2020.1人大附高三数学寒假作业.pdf

中国人民大学附属中学 2020 届高三寒假作业 数学 班级 学号 姓名 2020 1 20 2020 2 9 目 录 第一部分 专题标准化 1 专题练习一 集合 逻辑用语 复数 错误 未定义书签 错误 未定义书签 1 专题练习二 函数与导数 4 专题练习三 三角变换与解三角形 平面向量 6 专题练习四 数列与不等式 8 专题练习五 立体几何 10 专题练习六 直线与圆 13 专题练习七 圆锥曲线 15 专题练习八 排列组合二项式定理与概率统计 17 第二部分 必做解答题 19 No 1 三角 19 No 2 概率 22 No 3 立几 26 No 4 导数 30 No 5 解析 34 第三部分 选做解答题 38 No 1 导数 38 No 2 解析 41 No 3 数列 44 第四部分 上一届考题 49 中国人民大学附属中学 2018 届高三 2 月考试卷 49 数学 第 1 页 第一部分第一部分 专题标准化专题标准化 专题练习一 集合 逻辑用语 复数 一 选择题 本大题共 12 小题 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 M 1 2 zi i 为虚数单位 N 3 4 且 M N 4 则复数 z A 2i B 2i C 4i D 4i 2 设复数满足 则 A B C D 3 若复数满足24izi 则在复平面内 z对应的点的坐标是 A 2 4 B 2 4 C 4 2 D 4 2 4 已知复数z满足 3425i z 则z A 34i B 34i C 3 4i D 34i 5 已知全集 1 0 1 2 3U 集合 0 1 2A 1 0 1B 则 UA B A 1 B 0 1 C 1 2 3 D 1 0 1 3 6 设命题p 2 2nnN n 则p 为 A 2 2nnN n B 2 2nnN n C 2 2nnN n D 2 2nnN n 7 若 a 0 b 0 则 a b 4 是 ab 4 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 设 为两个平面 则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C 平行于同一条直线 D 垂直于同一平面 9 已知是两个非零向量 则 是 且 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 10 命题 存在 0 x R 0 2x 0 的否定是 A 不存在 0 x R 0 2x 0 B 存在 0 x R 0 2x 0 C 对任意的x R 2x 0 D 对任意的x R 2x 0 a b ab aba b 数学 第 2 页 11 设集合 Zk k xxNZk k xxM 2 1 4 4 1 2 则 A NM B M N C MN D NM 设集合 6 5 4 3 2 1 M k SSS 21 都是M的含有两个元素的子集 且满足 对任意 的 iii baS jjj baS kjiji 3 2 1 都有 j j j j i i i i a b b a a b b a min min yx min表示两个数yx 中的较小者 则k的 最大值是 A 10 B 11 C 12 D 13 12 集合 Ax yxyR 若A x y 已知 1122 xyxy xy 定义集合 A中元素间的运算 xy 称为 运算 此运算满 足以下运算规律 任意A x y有 xy yx 任意A x y z有 x yz x zy z 其中 1212 xxyy x y 任意A x y aR 有 axya xy 任意A x有0 xx 且 0 xx成立的充分必要条件是 0 0 x为向量 如果 1122 xyxy xy 那么下列运算属于 正确运算的是 A 1 122 2x yx y xy B 1 122 x yx y xy C 1 122 1x yx y xy D 1 212 2x xy y xy 二 填空题 本大题共 7 小题 把答案填在题中横线上 13 设mR 22 2 1 immm 是纯虚数 其中 i 是虚数单位 则 m 14 已知 a b R i 是虚数单位 若 a i 1 i bi 则 a bi 15 若复数z满足 3 2 5zi i 为虚数单位 则z的共轭复数z为 16 若复数z满足 34 43 i zi 则z的虚部为 17 已知 2 1 2 x f xxg xm 若对 x1 1 3 x2 0 2 f x1 g x2 则实数 m 数学 第 3 页 的取值范围是 18 以A表示值域为 R 的函数组成的集合 B表示具有如下性质的函数 x 组成的集合 对于函数 x 存在一个正数M 使得函数 x 的值域包含于区间 M M 例如 当 3 1 xx 2 sinxx 时 1 xA 2 x B 现有如下命题 设函数 f x的定义域为D 则 f xA 的充要条件是 bR aD f ab 函数 f xB 的充要条件是 f x有最大值和最小值 若函数 f x g x的定义域相同 且 f xA g xB 则 f xg xB 若函数 2 ln 2 1 x f xax x 2x aR 有最大值 则 f xB 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 19 设 S 为复数集 C 的非空子集 若对任意 都有 则称 S 为封 闭集 下列命题 集合 S z z a bi 为整数 i 为虚数单位 为封闭集 若 S 为封闭集 则一定有 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集 则满足的任意集合也是封闭集 其中真命题是 