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文档简介

南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题（2013年3月）注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一（9分）设 求值。解：（1） （2）(3) 因为为实对称矩阵，且的特征值为：所以 二（9分）已知函数矩阵 ， 求矩阵解： 又三 （10分）设向量与，令，（1）求的一个基和维数； （2）求。解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换r(A) = 3 r( 1, 2, 3, 1, 2) = 3 dim(V1+V2) = 3可选 1, 2, 1 为V1 + V2 的基(2)dim V1 = r 1, 2, 3 = 2, dimV2 = r 1, 2 = 2dim(V1V2) = dimV1 + dimV2 - dim(V1+V2 ) = 2 + 2 3 = 1四（12分）设，（1）求的Jordan标准形及最小多项式；（2）求；（3）求解初值问题 解：（1） 对的特征矩阵施行如下初等行变换：的不变因子组为：，初等因子组为，的Jordan标准形为。的最小多项式，（2）设则令，即，得：初值问题解为：。五（10分） 设A为反Hermite阵，则A的特征值为零或纯虚数。证：设是A的任一特征值，x是对应的一个特征向量，则一方面，另一方面，为零或纯虚数。数值分析部分一 （10分）用改进的法（预报校正公式）解初值问题：取步长计算和的近似值，小数点后至少保留5位。解：改进的法（预报校正公式）为：即由计算得：二（10分）对于线性方程组，试建立解此方程组的迭代格式，求出其迭代矩阵，并讨论迭代法的收敛性。解： 迭代法为： 其迭代矩阵为：因为方程组的系数矩阵是严格对角矩阵，所以迭代法收敛。（或因为，所以迭代法收敛）.三（10分）用迭代法求解方程：的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到的近似根）。解：设，在上单调递增，原方程最多有一个实根，又所以原方程只有一个实根，且实根在内。用迭代法：它至少平方收敛。取初值，代入迭代公式，依次得：所以原方程实根。四（10分） （8分）求一个次数不高于3的多项式，使它满足：，并求差商的值。解：差商表0-6128242-3312832 因为是次数不高于3的多项式，五（10分）求常系数、及节点，使得数值求积公式的代数精确度尽可能高，并求出其最高的代数精确度。解：当时，左边=1，右边=；当时，左边=，右边=；当时，
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