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长春工业大学硕士学位论文分院名称：学生学号：本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 算术基本定理及其应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 20年 5 月II本科毕业论文（设计）目 录承诺保证书I1 算术基本定理的讨论 12 算术基本定理及其证明1 2.1 算术基本定理2 2.1.1 算术基本定理内容2 2.1.2 算术基本定理证明2 2.2 正整数n的正约数的个数及正约数的和 33 算术基本定理的应用3 3.1 涉及正因数个数方面的应用4 3.2 涉及互质、整除方面的应用9 3.3 涉及其他方面的应用114 算术基本定理的延拓13参考文献15英文摘要16算术基本定理及其及其应用摘要：算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用.唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.文中剖析了算术基本定理的含义,证明了算术基本定理,并通过实例讨论了算术基本定理涉及到正因数个数、互质及整除，以及涉及到算术基本定理方面的应用,使我们对算术基本定理更加熟悉并能熟练的应用它解决问题.关键词：算术基本定理 唯一因子分解 存在性 唯一性在高中阶段,我们早已步入了“算术基本定理”的世界,它是那么的神秘莫测,让人难以琢磨,但他又是在数学领域中我们不可缺少的帮手.算术基本定理是经过知识不断发展起来的一门科学,算术是素数基本概念的推广.我们知道算术是素数与素数之间的关系,我们真可感觉到素数已经让我们感到头痛了,可想而知算术的难理解程度,显而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过学习算术使我认识了一个“新朋友”,它就是“算术基本定理”.有了这个定理之后,使我轻松的解决了很多关于算术基本定理的一系列问题,使我在有关这个定理方面有了更好的了解.1 算术基本定理的讨论大约公元前350年，欧几里得在他伟大的十三卷著作原本中，用了许多篇幅来讨论素数.特别是他证明了每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的.例如：14=27，21=37，等等。等号右边的表达式分别是数14与21的“素数分解”.这样我们能把欧几里得的结果表达为：每一个大于1的计数数要么是素数，要么具有唯一的（次序变化不计）素数分解.这个事实被称为算术基本定理.算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用，唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.所谓“存在性”就是指一个因素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的.唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算数基本定理.2 基础知识2.1 算术基本定理 2.1.1算术基本定理内容 每个大于1的正整数均可分解成有限个质数的积.如果不计质因数在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即 =，其中，为质数，（=1,2,）. 2.1.2 算术基本定理证明 首先将命题等价为如下进行证明：设N为大于1的整数，且=c（、均为素数)求证：在等式= = 中，等号两边因数的数目相同且一一对应相等.证明：用反证法：假设命题不成立，那么式的等号两边的因数不全相同，设其中相同的有，于是将等式两边同时约去这些相等的因素后得到=（是素数) 这时等号两边就没有一对因素对应相等了。 等式两边同除以得：= 因为,，又为素数 所以左边无法约分，结果将是一个分数；而右边显然是整数，这与左右相等矛盾.故假设错误，结论成立.因此，=等号两边因数的数目相同且一一对应相等.2.2 正整数n的正约数的个数及正约数的和 记r（n）是的正约数的个数，（n）是的正约数之和，且的标准分解式为=，则 r（n）=（+1）（+1）（+1）， （n）=（1+）（1+）（1+） = .3 算术基本定理的应用 通过算术基本定理的内容极其证明已经有了初步的了解,与此同时我们更应注重对它的应用,利用算术基本定理解决一些常见问题.对于涉及正因数个数方面、互质与整除方面的问题,我们都应首先考虑运用算术基本定理来解决.下面我们列举一些实例加以说明:3.1 若题目中涉及到正因数个数问题，先考虑算术基本定理 例1 设为正整数。证明：若的所有正因子之和是2的幂，则这些正因子的个数也是2的幂. 分析 本题中已给出的所有正因子之和是2的幂，那么我们可以设=，那么它们之和便为（1+）（1+）（1+）. 显然它的正因子个数也就可表示出来.因此结论得证. 证明 设=，其中，为不同的质数，（=1,2,）.则的所有正因子之和可表示为（1+）（1+）（1+）. 