写出所有真命题的序号 数学 第 4 页 专题练习二专题练习二 函数与导数函数与导数 一 选择题 本大题共 10 小题 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 函数 f x 2 1 x x x 0 0 x x 则 1 ff A 0 B 2 C 3 D 4 2 下列函数中 既是偶函数 又是在 0 上单调递增的函数是 A y x3 B y x 1 C y x2 1 D y 2 x 3 已知 yx 为正实数 则 A yxyxlglglglg 222 B yxyxlglg lg 222 C yxyxlglglglg 222 D yxxylglg lg 222 4 函数 xf的定义域为R 2 1 f 对任意R x 2 x f 则42 xxf的解集 为 A 1 1 B 1 C 1 D 5 把函数2xy 的图象向右平移t个单位长度 所得图象对应的函数解析式为 2 3 x y 则t的 值为 A 1 2 B 2 log 3 C 3 log 2 D 3 6 对于函数 y xf x R y xf 的图象关于 y 轴对称 是 y xf是奇函数 的 条件 A 充分而不必要 B 必要而不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要 7 函数 xf ax2 bx c a 0 的图象关于直线 x b 2a对称 据此可推测 对任意的非零 实数 a b c m n p 关于 x 的方程 m f x 2 nf x p 0 的解集不可能是 A 1 2 B 1 4 C 1 2 3 4 D 1 4 16 64 8 已知 0 x是函数的一个零点 若 1020 1 xxxx 则 A 12 0 0f xf x B 12 0 0f xf x C 12 0 0f xf x D 12 0 0f xf x 9 已知函数若函数存在零点 则实数 的取值范围是 1 2 1 f x x 2 x xa f x x xa f xa 数学 第 5 页 A B C D 10 在实数集 R 中定义一种运算 对任意给定的 a b R a b 为唯一确定的实数 且具有性质 1 对任意 a b R a b b a 2 对任意 a R a 0 a 3 对任意 a b R a b c c ab a c c b 2c 关于函数 xf 3x 1 3x的性质 有如下说法 函数 xf的最小值为 3 函数 xf为奇函数 函数 xf的单调递增区间为 1 3 1 3 其中所有正确说法的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共 6 小题 把答案填在题中横线上 11 若点 2 2 在幂函数 xfy 的图象上 则 f x 12 已知函数 3 sin4 f xaxbxa bR 2 lg log 10 5f 则 lg lg2 f 13 生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本 可表示为商品数量的函数 现知道一 企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是 2 1 200 10 2 C xxx 元 若每 售出一件这种商品的收入是200元 那么生产并销售这种商品的数量是200件时 该 企业所得的利润可达到 元 14 设函数 2 2 x f xxx e 下列命题 0f x 的解集是 02 xx 0f x 的解集是 0 x x 或2 x 2 f 是极小值 2 f是极大值 f x没有最小值 也没有最大值 f x有最大值 没有最小值 其中正确的命题序号为 写出所有正确命题的序号 15 对方程 lg x 4 10 x根的情况 有以下四种说法 仅有一根 有一正根和一负根 有两个负根 没有实数根 其中你认为正确说法的序号是 16 已知函数 3 3 2 xx xa f x xxa 若0a 则函数 f x的零点有 个 若存在实数m 使得函数 yf xm 总有三个不同的零点 则实数a的取值范围 是 0 0 1 1 数学 第 6 页 专题练习三专题练习三 三角变换与解三角形 平面向量三角变换与解三角形 平面向量 一 选择题 本大题共 10 小题 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 在中 角 的对边分别为 若为锐角三角形 且 满足 则下列等式成立的是 A B C D 2 已知向量a与b的夹角为120o 3 13 aab 则b等于 A 5 B 4 C 3 D 1 3 在ABC 中 2 sinsincos 2 C AB 则ABC 的形状一定是 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 4 将函数 sin2f xx 的图像向右平移 0 2 个单位后得到函数 g x的图像 若 对满足 12 2f xg x 的 1 x 2 x 有 12min 3 xx 则 A 5 12 B 3 C 4 D 6 5 已知函数 cos sin2f xx x 下列结论中错误的是 A yf x 的图像关于 0 中心对称 B yf x 的图像关于直线 2 x 对称 C f x的最大值为 3 2 D f x既奇函数 又是周期函数 6 已知非零向量AB与AC满足 0 ABAC BC ABAC 且 1 2 ABAC ABAC 则 ABC 为 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 底与腰不等的等腰三角形 D 等边三角形 7 函数 2sin 0 22 f xx 的部分图象如图所 示 则 的值分别是 A 2 3 B 2 6 C 