四年级奥数讲义656学子教案库四年级寒假第04讲最短路线教师版.doc

第四讲 最短路线要点总结课堂精讲【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。解：如下图过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了采用轴对称（直线对称）作法。答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B，使BO=OB连结AB交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=BE，所以AB=AE+EB=AE+EB（2）设E是直线上不同于E的任意一点，如图135，连结AE、EB、EB，可得AE+EB=AE+EBAB（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB所以折线AEB最短。拓展训练如下图，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。答案：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图。过A分别作河岸、公路的对称点A、A，如下图，连结AA，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线AA的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短。【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如下图，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较。答案：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点， 将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图139（1），AB是直角三角形ABC的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图139（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图139（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图139（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米。【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如下图，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B，这就可以用B代替B，从而找出最短路线。答案：如下图，将圆柱体侧面展成平面图形作点B关于直线CD的对称点B，连结AB，AB是A、B两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB=OB，AB=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线。延长AC到E，使CEBD，因为AEB是直角三角形，AB是斜边，EB=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB2=AE2+EB2=242+72=625所以AB=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？分析：最合理的路线就是选择最短路线图中有很多路线，到底走哪一条路线最短呢？自然是能不重复走遍所有街道，最后回到邮局因此这个问题就变成能否一笔画出这个图形，最后回到起点的“一笔画”问题所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点，把与奇数条线相连接的点叫做奇点图中A、B、G、I都是偶点，其余的点均为奇点根据一笔画原理，可以判断出上图不是一笔画图形，因为这个图形奇点的个数超过两个显然这个图形不能一笔画出，但我们可以将这个图形转化成一笔画图形此题要求邮递员从邮局出发，最后回到邮局按一笔画的原理，只有图形中的点全部是偶点时，才能从起点出发，最后又回到起点图中共有10个奇点，显然邮递员要不重复走遍所有的街道是不可能的为使邮递员从邮局出发，最后仍回到邮局，必须使10个奇点都变为偶点，这就需要在每两个奇点之间添加一条线，使全部的奇点变为偶点在实际问题中，就是邮递员在哪些街道上要重复走，由于各段街道的路程不同，究竟邮递员在哪些街道重复走，能使投邮路线最合理当然必是重复走的路程最短，总路程才能最短要达到这一点，连线时必须做到以下两点：（1）连线不能出现重迭；（2）在每一个首尾相接的封闭图上，连线的长度总和不能超过总封闭图的长的一半按照上面两点，这个题最佳连线如下图所示虚线。答案：根据下图，将10个奇点全变为偶点，且相应的投递路线为：B（邮局）NAIHJFGHJKEFEDLKLMNMCDCB。这条路线最合理（走法不唯一），全程长为：（1+0.5+2+1+0.5）4+26+12=34（千米）【例6】下图是一个城市道路图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程。