的同胚映射 Nf (p)f (q)pq点P在上半平面上，点q在下半平面上，f (p)在球外平面上，f (q)在球内平面上。例 2 中的单位球面 去掉一点后与同胚。其同胚映射取球极投射，即去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（如右图所示），它的解析表达式为 即，球面点到平面上点的映射。定义 4 拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念； 在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质。 例如，若是同胚映射，则的开集的象是的开集； 的开集的原象是的