4 6 D 4 3 ABC ABCabcABC sin1 2cos2sincoscossinBCACAC 2AB 2ba 2ab 2BA 数学 第 7 页 8 已知函数 sinf xx 0 则 函数 f x的图象经过点 1 4 是 函数 f x的 图象经过点 0 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点 N 是边 BC 的中点 则AN AM 的最 大值为 A 8 B 6 C 5 D 4 10 在同一平面内 已知A为动点 B C为定点 且 2 ACB 为 中点 过点作交所在直线于 则AQ在方向上投影的最大值是 A 1 3 B 1 2 C 3 3 D 2 3 二 填空题 11 动点 A x y在圆 22 1xy 上沿逆时针方向匀速旋转 12 秒旋转一周 已知时间0t 时 点A的坐标是 3 1 22 则当06t 时 动点A的纵坐标y关于t 单位 秒 的函 数的值域为 12 设sin2sin 2 则tan2 的值是 13 已知 1 sincos 2 且0 2 则 cos2 sin 4 的值为 14 已知向量AB与AC的夹角为120 且 3AB 2AC 若AP ABAC 且 APBC 则实数 的值为 15 设 Ra b 0 2 c 若对任意实数x都有 2sin 3 3 x sinabxc 则满 足条件的有序实数组 a b c的组数为 16 已知向量 cos sin a cos sin b 且ab 那么a b 与a b 的夹角的 大小是 17 已知函数 sinf xx 若对任意的实数 46 都存在唯一的实数 0 m 使 0ff 则实数的最大值是 3 BAC 1BC P BCPPQBC ACQBC m 数学 第 8 页 专题练习四专题练习四 数列与不等式数列与不等式 一 选择题 本题共 10 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 1 设 0 a b 则下列不等式中正确的是 A a b ab a b 2 B a ab a b 2 b C a ab b a b 2 D ab a a b 2 0 且 a 1 的图象恒过点 A 若直线 l mx ny 1 0 经过点 A 则坐标 原点 O 到直线 l 的距离的最大值为 13 直线 3x 4y 3 0 上的动点 过点 P 作圆 C x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线 切点 分别为 A B 则四边形 PACB 的面积最小时 APB 14 点 M 为直线 l1 y x 2 上任一点 点 N 1 0 则过点 M N 且与直线 l2 x 1 相 切的圆的个数可能为 15 设mR 过定点 A 的动直线 0 xmy 和过定点 B 的动直线30mxym 交于 点 P x y 则 PAPB 的最大值是 16 已知曲线C的方程是 22 8 xy xy xy 给出下列三个结论 曲线 C 与两坐标轴有公共点 曲线C既是中心对称图形 又是轴对称图形 若点 P Q在曲线 C 上 则 PQ的最大值是6 2 其中 所有正确结论的序号是 数学 第 15 页 专题练习七专题练习七 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 本题共 10 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 1 已知椭圆 x2 10 m y2 m 2 1 长轴在 y 轴上 若焦距为 4 则 m 等于 A 4 B 5 C 7 D 8 2 已知双曲线 C x2 a2 y2 b2 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线上 则 C 的方程为 A x2 20 y2 5 1 B x2 5 y2 20 1 C x2 80 y2 20 1 D x2 20 y2 80 1 3 椭圆 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A 1 4 B 5 5 C 1 2 D 5 2 4 已知动圆过点 1 0 且与直线 x 1 相切 则动圆圆心的轨迹方程为 A x2 y2 1 B x2 y2 1 C y2 4x D x 0 5 在正三角形 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 则以 B C 为焦点 且过 D E 的双曲线的离心率为 A 5 3 B 3 1 C 2 1 D 3 1 6 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1 则椭圆长轴长的最小值 为 A 1 B 2 C 2 D 2 2 7 一种画双曲线的工具如图所示 长杆OB通过O处的铰链 与固定好的短杆OA连接 取一条定长的细绳 一端固定在点 A 另一端固定在点B 套上铅笔 如图所示 作图时 使 铅笔紧贴长杆OB 拉紧绳子 移动笔尖M 长杆OB绕O转 动 画出的曲线即为双曲线的一部分 若 10OA 12OB 细绳长为 8 则所得双曲线的离心率为 A 6 5 B 5 4 C 3 2 D 5 2 8 设点 12 F F分别为椭圆 22 1 95 xy C 的左 右焦点 点P是椭圆C上任意一点 若使得 12 PF PFm 成立的点恰好是4个 则实数m的值可以是 M O B A 数学 第 16 页 A 1 2 B 3 C 5 D 8 9 已知椭圆 C 的焦点为 12 1 01 0FF 过 F2的直线与 C 交于 A B 两点 若 22 2 AFF B 1 ABBF 