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学校代码：10904 学 士 学 位 论 文四元数向量的若干性质姓 名：于呈凤学 号：200504010221指导教师：刘振宇院系（部所）：数学与信息科学系专 业：数学与应用数学完成日期：2009年06月10日 学 士 学 位 论 文四元数向量的若干性质姓 名：于呈凤学 号：200504010221指导教师：刘振宇院系（部所）：数学与信息科学系专 业：数学与应用数学完成日期：2009年06月10日枣庄学院学士学位论文作者声明本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究成果。对前人及其他人员对本文的启发和贡献已在论文中作出了明确的声明，并表示了谢意。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其它机构已经发表或者撰写过的研究成果。本人同意学校根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法等有关规定保留本人学位论文并向国家有关部门或资料库送交论文或者电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权枣庄学院可以将本人学位论文的全部或者部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其它复制手段和汇编学位论文（保密论文在解密后应遵守此规定）。作者签名： 日期： 年 月 日摘 要通过四元数的来源、定义可知四元数的乘法不符合交换律，故它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则.明确地说，四元数是复数的不可交换延伸.向量是高等代数中的重要组成部分，讨论四元数向量的若干性质，通过四元数和四元数向量的不同实表示和复表示法则，将四元数向量的线性相关性问题转换成实数域和复数域上的线性相关性问题，本文通过阅读大量的有关四元数的资料文献，并在连德忠老师研究的四元数实表示基础之上，又试着将其扩展到复数域上，从而得出其在复数域上满足的一些简单的性质.关键词:四元数、四元数向量和矩阵、四元数向量的矩阵、右线性相关AbstractTrough the source and definition of quaternion,we can see the quaternion multiplication is not in line with the law.Therefore ,it seems to undermine the scientific koweledge of a fundamental principle,clare that quternion is an extension of the plural non-exchange.Vector is an important component of the High Algebra,disscussing a number nature of quaternion vector.Through the different law of real number and plural express of quaternion and quaternion vector ,put the linear problem of quaternion vector into the linear problem of real number domain and complex field.In this paper,by reading a lot of relevant information of quaternion literature and even in the basis of quternions real number express by teacher Lian Dezhong,will try to extend it to complex field.so as to arrive some simple nature which it is in the complex field.Key Words:quaternion, quaternion vector and matrix, matrix of quternion vector, right-linear correlation目 录第1章 绪论.1第2章 四元数的基本知识.32.1 四元数的定义.32.2 四元数的运算.3第3章 四元数的矩阵表示.73.1 四元数的矩阵表示.7第4章 四元数向量的性质.94.1四元数向量及其表示.94.2 四元数向量的线性关系.10第5章 总结13参考文献.14致 谢.16四元数向量的若干性质第一章 绪 论1843年10月16日的傍晚，英国数学家哈密顿和他的妻子一起步行去都柏林，途中经过布鲁哈姆桥时，他的脚步突然放慢了.妻子以为他要尽情欣赏周围的景色，于是也放慢了脚步.其实哈密顿此时正在思考他久久不能解决的问题.早在1828年，他就想发明一种新的代数，用来描述绕空间一定轴转动并同时进行伸缩的向量的运动.他设想这种新代数应包含四个分量：两个来固定转动轴，一个来规定转动角度，第四个来规定向量的伸缩.但是在构造新代数的过程中，由于他受传统观念的影响，不肯放弃乘法交换律，故屡受挫折.哈密顿盲目地相信，普通代数最重要的规律必定继续存在于他寻找的代数中.然而此刻，他的脑际突然产生了一个闪念：在所寻找的代数中，能否让交换律不成立呢？比方说，AB不等于BA而是等于负的BA.这个想法太大胆了，他感到非常激动.他突然想到的方程解，之后哈密顿立刻将此方程刻在布鲁哈姆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）.这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）.不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积.他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（a）和向量（bi+cj+dk）的组合.若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘.此后，哈密顿一生的最后22年几乎完全致力于四元数的研究，成果发表在他去世后出版的四元数基础一书中.四元数的出现，推倒了传统代数的关卡，故有数学史上星程碑的美誉.后人为了纪念这一发明，特意在当年哈密顿刻划过的石头上镶嵌了一块水泥板，上面清楚地记载着1843年曾经发生的故事.即使到目前为止四元数的用途仍在争辩之中.一些哈密顿的支持者非常反对奥利夫亥维赛的向量代数学和 Willard Gibbs 的向量微积分的发展，以维持四元数的超然地位.对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和柯利弗德代数学）.而事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置.