分析：从图中可以看出，从A到F有许多条路，要确定一条最短的路线，可以采用排除的方法，逐步去掉比较长的道路，最后确定一条由A到F的最短路线根据图中给出的路程的长度，有些明显较长的路可以不去考虑从A出发到F，有三条路线相对较短，沿AIHGF路线走，它的长度是：7+1+5+4=17；沿AJKGF路线走，它的长度是：4+3+5+4=16；沿ABEF路线走，它的长度是：5+7+6=18；比较结果得出最短路线。答案：由A到F的最短路线为：AJKGF，路线的长为：4+3+5+4=16（千米）拓展训练某乡有八个行政村，如下图，点表示村的位置，线表示村与村之间的道路，路的长度由线旁的数字表示现在要在这个乡建立通讯网，沿道路架设电线，问沿怎样的路线架设电线最省（单位：千米）？答案：要在八个村架设电线形成通讯网，这个线路必须是连通的，这样才能形成网络由于题目要求确定的路线最省，当然应该是电线的总长度尽可能短如果采用圈形网络会出现若干个闭路，造成电线的浪费，所以采用树形网络可以达到节省电线的目的上图是乡村分布图，它是一个圈形网络，可以将它转化成树形网络为了使所得到的树形网络中的曲线（架线时所用电线）尽可能短，可以将圈形网络中较长的线剪掉，这种方法叫剪圈法在AGEFA这个封闭圈中，AF最长，把它剪掉在ABHGA这个封闭圈中，AG最长，把它剪掉在GHEG这个封闭圈中，GE最长，把它剪掉在EHDE这个封闭圈中，HD最长，把它剪掉在HDCH这个封闭圈中，DC最长，把它剪掉在HBCH这个封闭圈中，BC最长，把它剪掉这样把原题圈形网络转化成了树形网络图，且这个网络图的总长度最短。根据剪圈法将上面圈形网络图转化成了下面树形网络图，此网络的总长度为：13+12+4+6+16+8=69（千米）由于通讯线路是双线，所以电线的总长度为692=138（千米）。【例7】仍取上面拓展训练的图中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问沿什么路线修道最合理？分析：由题意，要确定一条合理的挖渠路线，而且要省工省料，并符合“水往低处流”的客观规律由于所修水渠是连通的，渠道可以看作是网络，而且也是树形网络只是在本题中增加了“地势不同”这一条件，所以，力求树形网络总长尽可能短的情况下，所求的树形网络的方向应该是由西向东，以A为起点，以距离A最远的D为终点。采取“取短法”，所谓取短法就是剪去长线，留取短线并根据方向的限制，从地势最低点开始考虑（也可从其它点入手考虑）D的临近点有E、H、C，它们都比D地势高，所以，这三点处的水都可以流入D，则只需取一条最短的即可，ED=16最短，留ED，将HD、CD去掉。再看C点，有两条通道HC、BC（这里所说的通道是指地势高的点通向地势低的点的道路），HC比BC短，去掉BC，保留HCE点有三条通道FE、GE、HE，其中HE最短，保留HE，去掉FE、GEH点有两条通道BH、GH，其中GH最短，保留GH，去掉BH，最后剩下地势较高的三点B、F、G，它们与A都各有一条通道，不存在取舍问题，这样得到，挖渠的最佳方案。答案：利用取短法并根据方向的限制，得到下图所示的挖渠的最佳方案最佳方案的挖渠总长为：17+15+13+4+7+6+16=78（千米）【例8】有八栋居民楼A1、A2、A8分布在公路的两侧，如下图，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？分析：住A1楼的居民总要走到B，A2楼的居民总要走到C，A3、A4楼的居民总要走到D，这些小路总要走，与车站建在哪无关，故问题可以简化成B、C、D、E、F、G处分别站着1人、1人、2人、1人、2人、1人，这些人用点的个数来表示，如图148，求一点使所有人走到这一点的距离和最小当点数为奇数时，应设在中间点上，当点数为偶数时，应设在中间相邻的两点或这两点之间的任何地方，这样的距离和为最短。答案：题目中的图可以简化成上图，由于点的个数是偶数，所以应将车站设在D或E或DE之间的任何一点。【例9】有两条通讯路线A和B，如下图，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？分析与解：如下图所示，沿CPQD走路程最短。【例10】要在两条街道（如下图）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？分析与解：如下图所示，邮筒应设在E、F两点，沿MEFM路线为最短。本讲随堂练习【作1】如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？答案：要求A到C的最短路线，可以先把立方体展开，使它相邻两个面处于同一平面内蚂蚁从A到C有两条路线可以选择：（1）将朝上的一面与朝前的一面展开在同一平面内，连结AC，则AC一定过中点B，如图13-5假设正方体的棱长为2个长度单位，则由勾股定理，得：AC2=2222=8（2）把朝前和朝右的一面展开在同一平面内，连结AC，如图13-6同样可以求得AC2=12+（21）2=10比较两种路线，由于8小于10，所以沿第一条路线从A到C的路线为最短，即题中所示路线是蚂蚁爬行的最短路线。 【作2】一个小虫从圆柱体（如下图）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线。答案：将圆柱体的侧面展开成一个长方形，如下图从A到B的直线段最短，把侧面展开图卷成圆柱，那么直线段AB就变成圆柱体侧面上的曲线AB，小虫沿着这条曲线爬行是最短路线。【作3】甲、乙、丙是三个镇，中间有一条河把甲、丙和乙隔开，如下图，要使这三个镇中任何两个镇之间都有最短通路，除了在甲、丙之间修一条直线型公路外，还需要在河面上架两座桥，使甲与乙、乙与丙之间也有通路这两座桥应架在什么地方最合理。答案：如下图所示，桥应架在AB、CD位置上。课外故事一天，我发现一只黑