则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 10 记 22 1xy 表示的平面区域为W 点O为原点 点P为直线22yx 上一个动点 若 区域 W上存在点Q 使得 OQPQ 则OP的最大值是 A 1 B 2 C 3 D 2 二 填空题 本题共 6 小题 请把最简答案填在题中横线上 11 设 F1 F2分别是双曲线 2 2 1 9 y x 的左 右焦点 若点 P 在双曲线上 且PF1 PF2 0 则 PF1 PF2 12 椭圆 22 1 1625 xy 上点P到两焦点距离的乘积为m 当m取最大值时 点P的坐标为 13 如图所示 一个截面为抛物线形的旧河道河口宽 AB 4m 河深 2m 现要将其截面改造为等腰梯形 要求河道深度不变 而且施工时 只能挖土 不准向河道填土 试求当截面梯形的下底长 河床底 部 为 米时 才能使挖出的土最少 14 椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心 交椭圆于点 M N 椭圆的左焦点为 F1 且直线 MF1与此圆相切 则椭圆的离心率 e 等于 15 已知抛物线 C xy8 2 的焦点为 F 准线为l P 是l上一点 Q 是直线 PF 与 C 得一 个焦点 若4PFFQ 则 QF 16 方程1 169 x xy y 的曲线即为函数 yf x 的图像 对于函数 yf x 有如下结论 f x在 R 上单调递减 函数 4 3F xf xx 不存在零点 函数 yf x 的值域是 R f x的图像不经过原点 其中所有正确的命题序号是 数学 第 17 页 专题练习八专题练习八 排列组合二项式定理与概率统计排列组合二项式定理与概率统计 一 选择题 本大题共 10 小题 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知的展开式中的系数为 则 A B C D 2 用 0 1 8 9 十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 A 243 B 252 C 261 D 279 3 满足 1 0 1 2a b 且关于 x 的方程 2 20axxb 有实数解的有序数对 a b的个 数为 A 14 B 13 C 12 D 10 4 某学校组织学生参加英语测试 成绩的频率分布直 方图如图 数据的分依次为 20 40 40 60 60 80 80 100 若低于 60 分的人数是 15 人 则该班的学生人数是 A 45 B 50 C 55 D 60 5 某高校共有学生 3000 人 新进大一学生有 800 人 现对大学生社团活动情况进行抽样 调查 用分层抽样方法在全校抽取 300 人 那么应在大一抽取的人数为 A 200 B 100 C 80 D 75 6 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A 82 89 A A B 82 89 A C C 82 87 A A D 82 87 A C 7 现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色 要求 有公共边界的两块不能用同一种颜色 则不同的涂色方法 共有 A 24种 B 30种 C 36种 D 48种 8 某省高中学校自实施素质教育以来 学生社团得到迅猛发展 某校高一新生中的五名同 学打算参加 春晖文学社 舞者轮滑俱乐部 篮球之家 围棋苑 四个社团 若每个社团至 少有一名同学参加 每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团 且同学甲不参加 围棋苑 则不同的参加方法的种数为 A 72 B 108 C 180 D 216 9 安排甲 乙 丙 丁 4 人参加 3 个运动项目 每人只参加一个项目 每个项目都有人参 数学 第 18 页 加 若甲 乙 2 人不能参加同一个项目 则不同的安排方案的种数为 A 24 B 30 C 36 D 48 10 有语文 数学两学科 成绩评定为 优秀 合格 不合格 三种 若 A 同学每科成绩不低 于 B 同学 且至少有一颗成绩比 B 高 则称 A 同学比 B 同学成绩好 现在若干同学 他们之中没有一个人比另一个人成绩好 且没有任意两个人语文成绩一样 数学成绩也 一样的 问满足条件的有 个学生 A 1 B 3 C 4 D 5 二 填空题 本大题共 6 小题 把答案填在题中横线上 11 把5件不同产品摆成一排 若产品A与产品B相邻 且产品A与产品C不相邻 则不 同的摆法有 种 12 若 2 nx x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64 展开式中的常数项为 各项的系数的和是 用数字作答 13 有标号分别为 1 2 3 的红色卡片 3 张 标号分别为 1 2 3 的蓝 色 卡片 3 张 现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内 如图 若颜 色相同的卡片在同一行 则不同的放法种数为 用数字作答 14 若 x m 8 a0 a1x a2x2 a8x8 其中 a5 56 则 a0 a2 a4 a6 a8 15 以下茎叶图记录了甲 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 乙组数据的平均数为 则的值分别为 16 将五个 1 五个 2 五个 3 五个 4 五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内 每 格填入一个数 