若它是2的幂，则它的因子=1+（=1,2,）也是2的幂. 因此，所有的、均为奇数. 若存在1，则=（1+）（1+）. 又由于不含大于1的奇因子，故偶数-1必为4+2的形式.于是，=（1+）（1+）（1+）. 由于1+和1+均为2的幂，故（1+）|（1+）， 这与1+=（1+）（-1）+2矛盾.因此，必有=1（=1,2,）. 故的正因子的个数也是2的幂.例2 设一个正整数满足下列性质：其所有模4不余2的正因数之和等于1000.求满足上述性质的所有正整数. 分析 若想求出一个正整数使它的所有模4不余2的正整数之和等于1000,那么需要对它的每一项分别考察. 解 对于正整数，设S（n）为的所有模4不余2的正因数的和， 假设的质因数分解为 （、，=1,2,）. 因为一个整数模4余2等价其恰被2整除，所以，S（n）是所有形 （0,1，0，0）的数的和. 故S（n）=. 为简单起见，对于每个非负整数,设 =， =，其中，是大于2的质数. 则S（n）= =1000. 先考虑. 若9，则=-1-=1021. 因此,8. 经计算得=1，=5，=125，满足|1000. 再考虑. 当331时，类似地可以验证=4，=40，均整除1000. =8，=20， 当32时，若2，则1+32+1000. 故=1. 经验证=200，=500，均整除1000. 最后考虑（2）的组合， 只有=448及=796满足题意.例3 若正整数有八个正因数，且这八个正因数之和为3240，则称这个正整数是“好数”.例如，2006是好数，因为其因数1，2，17，34，59，118，1003，2006的和为3240.求最小的好数. 分析 本题给出了好数的定义,那么我们可以根据对此定义的理解对本题加以解答.在解题中需要注意的是我们需要分情况进行讨论,从中得出答案.解 设=,则（1+）（1+）（1+）=8. 故当=1时，=7； 当=2时，=1，=3或=3，=1； 当=3时，=1； 当4时，无解. （1）若=（为质数），则=3240. （）若3，则=32803240. （）若=2，则=-1=5113240. 因而，当=时，无满足题意的解. （2）若=（、为质数，且），则有正因数之和 3240=（1+）（1+） =（1+）（1+）（1+） =5. 由2，得1+3. 从而，1+1080. 故7. （）若=7，则1+=503240，与式矛盾. （）若=5，则1+=263240，矛盾. （）若=3，则1+=81， 从而，=80，矛盾. （）若=2，则1+=216， 从而，=215，亦矛盾.（3）若=（1时，2，即16； 当=1时，=. 如果3，有16. 当=2时，=6 当=3时，=16 综上，只有=2满足题意. 以上例题正是说明在遇到有关正因数的问题时应首先想到算术基本定理,利用此定理可以将问题迎刃而解,我们可将正因数之间的关系转化成有限个质数相乘的形式,从而使问题简单化、明朗化.3.2 在一些涉及互质、整除的题目中适当考虑算术基本定理 例5 求所有的正整数，满足为合数，且其所有大于1的因数可以放在一个圆上，使得任意两个相邻的因数都不是互质的. 分析 此题存在多种不同的放法,分为=、=、=三种情况进行考虑. 解 若=（、为不同的质数），则其大于1的因数、无论怎样放于圆周上，、总会相邻，不合题意. 若=（为质数，正整数2），则无论怎样将的大于1的因数放在一个圆上，任意两个相邻的因数都不互质，满足题意. 若=，其中，质数，为正整数，且当2或=2时，1. 设集合=且1. 下面说明可找到满足题意的放法.首先，将，按顺时针放在圆上.在和 之间依任意的顺序放入中所有以为最小质因数的正整数（不包括）；在和之间，依任意的次序放入中所有以为最小质因数的正整数（不包括）；在与之间，依任意的次序放入 ，于是，中的所有元素恰被放在圆周上一次，且任意相邻的两个数有一个公共的质因数.例6 （1）若正整数（3）满足：有个正整数，使得任意两个不互质，求的所有可能值；（2）是否存在一个无穷项的正整数集，满足（1）的条件？ 分析 （1）我们将进行构造,用含有的式子进行表示,从而解出满足条件的. （2）运用反证法对集合中的元素进行验证. 解 （1）由于质数有无穷多个，设为，故为满足任意两个互质及任意三个互质，可构造如下： =， =， =， =， =. 则（）. 因此，=1. 故对于所有的（3），均满足条件. （2）不存在满足条件的无穷集合. 假设存在满足条件的集合 则显然1. 设=（是不同的质数）.考虑其中的个数 因为这中的每一个均与不互质， 所以，每一项均能被之一整除.因此，存在两个数（不妨设为和）均能被整除. 于是，不互质，矛盾. 因此不存在满足条件的无穷集合.例7 求自然数,使它能被5和49整除,并且包括1和在内,它共有10个约数. 分析 我们可以理解为这个自然数可以被5和整除,依据此结论便可得出所要求的. 解 设=(,) 则=10. 由于,则+12,+13. 故,必然都为0. 因此解得=.综合上述例题我们可以看出,利用算术基本定理解决互质与整除问题,也就是主要应用将此类问题变换成积的形式,主要着重于应用“有限个质数”及“积的形式”这两个方面.3.3 在一些其他领域的应用 例8 试证明：对任意给定的正整数1,存在个连续的合数. 