2015年江苏高考数学模拟试卷(5套,含附加)有详细答案.doc

2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集，集合，则 2如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则z2的模为 3抛物线的焦点坐标是 4已知直线，则“”是“”的 条件5当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为 6为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 788618915787定义在R上的偶函数（其中为常数）的最小值为2，则 8设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，则的最小值是 9已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 10已知，则= 11已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是 12已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 13已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数若，且是正整数，则等于 14在等腰三角形中，在线段上，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示（1）写出及图中的值；（2）求在区间上的最大值和最小值16（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，平面平面（1）求证：平面；（2）求证：；（3）设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由17（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角（1）求的长度；（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？18（本小题满分16分）已知椭圆E：的离心率为，且过点右焦点为F，点N（2,0）（1）求椭圆E的方程；（2）设动弦AB与x轴垂直，求证：直线AF与直线BN的交点M仍在椭圆E上19（本小题满分16分）已知函数（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，求证：；（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论20（本小题满分16分）数列的前项和为，且满足，（为常数，）（1）若，求；（2）若数列是等比数列，求实数的值（3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由第II卷 （附加题 分值40分）21【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，是外一点，为切线，割线经过圆心，若，求的度数B选修42：矩阵与变换 将曲线y2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为ysinx，求变换矩阵M的逆矩阵C选修44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值D选修45：不等式选讲已知且，求证：【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足（R）（1）证明：PNAM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45，试确定点P的位置23（本小题满分10分）已知数列an满足：（1）若，求数列an的通项公式；（2）若，试证明：对，an是4的倍数 2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 25 3 4充分不必要 52 60.625 72 8 9 10 11 12 13 14解析：24,7由题意为偶函数，故，又的最小值为2，所以，所以10，故12设，所以，所以DABCxy13，令，为正整数，所以，解得，经验证时，14如图，以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy设A(x，y)，y0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)所以，=，于是，二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）的值是的值是（2）由（1）可知：因为 ，所以 所以 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值0 16证明：（1）在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 （2）连接在正方形中， 因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面 因为 平面， 所以 在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 因为 平面， 所以 （3）四点不共面 理由如下： 因为 分别是的中点，所以 同理可证：因为 平面，平面，平面，平面， 所以 平面平面因为 平面，所以 平面，即四点不共面 17解：（1）作，垂足为，则，设，则，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为（2）设，则，设，令，因为，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值18（1）解：因为，所以，b=c，即椭圆E的方程可以设为将点P的坐标代入得：，所以，椭圆E的方程为（2）证明：右焦点为F（1,0），设，由题意得所以直线AF的方程为：， 直线BN的方程为：， 、 联立得，即，在代入得，即所以点M的坐标为 又因为 将代入得，所以点M在椭圆E上19（1）解： 因为切线过原点，所以 ，解得： （2）证明：设，则令，解得 在上变化时，的变化情况如下表所以 当时，取得最小值 所以 当时，即 （3）解：等价于，等价于注意令，所以（I）当时， ，所以无零点，即F(x)定义域内无零点（II）当时，（i）当时，单调递增；因为在上单调递增，而，又，所以又因为，其中，取，表示的整数部分所以，由此由零点存在定理知，在上存在唯一零点（ii）当时，单调递减；当时，单调递增所以当时，有极小值也是最小值，当，即时，在上不存在零点；当，即时，在上存在惟一零点2；12分当，即时，由有，而，所以在上存在惟一零点；又因为，令，其中，所以，因此在上单调递增，从而，所以在上单调递增，因此，故在上单调递增，所以由上得，由零点存在定理知，在上存在惟一零点，即在上存在唯一零点 综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0； 当时，函数F(x)的零点个数为1；当时，函数F(x)的零点个数为2；当时，函数F(x)的零点个数为3 