使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2 考察每行中五个数之和 记这五个和的最小值为m 则m的最大值为 1516 8 x y 数学 第 19 页 第二部分第二部分 必做解答题必做解答题 No 1 三角三角 1 已知函数 sin 0 f xx 的图象如图所示 求 的值 设 4 g xf x f x 求函数 g x的单调递增区间 2 已知 4 2 10 2 4 cos xx 求xsin的值 求 3 2sin x的值 xO2 4 数学 第 20 页 3 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 3a 2 3b 1 cos 3 B 求c的值 求ABC 的面积 4 已知函数 2 2 3sin cos2cos1 xxxxR 求函数 f x的最小正周期及在区间 0 2 上的最大值和最小值 若 0 6 5 f x 0 4 2 x 求 0 cos2x的值 数学 第 21 页 5 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知2 a 7 b 60 B 求 c 及 ABC 的面积 S 求 2sin CA 6 设函数 2 sin 2cos1 468 xx f x 求 f x的最小正周期 若函数 yg x 与 yf x 的图像关于直线1x 对称 求当 4 0 3 x 时 yg x 的最大值 数学 第 22 页 No 2 概率概率 1 为了解某校学生的视力情况 现采用随机抽样的方式从该校的 A B 两班中各抽 5 名学 生进行视力检测 检测的数据如下 A 班 5 名学生的视力检测结果 4 3 5 1 4 6 4 1 4 9 B 班 5 名学生的视力检测结果 5 1 4 9 4 0 4 0 4 5 分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪个班的学生视力较好 由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大 结论不要求证明 现从 A 班的上述 5 名学生中随机选取 3 名学生 用 X 表示其中视力大于 4 6 的人数 求 X 的分布列和数学期望 2 2018 年 11 月 5 日上午 首届中国国际进口博览会拉开大幕 这是中国也是世界上 首次以进口为主题的国家级博览会 本次博览会包括企业产品展 国家贸易投资展 其中企业 产品展分为 7 个展区 每个展区统计了备受关注百分比 如下表 展区类型 智能及高 端装备 消费电子 及家电 汽车 服装服饰及 日用消费品 食品及 农产品 医疗器械及 医药保健 服务 贸易 展区的企 业数 家 400 60 70 650 1670 300 450 备受关注 百分比 25 20 10 23 18 8 24 备受关注百分比指 一个展区中受到所有相关人士关注 简称备受关注 的企业数与该展区 的企业数的比值 从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家 求这家企业是选自 智能及高端装备 展区备受关注的企业的概率 从 消费电子及家电 展区备受关注的企业和 医疗器械及医药保健 展区备受关注 的企业中 任选 2 家接受记者采访 i 记X为这 2 家企业中来自于 消费电子及家电 展区的企业数 求随机变量X的 分布列 ii 假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升 10 记Y为这 2 家企业中来自于 消费电子及家电 展区的企业数 试比较随机变量 X Y的均值 E X和 E Y的大小 只 需写出结论 数学 第 23 页 3 2014 年 12 月 28 日开始 北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价 具体如下表 不 考虑公交卡折扣情况 已知在北京地铁四号线上 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元 现从那些只乘坐四号线 地铁 且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人 他们乘坐地铁的票价统计如图所示 如果从那些只乘坐四号线地铁 且在 陶然亭站出站的乘客中任选 1 人 试估计此人乘 坐地铁的票价小于 5 元的概率 从那些只乘坐四号线地铁 且在陶然 亭站出站的乘客中随机选 2 人 记 X 为这 2 人乘 坐地铁的票价和 根据统计图 并以频率作为概 率 求 X 的分布列和数学期望 小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价 是 5 元 返程时 小李乘坐某路公共电汽车所花 交通费也是 5 元 假设小李往返过程中乘坐地铁 和公共电汽车的路程均为 s 公里 试写出 s 的取值 范围 只需写出结论 乘公共电汽 车方案 10 公里 含 内 2 元 10 公里以上部分 每增加 1 元可乘坐 5 公里 含 乘坐地铁方 案 不含机场 线 6 公里 含 内 3 元 6 公里至 12 公里 含 4 元 12 公里至 22 公里 含 5 元 22 公里至 32 公里 含 6 元 32 公里以上部分 每增加 1 元可乘坐 20 公里 含 数学 第 24 页 4 某地区有800名学员参加交通法规考试 考试成绩的频率分布直方图如图所示 其中成绩 分组区间是 75 80 80 85 85 90 90 95 95 100 规定90分及其以上为 合格 求图中a的值 根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率 