分析 设出个连续的自然数(+1)!+2,(+1)!+3,(+1)!+1都是合数，然后对其中的某一项进行研究. 证明 对给定的任意正整数1，下述个连续的自然数都是合数 (+1)!+2,(+1)!+3,(+1)!+1 任取第个数(+1)!+(+1),1 因为(+1)!=123(+1)(+1) 所以(+1)!+(+1)至少有一个因子+1. 因此对任意给定的正整数1,存在个连续的合数.例9 已知为正整数，恰有2005个正整数有序对满足.证明:是完全平方数. 分析 由已知条件可知必有、,否则不满足题意,再将已知条件进行适当的变形. 证明 必有、,否则或之一将大于. 则. 这样, 的每个正因子都唯一对应着一组解=. 令=. 则= 由题意知,=2005。 因为2005的正因子都模4余1，所以必是偶数. 故是完全平方数.例10 设、是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数,都存在一个整数,使得,证明:存在正数. 分析 依据题设我们可以将和分别表示出来,在对其中的某元素进行分析进而证明此结论成立. 证明 设的质因数分解式为=,其中,是互不相同的质数,). 所有的指数都被整除.设=,则=.对于=,应用条件得|(-).于是,对于每一个(1),|(-).又因为|,所以,且。这说明.从而,是的倍数.因此,存在正数.在题目中会有很多地方可以用算术基本定理解题，我们应熟练掌握并灵活运用，学会将一些数据转化成有限个质数乘积的形式，也就是将转化思想与定理有机的结合起来以方便我们解题.4、算数基本定理的延拓对于算术基本定理我们应该不会陌生,因为在高中已经接触这一概念,同时我们也知道素数与质数,现在将这一系列问题放在了一起探讨,让我们对它有了更深入的了解,也更好地把握算术基本定理,将其应用到实际题目中.它其中包括了唯一性与存在性,使定理更加的严格化.应用性更强.算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理,将自然数的研究转化为对素数的研究,它解决了题目中涉及正因数个数问题、互质与整除问题以及其他方面的问题,但是应用还不尽完善,我们应进行深入研究,使算术基本定理应用的范围再扩大一些.在前面以解决的大部分有关算术基本定理问题，我们主要是应用到它是将每一个大于1的正整数分解成有限个质数的积的形式，也就是应用到数学中极其重要的一种解题思想转化思想.当我们看到题中有正因数和整除问题的时候,我们首先想到的是算术基本定理,然后将题中所给条件适当变形,以方便我们解题,但是切记一点,相乘的几个数必须保证是质数(素数),若发现没有分解成定理中所说,那便需要继续分解,直到分解彻底为止,并且质数之间相乘的顺序可忽略.算术基本定理之所以被人们广泛应用，正是因为它具有较强的应用性，在应用的同时更易理解.算数基本定理在数学中大部分领域中均会出现并加以应用,同时在黎曼函数、欧拉函数、费马小定理等方面均可应用.在复数域中,并不存在相应的定理;事实上只有少数几个数能满足,其中最大的一个是163.例如,6可以以两种方式写成数的乘积:如(1+ 5)(1 5).同样的,在分圆整数中也不存在分解的唯一性定理,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱. 欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（1,）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立.高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能转化为复数的定理（扩大到复数领域）. 因此,算术基本定理在复数领域的应用还不尽完善,日后需要我们多加思索,不断的探索其中存在的问题,加以改正并完善,使算术基本定理应用领域更加广泛.参考文献：1 李徽,李淳风.九章算术,东汉前期.2 欧几里得.原本.公元前350年.3 潘承洞、潘承彪著.初等数论M.北京大学出版社,1998. 4 南山.算术基本定理及其性质的应用J.中学教研,1991年12期.5 蒋省吾等编著.算术基本定理的简单证明J.安徽教育,1982年02期. 6 田正平,陈礼龙.略论算术基本定理的地位和作用J.杭州师范学院学报(社会科学版),1988年03期.7 闵嗣鹤,严士健.初等数论M.北京高等教育出版社,2003.8 张顺燕,编著.数学的源与流M.北京高等教育出版社,2000.9 李尚志.初等数论初步M,湖南教育出版社,1999.10 G.H.Hardy.哈代数论M.人民邮电出版社,2010.11 贾小勇,袁敏.算术基本定理历史探析J.西安电子科技大学学报(社会科学版),2006年05期.12 李文林,主编.王元论哥德巴赫猜想M.山东教育出版社出版,1999.FUNDAMENTAL THEOREM AND APPLICATION OF ARITHMETICAbstract: The fundamental theorem of arithmetic is the most fundamental and significant theorem of element