高考数学二轮复习第二部分5.3.2空间中的垂直夹角及几何体的体积课件文.pptx

5 3 2空间中的垂直 夹角及几何体的体积 2 垂直关系的证明例1 2017北京 文18 如图 在三棱锥P ABC中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D为线段AC的中点 E为线段PC上一点 1 求证 PA BD 2 求证 平面BDE 平面PAC 3 当PA 平面BDE时 求三棱锥E BCD的体积 3 1 证明因为PA AB PA BC 所以PA 平面ABC 又因为BD 平面ABC 所以PA BD 2 证明因为AB BC D为AC中点 所以BD AC 由 1 知 PA BD 所以BD 平面PAC 所以平面BDE 平面PAC 3 解因为PA 平面BDE 平面PAC 平面BDE DE 所以PA DE 因为D为AC的中点 解题心得从解题方法上讲 由于线线垂直 线面垂直 面面垂直之间可以相互转化 因此整个解题过程始终沿着线线垂直 线面垂直 面面垂直的转化途径进行 4 对点训练1 2017全国 文19 如图 四面体ABCD中 ABC是正三角形 AD CD 1 证明 AC BD 2 已知 ACD是直角三角形 AB BD 若E为棱BD上与D不重合的点 且AE EC 求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比 5 解 1 取AC的中点O 连接DO BO 因为AD CD 所以AC DO 又由于 ABC是正三角形 所以AC BO 从而AC 平面DOB 故AC BD 6 2 连接EO 由 1 及题设知 ADC 90 所以DO AO 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 故E为BD的中点 从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1 1 7 平面图形的折叠问题例2如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 证明 AC HD 8 1 证明由已知得AC BD AD CD 由此得EF HD EF HD 所以AC HD 故OD OH 由 1 知AC HD 又AC BD BD HD H 所以AC 平面BHD 于是AC OD 又由OD OH AC OH O 所以 OD 平面ABC 9 解题心得平面图形经过翻折成为空间图形后 原有的性质有的发生变化 有的没变 一般地 在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质可能发生变化 解决这类问题就是要根据这些变与不变 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 这是化解翻折问题的主要方法 10 对点训练2 2017宁夏银川二模 文19 如图1 菱形ABCD的边长为12 BAD 60 AC交BD于点O 将菱形ABCD沿对角线AC折起 得到三棱锥B ACD 点M N分别是棱BC AD的中点 且DM 6 1 求证 OD 平面ABC 2 求三棱锥M ABN的体积 11 1 证明 四边形ABCD是菱形 AD DC OD AC 在 ADC中 AD DC 12 ADC 120 则OD 6 OD2 OM2 MD2 DO OM OM AC 平面ABC OM AC O OD 平面ABC 12 2 解取线段AO的中点E 连接NE N是棱AD的中点 由 1 得OD 平面ABC NE 平面ABC 在 ABM中 AB 12 BM 6 ABM 120 13 几何体中的作图问题例3如图 已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形 PA 6 顶点P在平面ABC内的正投影为点D D在平面PAB内的正投影为点E 连接PE并延长交AB于点G 1 证明 G是AB的中点 2 在图中作出点E在平面PAC内的正投影F 说明作法及理由 并求四面体PDEF的体积 14 1 证明因为P在平面ABC内的正投影为D 所以AB PD 因为D在平面PAB内的正投影为E 所以AB DE 所以AB 平面PED 故AB PG 又由已知可得 PA PB 从而G是AB的中点 2 解在平面PAB内 过点E作PB的平行线交PA于点F F即为E在平面PAC内的正投影 理由如下 由已知可得PB PA PB PC 又EF PB 所以EF PA EF PC 15 因此EF 平面PAC 即点F为E在平面PAC内的正投影 连接CG 因为P在平面ABC内的正投影为D 所以D是正三角形ABC的中心 由 1 知 G是AB的中点 所以D在CG上 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且PA 6 可得DE 2 PE 2 在等腰直角三角形EFP中 可得EF PF 2 16 解题心得解立体几何题 总是离不开作辅助直线 辅助平面 而作好图形的基础在于基本作图 基本作图如 1 过不在同一条直线上的三点作一个平面 2 作已知两个相交平面的交线等 17 对点训练3如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 点E F分别在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 过点E F的平面 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 2 求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 18 解 1 交线围成的正方形EHGF如图 2 作EM AB 垂足为M 则AM A1E 4 EB1 12 EM AA1 8 因为四边形EHGF为正方形 所以EH EF BC 10 19 空间中的角例4 2017天津 文17 如图 在四棱锥P ABCD中 AD 平面PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 1 求异面直线AP与BC所成角的余弦值 2 求证 PD 平面PBC 3 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 20 1 解如图 由已知AD BC 故 DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角 因为AD 平面PDC 所以AD PD 2 证明因为AD 平面PDC 直线PD 平面PDC 所以AD PD 又因为BC AD 所以PD BC 又PD PB 所以PD 平面PBC 21 3 解过点D作AB的平行线交BC于点F 连接PF 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角 因为PD 平面PBC 故PF为DF在平面PBC上的射影 所以 DFP为直线DF和平面PBC所成的角 由于AD BC DF AB 故BF AD 1 由已知 得CF BC BF 2 又AD DC 故BC DC 22 解题心得空间中的角包括异面直线所成的角 线与面所成的角及二面角 求空间中的角的步骤是一作 二证 三求 如何作出所求角是关键 异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角 线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影 转化为直线与直线在平面内的射影所成的角 求二面角转化为求二面角的平面角 23 对点训练4 2017河北武邑中学三模 文18 如图 DC 平面ABC EB DC AC BC EB 2DC 2 ACB 120 P Q分别为AE AB的中点 1 证明 PQ 平面ACD 2 求AD与平面ABE所成角的正弦值 24 1 证明连接DP CQ 在 ABE中 P Q分别是AE AB的中点 PQ DC PQ 平面ACD DC 平面ACD PQ 平面ACD