若三个人参加交通法规考试 用X表示这三人中考试合格的人数 求X的分布列与 数学期望 5 在 2015 2016 赛季CBA联赛中 某队甲 乙两名球员在前 10 场比赛中投篮命中情况统 计如下表 注 表中分数 n N N表示投篮次数 n表示命中次数 假设各场比赛相互独立 场次 球员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 根据统计表的信息 从上述比赛中等可能随机选择一场 求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于 0 5 的概 率 试估计甲 乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过 0 5 的概率 在接下来的 3 场比赛中 用 X 表示这 3 场比赛中乙球员命中率超过 0 5 的场次 试写 出 X 的分布列 并求 X 的数学期望 5 13 4 12 14 30 5 9 14 19 10 16 12 23 4 8 6 13 10 19 13 26 9 18 9 14 8 16 6 15 10 14 7 21 9 16 10 22 12 20 数学 第 25 页 6 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下 假设各场比赛互相独立 从上述比赛中随机选择一场 求李明在该场比赛中投篮命中率超过6 0的概率 从上述比赛中选择一个主场和一个客场 求李明的投篮命中率一场超过6 0 一场不 超过6 0的概率 记x是表中 10 个命中次数的平均数 从上述比赛中随机选择一场 记X为李明在这 比赛中的命中次数 比较 XE与x的大小 只需写出结论 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 22 12 客场 1 18 8 主场 2 15 12 客场 2 13 12 主场 3 12 8 客场 3 21 7 主场 4 23 8 客场 4 18 15 主场 5 24 20 客场 5 25 12 数学 第 26 页 EF D C B A No 3 立体几何立体几何 1 在如图所示的几何体中 D 是 AC 的中点 EF DB I 已知 AB BC AE EC 求证 AC FB II 已知 G H 分别是 EC 和 FB 的中点 求证 GH 平面 ABC 2 如图 在五面体ABCDEF中 四边形ABCD是矩形 平面ADE 平面ABCD 224 2ABADEFAEDE 求证 ABEF 求直线BF与平面ADE所成角的正弦值 求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值 数学 第 27 页 3 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 平面 AED 平面 ABCD EF AB AB 2 BC EF 1 AE 6 DE 3 BAD 60 G 为 BC 的中点 求证 FG 平面 BED 求证 平面 BED 平面 AED 求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 数学 第 28 页 4 如图 1 在等腰梯形ABCD中 BCAD 1 2 2 BCAD 60A E为AD 中点 点 O F分别为 BE DE的中点 将ABE 沿BE折起到 1 ABE 的位置 使得平面 1 ABE 平面BCDE 如图 2 求证 1 AOCE 求直线 1 AB与平面 1 ACE所成角的正弦值 侧棱 1 AC上是否存在点P 使得 BP平面 1 AOF 若存在 求出 1 1 AP AC 的值 若不 存在 请说明理由 数学 第 29 页 5 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 求证 A1C 平面 BCDE 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 6 如图 在四棱锥PABCD 中 平面PAD 平面ABCD PAPD PAPD ABAD 1AB 2AD 5ACCD 求证 PD 平面PAB 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 在棱PA上是否存在点M 使得 BM平面PCD 若存在 求 AM AP 的值 若不 存在 说明理由 数学 第 30 页 No 4 导数导数 1 已知函数 lnsin 1 f xxax 其中a R 如果曲线 yf x 在1x 处的切线的斜率是1 求a的值 如果 f x在区间 0 1 上为增函数 求a的取值范围 2 设函数 2 e x f xxaxaaR 当0a 时 求曲线 yf x在点 1 1 f处的切线方程 设 2 1g xxx 若对任意的 0 2 t 存在 0 2 s使得 f sg t成立 求a的取值范围 数学 第 31 页 3 设3x 是函数 23 x f xxaxb exR 的一个极值点 求a与b的关系式 用a表示b 并求 f x的单调区间 设0a 2 25 4 x g xae 若存在 12 0 4 使得 12 1fg 成立 求a的取值范围 4 已知函数 lnf xxx 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求 f x的单调区间 若对于任意 1 e e x 都有 1f xax 求实数a的取值范围 数学 第 32 页 5 已知函数axaxxxf2ln 2 若1 a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 