詹姆斯克拉克麦克斯韦曾经在他的电磁场动力理论（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系.某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来.但随着时代的发展，四元数某些时候会用在计算机绘图（及相关的图像分析）上表示三维物件的旋转及方位.四元数亦见于控制论、信号处理、Attitude控制、物理和轨道力学，都是用来表示旋转和方位.这是由于四元数转换组合比很多矩阵转换组合在数字上更穏定.本文中符号：R表示实数域，C表示复数域.第二章 四元数的基本知识2.1四元数的定义定义2.1 设 （2.1.1）其中i，j，k满足则称形为式（2.1.1）的数q为四元数，而称a为四元数q的实部，记为，称为q的虚部，记为.四元数的全体记为Q，一般称为四元数体，即特别当时，则式（2.1.1）表示的四元数就是复数了，这时。进而当时，则式（2.1.1）表示的四元数就是实数了，这时.故四元数是实数和复数的扩充.2.2四元数的运算定义三个四元数:2.2.1四元数相等2.2.2 四元数加法跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来:例2.2.2 设，则的和是多少？解 例2.2.2 设，则的和是多少？解 加法遵循实数和复数的所有运算交换律：故，即满足交换律.结合律：即，故结合律满足.2.2.3四元数共轭四元数的共轭定义为2.2.4四元数乘法两个四元数的乘积规定如下：特别，当时，有例2.2.4 设，则与的积是多少？解 交换律：故四元数乘法不满足交换律，即pq并不等于qp.两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积，格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数.分配律：故，即乘法对加法的分配律满足.第三章 四元数的矩阵表示3.1四元数的矩阵表示3.1.1四元数的实数表示对于四元数体Q上的任意一个四元数，以坐标表示：以矩阵表示：其中四元数的共轭等于矩阵的转置，分别称、为四元数q的坐标、分量矩阵、蜕变矩阵.3.1.2四元数的复数表示设，注意到，则可唯一地表示为于是令，则可唯一的表示为， （3.1.2）式（3.1.2）称为四元数的复数表示以坐标表示：以矩阵表示：第四章 四元数向量的性质4.1 四元数向量及其表示4.1.1四元数向量定义4.1.1 设 ,向量称为四元数向量，记为四元数向量的全体.4.1.2四元数向量的不同表示四元数向量的实表示：对于中任一四元数向量有： ，分别称为四元数列向量的坐标、分量矩阵.四元数向量的复表示：对于中任一四元数向量,其中,.则有： 4.2四元数向量的线性关系对于任意一组四元数列向量，若存在一组不全为零的四元数，满足则称四元数列向量组右（左）线性相关，否则称右（左）线性无关.下面考虑将四元数列向量组的右（左）线性相关性问题转换为实向量和复向量的线性相关性问题.定理4.2.1 对于任意一组四元数列向量，则必有右线性相关右线性相关.（其中为的第二、第三、第四列向量.）证明 设存在一组四元数（，）满足，于是有则： ，而四元数不全为零实数不全为零，因此四元数列向量组的右线性相关性等同于实数列向量组的线性相关性.定理4.2.2 对于任意一组四元数列向量，则有右线性相关线性相关（其中，为的第二列向量.)证明 设存在一组四元数（，）满足，于是有 则： 而四元数不全为零复数不全为零，因此四元数列向量组的右线性相关性等同于复数列向量组的线性相关性.定义4.2.1 （1）对于任意一组四元数列向量，若存在一组四元数，满足，则称可由四元数列向量右线性表示.（2）一组四元数列向量，如果，中每个向量都可由这组列向量的右线性无关部分右线性表示，则称这个右线性无关部分组为的一个右极大线性无关组.定理4.2.3 可由四元数列向量右线性表示可由复向量组右线性表示.证明 可由四元数列向量右线性表示故右线性无关，可由复向量组右线性表示.即右线性无关，再由定理4.2.2知结论成立.第五章 总 结将四元数和四元数向量分别在实数域和复数域上进行表示，得出四元数向量在实数域上的一些性质，并且类比到复数域上，发现了一些简单的共同性质.但由于时间和能力的问题，没能得出一些更为重要的性质，如果今后条件允许的话还会更加深入的探讨一下这方面的问题，希望能够得出一些更为重要的结论.参考文献1屠伯埙.线性代数M.上海：复旦大学出版社，1984.2李文亮.四元数矩阵M.长沙：国防科技大学出版社，2002.3张禾瑞.近世代数基础M.北京：人民教育出版社，1983.4熊全淹，叶明训.线性代数M第三版.北京：高等教育出版社，1987.5谢邦杰.抽象代数学M.上海：上海科学技术出版社，1982.6李 乔.矩阵论八讲M.上海：上海科学技术出版社，1988.7谢邦杰，牛凤文，董乃昌.线性代数M.吉林：吉林大学出版社，1988.8北大数学系.高等代数M.北京：高等教育出版社，1988.9赵树媛.线性代数M.北京：中国人民大学出版社，2003.10肖尚彬.四元数矩阵的乘法及其可易性J.力学学报，1994，16（2）：159-16611谢邦杰.四元数自共轭矩阵与行列式J.吉林大学自然科学学报，1980，（2）：19-3512李文亮.四元数矩阵三种积的正定性J.长沙电力学院学报（自然科学版），1998，13（3）：229-23413陈龙玄.四元数矩阵的特征值和特征向量J.烟台大学学报，1993，10（3）：1-8.14姜同松.四元数的一种新的代数结构J.力学学报，2002，34（1）：116-122.15姜同松，陈丽.四元数体上的矩阵的广义对角化J.应用数学和力学，1999，20（11）：1203-121016庄瓦金.四元数矩阵的分解与行列式的推广J.数学研究与评论，1986，6（4）：23-2517侯仁民.四元数体上的二次型问题J.烟台大学学报（自然科学与工程版），1993，10（4），1-618吕洪斌，杨忠鹏.四元数矩阵的行列式的复表示及其应用J.北华大学学报，2002，3（5）：369-37419张庆成.四元数体上重行列式的性质及其应用J.数学学报，1995，38（2）：253-25820王庆贵.四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用J.力学学报，1993，15（1）：54-6121陈龙玄.四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质J.中国科学，1991，34（1）：23-3222席小忠.四元数矩阵迹的若干性质J.宜春师专学报，1992，（5）：24-26致 谢时光飞逝、岁月如梭，转眼间大学四年即将结束，回首走过的日子，虽然浪费了一些时间，但更多的时候是充实的，因为在这里不仅仅学到大量的专业知识，而且学到了很多的做人的道理，相信这对于我来说将是一笔宝贵的人生财富.现在我的毕业论文即将完成，在这其中得到了指导老师的悉心指导和同学的大力支持.作为一名普通的本科生，由于知识的储备不足和经验的欠缺，论文中难免有不足之处.首先在这里要感谢我的指导老师刘振宇老师，刘老师平日里事务繁多，