2.2.1综合法和分析法3(李用).ppt

2 2 1综合法和分析法 分析 不等式中的a b c为对称的 所以从基本的不等式定理入手 先考虑两个正数的均值定理 再根据不等式的性质推导出证明的结论 证明 a2 b2 2ab a 0 b 0 a2 b2 a b 2ab a b a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2 a3 b3 a2b ab2 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 bc2 b2c a2c ac2 3 a3 b3 c3 a3 a2b a2c b3 b2a b2c c3 c2a c2b a b c a2 b2 c2 点评 1 综合法证明问题的步骤第一步 分析条件 选择方向 仔细分析题目的已知条件 包括隐含条件 分析已知与结论之间的联系与区别 选择相关的公理 定理 公式 结论 确定恰当的解题方法 第二步 转化条件 组织过程 把题目的已知条件 转化成解题所需要的语言 主要是文字 符号 图形三种语言之间的转化 组织过程时要有严密的逻辑 简洁的语言 清晰的思路 第三步 适当调整 回顾反思 解题后回顾解题过程 可对部分步骤进行调整 并对一些语言进行适当的修饰 反思总结解题方法的选取 分析 要证明上述不等式成立 暂无条件可用 这时可以从所要证明的结论出发 逐步反推 寻找使当前命题成立的充分条件 即用分析法证明 点评 1 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 3 用分析法证明数学命题时 一定要恰当地用好 要证 只需证 即证 等词语 研一题 例4 ABC的三个内角A B C成等差数列 A B C的对边分别为a b c 分析 条件与结论跨越较大 不易下手 可考虑用分析法证明 由于分析法是执果索因 逐步寻找成立的充分条件 因此分析法的倒退过程就是综合法 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 ABC三内角A B C成等差数列 故B 60 由余弦定理 有b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2得证 综合法 证明 ABC三内角A B C成等差数列 B 60 由余弦定理 有b2 c2 a2 2cacos60 得c2 a2 ac b2 等式两边同时加上ab bc得c b c a a b a b b c 点评 综合法和分析法各有优缺点 从寻找解题思路来看 综合法由因导果 往往枝节横生 不容易奏效 分析法执果索因 常常根底渐近 有希望成功 就表达证明过程而论 综合法形式简洁 条理清晰 分析法叙述繁琐 文辞见长 也就是说分析法利于思考 综合法宜于表述 因此 在实际解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法为主导求解题思路 再用综合法有条理地表述解答或证明过程 分析 先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子 再用综合法进行证明 2 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可以推出Q成立 就可以证明结论成立 一般情况下 用分析法寻找思路 用综合法完成证明 一 选择题1 用分析法证不等式 欲证 A B 只需证 C D 这里 是 的 A 既不充分也不必要条件B 充要条件C 充分条件D 必要条件 答案 D 解析 但 不一定推出 故应选D 课堂练习 答案 B 解析 因为a2 b2 2ab a2 c2 2ac b2 c2 2bc 将三式相加得2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 即a2 b2 c2 1 又因为 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 所以 a b c 2 1 2 1 3 B成立 故应选B 课堂练习 3 设a b c R 且a b c不全相等 则不等式a3 b3 c3 3abc成立的一个充要条件是 A a b c全为正数B a b c全为非负实数C a b c 0D a b c 0 答案 C 解析 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab ac bc a b c a b 2 b c 2 c a 2 而