4.5 标准正交基与正交矩阵.ppt

4 5标准正交基与正交矩阵 黄凤英 信息科学与计算学院 内积的定义 主要内容 内积的性质 向量的长度和夹角 正交向量组的性质 正交基与规范正交基 正交矩阵 正交变换 定义1设有n维向量 令 x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称为向 量x与y的内积 一 内积的定义 内积是向量的一种运算 运算结果是一个实数 阵记号表示 x与y都是列向量 有 x y xTy yTx 这种运算也可用矩 例如 1 x y y x 2 x y x y 3 x y z x z y z 4 x x 0 且当x 0时有 x x 0 下列性质 二 内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则内积有 在解析几何中 我们曾引进向量的数量积 度和夹角 广 并且反过来 利用内积来定义n维向量的长 念 因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概 所以n维向量的内积是数量积的一种推广 但n x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1y1 x2y2 x3y3 且在直角坐标系中 有 x y x y cos 三 向量的长度和夹角 1 长度的定义定义2令 x 称为n维向量x的长度 或模 当 x 1时 称x为单位向量 1 非负性当x 0时 x 0 当x 0时 x 0 2 齐次性 x x 3 三角不等式 x y x y 是一个单位向量 称这 当x 0时 一运算为将向量x标准化或单位化 向量的长度具有下列性质 2 长度的性质 例如 单位化x 3 向量的夹角向量的内积满足施瓦茨不等式 x y 2 x x y y 由此可得 当 x y 0时 令 于是有下面的定义 定义当 x 0 y 0时 称为n维向量x与y的夹角 量正交 x 0 则x与任何向量都正交 即零向量与任何向 当 x y 0时 称向量x与y正交 显然 若 讲解书例1 1 正交向量组的定义定义若非零向量组a1 a2 am两两正交 即 ai aj aiTaj 0 i j i j 1 2 m 两两正交的非零向量 则a1 a2 am线性无关 定理1若n维向量a1 a2 am是一组 则向量组称为正交向量组 若每个向量为单位向量 四 正交向量组的性质 称此正交向量组为单位正交向量组 1 定义设a1 a2 an是 a2 an是Rn的一个标准正交基 如果a1 a2 an为单位正交向量组 则称a1 五 正交基与标准正交基 Rn的一个基 2 标准正交基的求法设a1 a2 ar是向量空间V的一个基 要 正交化 我们可以用以下方法把a1 a2 ar规范 ar这个基标准正交化 a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 正交的单位向量1 2 r 使1 2 r与 求V的一个标准正交基 也就是要找一组两两 x x x x x x 取b1 a1 容易验证b1 br两两正交 且b1 br与 然后只要把它们单位化 即取 a1 ar等价 就得V的一个标准正交基 bk与a1 ak等价 等价 还满足对任何k 1 k r 向量组b1 正交化过程 它不仅满足b1 br与a1 ar 向量组b1 br的过程称为施密特 Schimidt 上述从线性无关向量组a1 ar导出正交 综上所述 求向量空间V的一个标准正交基 的一个标准正交基 步骤3 把正交基b1 br单位化即得V 正交化 得正交基b1 br 步骤2 用施密特正交化过程把a1 ar 步骤1 求V的任意一个基a1 ar 可归为以下三步 例4设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 例5已知R3中两个向量 求a3 使得a1 a2 a3为R3的一组正交基 并求与之等价的标准正交基 例6已知 求一组非零向量 a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 定义4设A为n阶实矩阵 且ATA E 都是正交矩阵 则称A为正交矩阵 例如 六 正交矩阵 2 正交矩阵的性质 1 若矩阵A为正交矩阵 则 行 列 向量组是两两正交的单位向量组 定理2实矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的 AT A 1 2 实