若xxf 恒成立 求实数a的取值范围 数学 第 33 页 6 已知函数 2 e x f xxaxa a为常数 e为自然对数的底 若 f x在0 x 时取得极小值 试确定a的取值范围 在 的条件下 设由 f x的极大值构成的函数为 g a 将a换元为x 试判断 曲线 yg x 是否能与直线320 xym m为确定的常数 相切 并说明理 由 7 已知函数 2 exf xxx 2 g xxaxb a bR 当1a 时 求函数 F xf xg x 的单调区间 若曲线 yf x 在点 0 1 处的切线l与曲线 yg x 切于点 1 c 求 a b c的值 若 f xg x 恒成立 求ab 的最大值 数学 第 34 页 No 5 解析解析几何几何 1 已知 0 2 3 1 AB是椭圆 G 22 22 1 0 xy ab ab 上的两点 求椭圆 G 的离心率 已知直线 l 过点B 且与椭圆G交于另一点C 不同于点A 若以BC为直径的圆 经过点A 求直线 l 的方程 2 已知椭圆 G 2 2 1 2 x y 与x轴不重合的直线 l 经过左焦点 1 F 且与椭圆 G 相交于 A B 两点 弦 AB 的中点为 M 直线 OM 与椭圆 G 相交于 C D 两点 若直线l的斜率为 1 求直线OM的斜率 是否存在直线 l 使得 2 AMCMDM 成立 若存在 求出直线 l 的方程 若不存 在 请说明理由 数学 第 35 页 3 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 上的点到它的两个焦点的距离之和为4 以椭圆C 的短轴为直径的圆O经过这两个焦点 点A B分别是椭圆C的左 右顶点 求圆O和椭圆C的方程 已知P Q分别是椭圆C和圆O上的动点 P Q位于y轴两侧 且直线PQ与x 轴平行 直线AP BP分别与y轴交于点M N 求证 MQN为定值 4 已知椭圆 2 2 2 1 1 x Cya a 离心率 6 3 e 直线 1l xmy 与x轴交于点A 与椭圆C相交于 E F两点 自点 E F分别向直线作垂线 垂足分别为 11 E F 求椭圆C的方程及焦点坐标 记 的面积分别为 试证明 13 2 2 S S S 为定值 3x 1 AEE 11 AE F 1 AFF 1 S 2 S 3 S 数学 第 36 页 5 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 1 2 F为椭圆C的右焦点 0 Aa 3AF 求椭圆C的方程 设O为原点 P为椭圆上一点 AP的中点为M 直线OM与直线4x 交于点D 过O且平行于AP的直线与直线4x 交于点E 求证 ODFOEF 6 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的短轴长为2 3 右焦点为 1 0 F 点M是椭圆C 上异于左 右顶点 A B的一点 求椭圆C的方程 若直线AM与直线2x交于点N 线段BN的中点为E 证明 点B关于直线EF 的对称点在直线MF上 数学 第 37 页 7 已知抛物线 2 2C ypx 经过点 1 2 P 其焦点为F M为抛物线上除了原点外的任 一点 过M的直线l与x轴 y轴分别交于 AB 求抛物线C的方程以及焦点坐标 若BMF 与ABF 的面积相等 求证 直线l是抛物线C的切线 数学 第 38 页 第三部分第三部分 选做解答题选做解答题 No 1 导数导数 1 设函数 2 ln 1 1f xxaxx 2 1 exg xxax Ra 当1a 时 求函数 f x在点 2 2 f处的切线方程 若函数 g x有两个零点 试求a的取值范围 证明 f xg x 2 已知函数 12 ln ee x f xx x 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求证 1 ln e x x 判断曲线 yf x 是否位于x轴下方 并说明理由 数学 第 39 页 3 已知函数 ln1f xxax Ra 2 1 2 2 g xxf xxx 求 f x的单调区间 当1a 时 若函数 g x在区间 1 m mmZ内存在唯一的极值点 求m的值 4 设函数 sincos 0 2 f xaxxx x 当1a 时 求证 0f x 如果 0f x 恒成立 求实数a的最小值 数学 第 40 页 5 已知函数xxxxfln 2 求证 1 是函数 xf的极值点 设 xg是函数 xf的导函数 求证 1 xg 数学 第 41 页 No 2 解析解析几何几何 1 已知椭圆 C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 点 3 1 2 A在椭圆 C 上 求椭圆 C 的方程 设动直线l与椭圆 C 有且仅有一个公共点 判断是否存在以原点 O 为圆心的圆 满足 此圆与l相交两点 1 P 2 P 两点均不在坐标轴上 且使得直线 1 OP 2 OP 的斜率之积为定 值 若存在 求此圆的方程 若不存在 说明理由 2 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的右焦点为 1 0 F 离心率为 1 2 直线 4 l yk x 0 k 与椭圆 C 交于不同两点 M N 直线 FM FN分别交y轴于 A B两点 求椭圆 C 的方程 求证 FAFB 数学 第 42 页 3 在平面直角坐标系Ox y中 点 000 0 P xyy 在椭圆 C 2 2 1 2 x y 上 过点P的直 线l的方程为 0 0 1 2 x x y y 求椭圆C的离心率 若直线l与x轴 y轴分别相交于 A B两点 试求OAB 面积的最小值 