20解：（1）因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 所以 所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列所以 （2）若数列是等比数列，则由（1）可得：解得：当时，由得：显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列所以 （3）当时，由（2）知：所以 ，即数列就是一个无穷等差数列所以 当时，可以得到满足题意的等差数列当时，因为 ，即，所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列所以 下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 设数列的公差为当时，所以 数列是各项均为正数的递减数列所以 因为 ，所以 当时，这与矛盾当时，令，解得： 所以 当时，恒成立所以 数列必然是各项均为负数的递增数列所以 因为 ，所以 当时，这与矛盾综上所述，是唯一满足条件的的值 第II卷 参考答案与解析21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲解：连结，为切线，为割线，又，为切线，为切点，在中，B选修42：矩阵与变换 解：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点，即M，所以M，设M1，于是有MM1 ，所以，解得，所以M的逆矩阵为C选修44：坐标系与参数方程解：（1）由，得所以曲线C的直角坐标方程为（2）将直线的参数方程代入，得设、两点对应的参数分别为、，则， ，当时，的最小值为4 D选修45：不等式选讲解：，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz则P（，0,1），N（，0），M（0,1，），从而（，1），（0,1，），（)0110，所以PNAM； （2）平面ABC的一个法向量为n（0,0,1）设平面PMN的一个法向量为m（x，y，z），由（1）得（，1，）由解得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，|cosm，n|，解得 故点P在B1A1的延长线上，且|A1P| 23解：（1）当时，令，则因为奇数，也是奇数且只能为，所以，即 （2）当时，下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数当时，命题成立；设当时，命题成立，则存在N*，使得，其中，当时，命题成立由数学归纳法原理知命题对成立2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1函数的定义域为 2若复数是实数（为虚数单位），则实数的值是 3在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 4若 ，则 = 5如图所示的流程图，若输入的值为，则输出的结果 6已知实数满足约束条件 若取得最小值时的最优解有无数个，则 7给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 （1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中正确的是 8设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 9已知等比数列各项都是正数，且，则前项的和为 10在中，角所对的边分别是，则角的取值范围是 11如图，函数的部分图象，其中分别是图中的最高点和最低点，且，那么的值为 12若对任意的恒成立，则的取值范围为 13若正实数a，b，c满足，且ab，若不等式5a+6bkc恒成立，则实数k的最大值为 14设三角形ABC的内角A、B、C所对边a、b、c成等比数列，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知向量a=(，sin)与b=(1，cos)互相平行，其中(0，)（1）求sin和cos的值；来源:学科网ZXXK（2）求f(x)=sin(2x)的最小正周期和单调增区间 16（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是中点，是中点，（1）求证：面；（2）若面面，求证：17（本小题满分14分）A O B M C D E F N x y 如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，（单位百米）已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不计），交线段于点，交线段于点现以点O为坐标原点，线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数的图象若点到轴距离记为（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值18（本小题满分16分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线交于、两点，点是点关于轴的对称点，求证直线过定点，并求出定点坐标19（本小题满分16分）在数列an中，(nN*)从数列an中选出k(k3)项并按原顺序组成的新数列记为bn，并称bn为数列an的k项之列例如数列为an的一个4项子列（1）试写出数列an的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果bn为数列an的一个5项子列，且bn为等差数列，证明：bn的公差d满足 ；（3）如果cn为数列an的一个m(m3)项子列，且cn为等比数列，证明：c1c2c3cm2 20（本小题满分16分）已知函数 （1）若求的最值； （2）讨论的单调性； （3）已知是图像上的二个不同的极值点，设直线的斜率为 求证: 第II卷 （附加题 分值40分）21【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDEFOA选修41：几何证明选讲如图，已知是的直径，是的弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，交于点若，求的值B选修42：矩阵与变换 已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量（1）求矩阵；（2）求曲线在的作用下的新曲线方程C选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，求直线l被圆C截得的弦长D选修45：不等式选讲已知，且，求的最小值【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值 23（本小题满分10分）设整数，集合是的两个非空子集记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数（1）求；（2）求2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 22 3 4 51 6 7、 8 91023 10 11 12 13 