高中数学第一章数例题与探究新人教B版必修.docx

1.3 三角函数的图象与性质典题精讲例1 已知函数y=3sin(x-)，(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；(3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.思路解析:本题考查三角函数的图象与性质.五点法画函数y=3sin(x-)的图象时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由x+=0，2来确定对应x的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.答案:(1)列表：x-02xy030-30 描点：在直角坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，-3)，(，0). 连线：将所得五点法用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图1-3-2所示.图1-3-2 这样就得到了函数y=3sin(x-)在一个周期内的图象，再将这部分向左或向右平移4k(kZ)得函数y=3sin(x-)的图象.(2)方法一：(相位变换在周期变换的前面)把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象；把y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象；将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象. 方法二：(周期变换在平移变换的前面)把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin()的图象；把y=sin()的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin(-)的图象；将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象.(3)周期T=4，振幅A=3，初相是-.(4)令x-=+k，解得x=+2k，kZ， 即函数的对称轴是直线x=+2k(kZ). 令x-=k，解得x=2k+，kZ， 即对称中心为(+2k，0)(kZ). 令-+2kx-+2k，kZ， 解得-+4kx+4k， 即函数的单调递增区间为-+4k，+4k(kZ).绿色通道:(1)对于函数y=Asin(x+)，应明确A、决定“形变”，决定“位变”，A影响值域，影响周期，、影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x的变化，向左或向右平移|个单位；(2)画y=Asin(x+)的图象常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(x+)的形式，再利用公式T=进行求周期，有时还利用图象法求周期；(4)对于函数y=Asin(x+)+b的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把x+看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx来讨论，问题自然就迎刃而解.变式训练 1 (2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinx(0)在区间-,上的最小值是-2，则的最小值等于( )A. B. C.2 D.3思路解析:思路一：根据函数f(x)=2sinx(0) 图象的大致位置可得,又T=，所以有23，即. 思路二：(代入验证法)当=时，f(x)=2sin(x)，画图象得在区间-,上的最小值是f(-)=2sin(-)-2，故排除A项；当=时，f(x)=2sin(x)，画图象得在区间-,上的最小值是f(-)=-2，故排除C、D两项.答案:B变式训练 2 (2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图象的一部分是图1-3-3的是( )图1-3-3A.y=sin(x+) B.y=sin(2x-)C.y=cos(4x-) D.y=cos(2x-)思路解析:从图象看出，T=+=，函数的最小正周期为.=2.排除A、C两项；图象过点(-，0)，代入B项，有f(-)=sin(-)=-10.排除B.答案:D变式训练 3 (2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx的图象，只需将函数y=2sin(2x+)的图象上所有的点的( )A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度思路解析:由于y=cosx=sin(x+)，则将函数y=sin(2x+)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)的图象；再将函数y=sin(x+)的图象向左平行移动个单位长度得到函数y=sin(x+)，即函数y=cosx的图象.答案:C变式训练 4 (2005全国高考卷，理17)设函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间0,上的图象.思路分析:主要考查三角函数图象及性质，以及推理和运算能力.正弦型函数y=Asin(x+)的图象与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值.解:(1)x=是函数y=f(x)图象的对称轴，sin(2+)=1.+=k+,kZ.=k+,kZ.-0，-k+0.-k-k=-1.=-.(2)由(1)知y=sin(2x-).令2k-2x-2k+,kZ，k+xk+,kZ， 即函数y=sin(2x-)的单调递增区间是k+,k+(kZ).(3)由y=sin(2x-)知x0y-1010-故函数y=f(x)在区间0,上的图象如图1-3-4所示.图1-3-4例2 已知sin=-，0，2，求角.思路分析:考查由已知三角函数值求角.由正弦函数的图象可知在区间0，2内符合条件的角有两个.解:sin=-0，是第三或第四象限角. 又0，2，在区间(，)和(，2)内各有一个符合题意的角.0arcsin，+arcsin，2-arcsin2.sin(+arcsin)=-sin(arcsin)=-，sin(2-arcsin)=-sin(arcsin)=-，=+arcsin或2-arcsin.绿色通道:由已知三角函数值求角，所得的解可能不是唯一的.一般地说，在02内有两个角(特殊情况，若是象限界角，可能只对应一个角)，其解法步骤：(1)由已知三角函数值的符号，确定所在象限；(2)先求出与其函数值的绝对值对应的锐角1，再根据所在象限，得出02的角；(3)写出所求角的大小.黑色陷阱:书写所求的角时，不要将弧度与角度混在一起写，如180-,+40的写法都是错误的.变式训练 A为ABC的内角，且满足sinA=，求角A的值.思路分析:由角A的范围和三角函数值来确定.解:A为ABC的内角，0A. 由正弦函数的图象知，在(0,)内有两个角和的正弦值等于，A=或.例3 (2006浙江金华一模设)x(0，)，则sin+的最小值是_.思路解析:本题考查三角函数的值域和函数的最值.利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t，x(0,),0t1.+=+.可以证明当0t1时，函数y=+是减函数.当t=1时，y取最小值，即+的最小值是.答案:绿色通道:求三角函数最值的方法是换元法，化归为求常见函数的最值.