设椭圆C的左 右焦点分别为 1 F 2 F 点Q与点 1 F关于直线l对称 求证 点 2 Q P F 三点共线 4 设 1 F 2 F分别为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x E 的左 右焦点 点在椭圆E上 且点P和 1 F关于点对称 求椭圆E的方程 过右焦点 2 F的直线 与椭圆相交于 两点 过点P且平行于AB的直线与椭圆交 于另一点Q 问是否存在直线l 使得四边形PABQ的对角线互相平分 若存在 求出l的 方程 若不存在 说明理由 2 3 1 P 4 3 0 C lAB 数学 第 43 页 5 已知椭圆 22 22 1 0 xy Mab ab 过点 0 1 且离心率 6 3 e 求椭圆M的方程 是否存在菱形ABCD 同时满足下列三个条件 点A在直线2y 上 点B C D在椭圆M上 直线BD的斜率等于1 如果存在 求出A点坐标 如果不存在 说明理由 数学 第 44 页 No 3 数列数列 1 已知数列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是 20 接 下来的两项是 20 21 再接下来的三项是 20 21 22 依此类推 设该数列的前n项和为 n S 规定 若m N 使得2p m S p N 则称m为该数列的 佳幂数 将该数列的 佳幂数 从小到大排列 直接写出前3 个 佳幂数 试判断 50 是否为 佳幂数 并说明理由 III i 求满足m 70 的最小的 佳幂数 m ii 证明 该数列的 佳幂数 有无数个 数学 第 45 页 2 已知集合 21 Ax xnn N 1 2 n Bx xn N CAB 对于数列 n a 1 1a 且对于任意2 n N n 有 1 min nn axC xa 记 n S为数列 n a 的前n项和 写出 7 a 8 a的值 数列 n a中 对于任意 N n 存在 N n k 使 1 2 n n k a 求数列 n k的通项公式 数列 n a中 对于任意 N n 存在 Nk 有 1 21 k an 求使得 11 27 kk Sa成立 的k的最小值 数学 第 46 页 3 在数列 n a中 1 a 2 a是整数 且 1212 1212 53 nnnn n nnnn aaaa a aaaa 为偶数 为奇数 n N 且 3 n 若 1 1 a 2 2 a 写出 3 a 4 a 5 a的值 若在数列 n a的前 2018 项中 奇数的个数为t 求t的最大值 若数列 n a中 1 a是奇数 21 3aa 证明 对任意n N n a不是 4 的倍数 数学 第 47 页 4 如果n项有穷数列 n a满足 1n aa 21n aa 1n aa 即 1 1 2 ini aain 则称有穷数列 n a为 对称数列 设数列 n b是项数为 7 的 对称数列 其中 1234 b b b b成等比数列 且 25 3 1bb 依次写出数列 n b的每一项 设数列 n c是项数为21k kN 且2k 的 对称数列 且满足 1 2 nn cc 记 n S为数列 n c的前n项和 若 12 k c cc 是单调递增数列 且2017 k c 当k为何值时 21k S 取得最大值 若 1 2018c 且 21 2018 k S 求k的最小值 数学 第 48 页 5 已知集合 12 1 1 1 2 nni Ax xxxin n x yA 12 n xx xx 12 n yy yy 其中 1 1 ii x y 1 2 in 定义 1122nn xyx yx yx y 若0 xy 则称x与y正交 若 1 1 1 1 x 写出 4 A中与x正交的所有元素 令 n Bxy x yA 若mB 证明 mn 为偶数 若 n AA 且A中任意两个元素均正交 分别求出8 14n 时 A中最多可以有多 少个元素 数学 第 49 页 第四部分第四部分 上一届考题上一届考题 中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学 2018 届高三届高三 2 月考月考 数学数学 理理 试试题题 本试卷共 4 页 三道大题 20 道小题 满分 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将 答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷保留 答题卡交回 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 1 复数 1 1 i i 在复平面内对应的点位于 A 实轴上 B 虚轴上 C 第一三象限 D 第二四象限 2 已知向量 a 3 1 b 2 4 则向量 a 与 b 的夹角为 A 2 3 B 3 4 C 5 6 D 7 12 3 已知双曲线 C 的两条渐近线互相垂直 则双曲线 C 的离心率为 A 2 B 2 C 1 2 D 2 2 4 执行如右图所示的程序框图 若输入的 n 值为 4 则输出的 C 值为 A 2 B 3 C 5 D 8 5 已知 O 0 0 A 1 0 B 2 1 C m n 则 m 2n 是 AC OB 于点 C 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2018 2 开始 输入n A 0 B 1 k 0 k n C A B A B B C k k 1 输出C 结束 是 否 数学 第 50 页 6 某四面体的三视图如右图所示 则该四面体的最大棱长 为 A 2 B 6 C 2 2 D 3 7 现有一种新型洗衣液 在一定量的水中每投放 k 1 k 4 且 k R 个单位的洗衣液 它