数学建模参赛论文.doc

2012年第八届数学建模竞赛 编号:A472012年芜湖高校数学建模竞赛参赛队伍选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 参赛队员：队员1： 孙瑞武 数学101 ，学院 数理学院 队员2： 何阳阳 数学101 ，学院 数理学院 队员3： 王春子 统计111 ，学院 数理学院 题 目：中国人口老龄化与养老金支出的量化分析摘要 本文针对目前我国的养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题建立了按年龄分布的Leslie模型、养老金合理支出水平的定量模型、个人账户基金通货膨胀、通货紧缩风险评估模型的三个模型，这三个模型在分析了目前我国人口结构的基础上又提出了一些可以优化国家养老金制度的方案。 模型：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的Leslie模型，以附录5中提供的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录5），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 模型：建立养老金合理支出水平的定量模型，该模型在分析中国养老金合理支出水平现状的基础上提出了中国未来人口老龄化与养老金的合理支出水平。 模型：根据费雪方程, 假设i 为名义利率, g 为实际利率, j 为通货膨胀率, 则有：i= g+ j ；而 g= i- j ； g 并不总是常数, i 与j 变化的同步节奏不一定和谐、精确, 也存在度量与时间延迟的双重问题。这正是养老基金产生通货膨胀风险的原因所在。 因而可以通过计算某养老保险计划参加者的个人账户在无通货膨胀率情况下的理论现值与发生通货膨胀情况下的现值的差额来预测风险的大小。这个差值越大, 说明养老基金贬值越严重,通货膨胀风险越大; 反之, 通货膨胀风险越小。 问题四建立在对前面三个模型的基础之上的，对它的分析是一个总结性的模拟和估算，依据前面模型得出的结果，提出了解决未来我国养老金制度的优化方案。最后，分别对模型进行残差分析、优缺点评价与推广。关键词： Leslie人口模型 养老金支出定量模型 通膨风险评估模型 人口老龄化 MATLAB软件1、问题重述一、背景知识：中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。中国的养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在，而社会福利保障制度就显得尤为重要，下面我们就分析一下中国未来几十年的人口结构问题，并由此制定更好的社会保障规划。二、需要解决的问题：（1）利用Leslie 模型，分析中国未来 40 年内的人口结构和中国老龄化的速度。（2）查找统计年鉴等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模，并根据相关数据预测未来的养老金规模。（3）在不同水平的通货膨胀率下，结合（2）的结果说明未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）。（4）根据相关资料结合自己学习的知识，提出解决未来“养老难”的可行性方法。2、问题分析针对问题一，在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们建立了模型：按年龄分布的Leslie模型。 针对问题二，老年人口比例增加的过程,也是养老金支出相应增加的过程。伴随着老年人口比例的增加,养老金的支出也有所增加, 从1995至2000年的变化看我国的养老金支出比例占GDP比重总体偏低。因而我们建立养老金合理支出水平的定量模型来解决问题 针对问题三，由于我国基本养老保险个人账户严重“空账” , 基本养老保险制度中个人账户基金的通货膨胀风险长期不被重视。因此, 如何实现个人账户基金的保值和增值, 防范通货膨胀风险将是分账制下个人账户基金营运的一项重大任务。由此我们建立了个人账户基金通货膨胀、通货紧缩风险评估模型。 针对问题四的分析则建立在对前面三个问题解决好的基础之上的，对问题四的分析是一个总结性的模拟和估算，它的正确性取决于前三个问题的结果同时它又高于前三个问题，这也是此次建模的目的所在。3、合理的假设1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争不随时间而变化2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响4、名词解释与符号说明一、名词解释1、总和生育率指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。2、更替水平指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。3、人口抚养比指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常用百分比表示。说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义（ 15-59 岁人口或 15-64 岁人口），计算总抚养有两种方式4、人口老龄化指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。5、出生人口性别比是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103107之间。二、符号说明序号符号意义1：表示年份（选定初始年份的）2：在时间段第年龄组的人口总数3：第年龄组的生育率4：第年龄组的死亡率5：第年龄组的存活率6：Leslie矩阵7：2001年全国人口总数8：2001年城市总人口9：2001年镇总人口10：2001年乡总人口11：2001年第年龄段的人口总数12：时分别表示市、镇、乡的女孩出生率13：时段具有劳动能力的人口14：社会的抚养比指数15:总和生育率16：时段年龄组中女性所占的百分比5、模型的建立与求解问题一：建立按年龄分布的Leslie模型一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系： （1）在（1）式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。