变式训练 设a0，对于函数f(x)=(0x)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值思路解析:利用换元法.令t=sinx，0x,则t(0,1，那么函数f(x)=(0x)的值域为函数y=1+,t(0,1的值域，又a0，可以证明y=1+,t(0,1是减函减，所以函数f(x)有最小值而无最大值.答案:B例4 已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)是周期函数.思路分析:考查周期函数的定义.只需找到一个非零实数T，满足f(x+T)=f(x).解:令x-2=t，则x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2)，得f(t)=f(t+2)+2=f(t+4).f(t)=f(t+4).f(x+4)=f(x).函数y=f(x)是周期函数，4是一个周期.绿色通道:证明周期函数最常用的是定义法，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立，其难点是如何找到T，要想能够找到T，需靠平时经验的积累.而此类问题中常结合换元法共同解决.变式训练 1 已知函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x，总有f(x)=f(x-1)+f(x+1)，求证：f(x)为周期函数.思路分析:周期函数的定义是证明一个函数为周期函数的重要方法，证明的关键是依据题设条件找到定义中的不为零的常数T.解:由题意得：对任意实数x，有f(x+2)=f(x+1)+f(x+3)=f(x)+f(x+2)+f(x+3).f(x+3)+f(x)=0.f(x+3)=-f(x).f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=-f(x)=f(x).f(x+6)=f(x).f(x)为周期函数，6是它的一个周期.变式训练 2 (2006山东高考卷，理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.2思路解析:f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，4是一个周期.f(6)=f(4+2)=f(2). 又f(2)=f(0+2)=-f(0)，f(6)=-f(0). 又f(-0)=-f(0)，f(0)=0.f(6)=0.答案:B问题探究问题1 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，那么具备什么特征的函数是周期函数？所有周期函数都有最小正周期吗？导思:探究思路是从周期函数的定义和图象的特点上分析的.探究:对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说f(x)是周期函数.例如函数f(x)=x2-2x，f(-1+4)=f(-1)=3，但是f(1+4)=15f(1)=-1，所以函数f(x)=x2-2x不是周期函数. 那么具备什么特征的函数是周期函数呢？这要从周期函数的定义来分析：只要存在非零常数T，对定义域中的每一个x值总有f(x+T)=f(x)成立，就称函数y=f(x)是周期函数.T就是函数的一个周期；从周期函数的图象上来分析：如果函数的图象每隔“一段”重复出现，那么这个函数就是周期函数. 要注意：从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f2(x+)=f(2x)，则是f(x)的周期. 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=C(C为常数)，xR，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)=f(x)，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以此函数f(x)没有最小正周期. 再如狄利克莱函数：D(x)= 设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，就是说D(x)与D(x+r)或者同时等于1或者同时等于0，因此总有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期. 对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(kN*)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，就是说，周期函数的定义域一定无上界也无下界.问题2 在学习正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？导思:探究思路1：分析定义域；探究思路2：分析图象；探究思路3：分析图象的画法；探究思路4：分析定义.探究:正切函数y=tanx，其定义域不是R，而是xk+(kZ)，值域不是-1,1，而是R.又正切函数与正弦、余弦函数的定义不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在其定义域上不连续，它有无数条渐近线x=k+(kZ)，图象被这些渐近线分割开来；正余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数仅有单调递增区间(k-,k+)(kZ)，没有单调递减区间. 同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=Atan(x+)(0)而言，T=,y=tanx是奇函数，它的图象既可以用三角函数线作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为(k,0),(k+,1),(k-，-1),直线x=k+，直线x=k-(其中kZ)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx在一个周期上的简图. 还需注意的是，对正弦、余弦函数的结论作一般的推广到正切函数，需论证后加以应用.例如y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx的周期却相同，均为，再如y=sinx+cosax的周期可用最小公倍数法求，而y=tanx+cotax的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期.函数y=Asin(x+)的周期是，而函数y=Atan(x+)的周期是.问题3 观察正弦函数y=sinx的图象，你发现有什么对称性？并证明你的结论.导思:探究思路是由特殊到一般，利用归纳推理，先归纳，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证明.也可以用计算机探究.探究:观察正弦函数y=sinx的图象，发现正弦函数对称轴为直线x=，,；对称中心为(0,0),(,0),(2,0),(3,0)，.由此可猜想正弦函数的对称轴为直线x=k+(kZ)，并且每条对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值；对称中心为(k,0)(kZ)，并且正弦函数图象与x轴的交点均是正弦函数图象的对称中心.下面给出证明：设点P(x,sinx)是正弦函数y=sinx的图象上任意一点，点P关于直线x=k+(kZ)的对称点M(2k+-x,sinx),点P关于点(k,0)的对称点Q(2k-x,-sinx).sin(2k+-x)=sinx,sin(2k-