14解析：1只要解不等式3任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 6直线yaxz与可行域（三角形）下边界x2y30重合时z最小，a=8设点P、Q在x轴上的射影分别为焦点F1、F2，|PF1|=c(其中c为|OF1|的长)，从而|PF2|=，所以2a=|PF1|PF2|=，得e=9由条件得，则10，又因为，得11 得，又当时，得12由题意可知，13由已知，14=设a、b、c的公比为q，则b=aq，c=aq2，又 a、b、c能构成三角形的三边，所以有，解得，即二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）因为向量a与b平行，则sin=cos，tan=，又(0，)，所以=，所以sin=，cos=；（2）由f(x)=sin(2x)=，得最小正周期，由，解得，所以f(x)的单调增区间为16证明：（1）取中点，连，中，且，又，得，四边形是平行四边形，得，面，面，面 （2）过点作的垂线，垂足为，面面，面面，面面，面，平面，平面，、面，面，面， 17解：（1）由题意得， 又因为，所以直线的斜率，故直线的方程为，即 （2）由（1）易知，即令得，令得由题意解得 令，则 当时，；当时，；所求面积的最大值为 18解：（1）设椭圆E的方程为，由已知得： ，椭圆E的方程为 （2）设，则，直线:，与椭圆方程联立，得，得，点在直线上，则，直线方程：，化简得：，则直线过定点 19解：（1）3项子列；(答案不唯一)（2）由题意，知1b1b2b3b4b50，所以d=b2b10，所以4d=b5b1=b511，即d，与d矛盾，所以b11所以b1，因为b5=b14d，b50，所以4d=b5b1b5，即d，所以（3）由题意，设cn的公比为q，则：c1c2c3cm=c1(1qq2qm1)，因为cn为an的一个m项子项，所以q为正有理数，且q1，c1=1(aN*)，设q=，且K，L互质，L2)，当K=1时，因为q=，所以c1c2c3cm=c1(1qq2qm1)1=2；当K1时，因为cm=c1qm1=是an的项，且K、L互质，所以a=Km1M(MN*)所以c1c2c3cm=c1(1qq2qm1)=因为L2，MN*，所以c1c2c3cm1=2；综上，c1c2c3cm220解：（1）当时， ，在上单调递增，在上单调递减（2） i: ，在上单调递减ii: 时， 当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 当时， 在上单调递增，在上单调递减（3）设则是方程的二个根，且，令， ，在上单调递增， 即， 第II卷 参考答案与解析21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲解：连接OD，BC，设BC交OD于点M因为OA=OD，所以OAD=ODA；又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE所以OD/AE；又 因为ACBC，且DEAC，所以BC/DE所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD由，设AC=3x，AB=5x，则OM=，又OD=，所以MD=-=x，所以AE=AC+CE=4x，因为OD/AE，所以= B选修42：矩阵与变换 解：（1）由已知，即， ，所以； （2）设曲线上任一点，在作用下对应点，则即，解之得，代入得，即曲线在的作用下的新曲线的方程是C选修44：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0圆C的圆心(2，0)到直线xy40的距离为d又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22 D选修45：不等式选讲解：， ， ， ， 当且仅当，或时 的最小值是1 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22解：（1）以O为原点，分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立直角坐标系A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)异面直线与所成角的余弦值为（2），设平面ABE的法向量为，则由，得平面BEC的法向量为， 二面角的正弦值为23解：（1）当3时，P1，2，3 ，其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，则所有满足题意的集合对(A，B)为：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5对，所以a3； （2）设A中的最大数为k，其中，整数3，则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为：， B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：， 从而集合对(A，B)的个数为，所以an 2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A1,2,3,4,5，集合Bx|x3 then xx-3Else x3-xEndIfPrint x为 4右边是一个算法的伪代码，若输入x的值为1，则输出的x的值是 5有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 6已知为等差数列，其前n项和为，若，则 7已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 .8设，且则的值为 9已知x，y满足约束条件则z2xy的最小值为 10若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 11椭圆C:的左、右焦点分别是，为椭圆上一点，与y轴交与点，若，则椭圆离心率的值为 12已知二次函数（）的图象与轴交于两点，则线段长度的最小值 13如图，在正ABC中，点G为边BC上的中点，线段AB，AC上的动点D，E分别满足，设DE中点为F，记，则的取值范围为 14设二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且（1）若cosA，求sinC的值；（2）若b，a3c，求三角形ABC的面积16（本小题满分14分）如图，已知四棱锥中，底面是菱形， E、F分别是棱BC、PA上的点，/平面，（1）求证：；（2）若，求实数的值17（本小题满分14分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD设（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值（2）若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积S最大18（本小题满分16分）如图，设A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P是椭圆E上不同于A、B的一动点，点是椭圆E的右焦点，直线l是椭圆E的右准线若直线AP与直线：和l分别相交于C、Q两点，FQ与直线BC交于M（1）求的值；（2）若椭圆E的离心率为，直线的方程为，求椭圆E的