若记矩阵 （2）则（1）式可写作: （3）当、已知时，对任意的有 （4）若（2）中的元素满足（）；（），且至少一个。则矩阵称为Leslie矩阵。 只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。二、模型的建立我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据中国人口统计年鉴中的部分数据中所给数据，以一岁为间距对女性分组。(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量：中国人口统计年鉴中的部分数据给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表1表 1城市男147907城市女147465镇男80279镇女77976乡男394690乡女372242根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：我们由中国人口统计年鉴中的部分数据知2001年全国总人口（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：、根据中国人口统计年鉴中的部分数据给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分别为。以城市为例，设2001年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第年龄段上的妇女总人数（见附录2）。（2）计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数。中国人口统计年鉴中的部分数据中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则可以分别算出2001年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：。以城市为例计算：（镇、乡类似）。中国人口统计年鉴中的部分数据中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。由此就可以求出2001年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：，由于总和生育率： 经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正：具体计算结果见附录2。(3) 计算第年龄段的女性总存活率率：记第年龄段的女性的死亡率为。中国人口统计年鉴中的部分数据中分别给出了城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：，于是总存活率为：见附录1。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，于是可以用上面(12)式进行预测。三、对模型结果作进一步讨论我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。（1）人口总量与劳动力人口的发展变化根据考虑种群结构的Leslie离散模型，利用2001年的数据建立人口预测模型。通过分析，计算出我国人口的预测值，对应作出的我国劳动年龄人口与总人口的折线图如下：图2 我国全国总人口与劳动年龄人口折线图根据图2 可以知道从2001年到2023年预测我国全国总人口是呈现上升趋势的，随后几年呈现缓慢下降的趋势。总人口在2010年、2020年分别达到14.2609亿人和14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人，在2033年达到14.7455亿人。把预测数值与中国人口统计年鉴中的部分数据中所提供的预测数值进行比较，发现我们预测的未来人口的高峰期提前10年。这一方面可能由我国男女的出生性别比例中女性所占的比例较小的原因；另一方面，我们计算出人口更替率仅为1.42（此为5年的均值），而中外专家对我国90年代中期以来的人口更替率的计算结果为1.8（见附录3），两者相差甚远，这说明附录-提供的数据可能不够真实，从而导致了我国人口峰值的预测年份提前。根据图2，我国劳动年龄人口庞大，15-64岁的劳动年龄人口2010年为10.4421亿人，2013年将达到高峰10.4852亿人，随后劳动年龄人口呈现下降的趋势。由此，可知在相当长的时间内，我国不缺劳动力，但需要加强劳动力结构性的调整，同时由于我国计划生育等宏观政策的影响，近几年总和生育率已降低到1.8，并将稳定在1.8的水平上，所以经过较长的时期，我国的劳动年龄人口将有所降低。（2）人口老龄化与人口抚养比通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：图3 我国老年人口预测值的折线图从图3可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。同时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：图4 我国老龄人口占总人口预测比例的折线图从图3，图4得到：2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。综上可知我国老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。下面计算人口抚养比指数：设与分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则时段具有劳动能力的人口为,而为时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年人的数量。定义社会的抚养比指数，即平均每一劳动者抚养的无劳动能力的人数。我们以014岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。首先，通过MATLAB编程计算出2002到2051年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年份的人口抚养比得出人口抚养比。得出的每年人口抚养比的折线图如下：图5 预测人口抚养比从图5 可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。人口抚养比比较高主要原因有：每年新生婴儿数目在增加；老龄化的加剧，老龄人口数量大；15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。（3）人口调控与管理现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie模型，运用MATLAB软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：图6 未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测从图6中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左右到达到高峰，图7 未来我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数预测从图7我们发现，我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数在2012年将达到高峰，到2025年左右有进入一个小低谷，然后再2037年左右有达到一个小高峰。第二个我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女婴到2037年时达到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数达到低谷时有回升的形势。问题二：养老金合理支出水平的定量模型1.模型建立模型假设条件: (1)以GDP作为总基数,养老金支出水平就是养老金支出占GDP的比重; ( 2)依据柯布-道格拉斯生产函数,在一级分配上把GDP分为两部分:一部分支付给劳动,另一部分支付给资本。第一部分是劳动生产要素投入而产生的总产值,需要通过工资和其他收入方式分配给劳动者; (3)根据人口理论,可以把总人口分为少儿人口、劳动力人口和老年人口3个部分,每个部分的人口应当获得和其所占人口比重相吻合的工资收入比重。数理模型的构建:Y = Ya/G(1)Q =Ya/W=D(2)H =W/G(3)Y = Ya/G= (Ya/W)*(W/G) =QH(4)养老金支付水平( Y)可以用(1)式表示,等于养老金支出总额( Ya )比上国内生产总值(G) ; (2)式中的Q表示养老金总额( Ya )占工资收入总额(W )的比重系数,用以测度其能否即保证劳动者的基本生活又能激发劳动者的工作积极性,可以称为养老金担系数; (3)式中的H表示工资收入总额(W )占国内生产总值(G)的比重系数,用以测度国民经济的生产和扩大能否进行,可以将其称为劳动生产要素分配系数;基于Q 和H所代表的含义,养老金支出水平( Y)可以用(4)式所示进行计算。劳动生产要素分配系数(H值)的确定:根据柯布-道格拉斯生产函数( Y0 =ALa K(1 a) , 0 a 1) ,其中, Y0表示总产量, A 表示技术水平, L 表示劳动投入量, K表示资本投入量, a和( 1 - a)分别表示产出相对于劳动投入和资本投入的弹性。理论上已经推算出a = 3 /4, 1 - a = 1 /4,这表明,在总产出中,有3 /4是由劳动投入带来的,因此合理的一级收入分配比率应该是:劳动生产要素分配比率(H)为75% ,资本生产要素分配比率为25% ,这被经济学家证明为劳动生产要素分配系数的界限,可以作为衡量劳动要素分配是否合理。现实经济活动中的具体分配比重可能有所差别,有的国家高于这个界限,有的国家地域这个限度。中国现在的状况约为62. 2% ,但实际上它的低于75%的部分通过固定资产或是工资的形式间接分配给了劳动力人口及抚养人口, 7 因此,柯布- 道格拉斯函数原理从总体上也适合中国的情况,我们把H值定位为75%。养老保险负担系数(D ) :用公式表达如下:D =Da C。其中D 就是养老保险负担系数, Da 代表老年人口比重, C表示养老金支付率。老年人口最多获得与老年人口比重相同的工资比例。事实上,老年人所得养老金不能和在职劳动者工资收入相等。在职劳动者在去除各项税赋以后的净收入为全部收入的70%左右,世界银行认为把养老保险占净收入的比率定位为60%为宜,因此养老金支付率应为42% ,老年人口比重乘以养老金支付率,即养老保险负担系数的合理限度。 （1）中国养老金合理支出水平现状我国养老金合理支出水平如表2所示, 1995年为2. 97% ,2006年达到3. 56%,总体呈增长趋势。就实际养老金支出与合理支出的比较而言,我国实际养老金支出水平较大程度上小于养老金合理支出水平。1995年实际支出为1. 39%,比合理支出少1. 58 个百分点, 2000 年养老金的实际支出占GDP的比重为2. 13% ,少于合理支出水平1. 11个百分点。2006年我国60岁及以上人口比例达到11. 30% ,养老金的实际支出为GDP的2. 26%,实际支出比养老金理论上合理的支出水平少1. 3个百分点。尽管中国目前的养老金支出遇到很大的挑战与压力,但是仍然较大程度上低于养老金合理的支出水平,可能由于中国特殊的城乡二元结构,农村养老保障支出过低有关,可以预见的是我国未来养老金的支出会面临更为严重的压力。表2：年份60+人口比例养老金实际支出水平养老金合理支出水平19959.431.392.97199710.001.583.15200010.302.133.24200410.972.193.46200611.302.263.56资料来源:根据中国统计年鉴、中国劳动与社会保障事业统计公报数据计算。养老金的支出过高或者过低都会带来负面的影响,养老金支出水平过低,势必造成老年人养老保障水平的下降,进而影响到老年人的生活质量;过高的支付水平,又会给国家带来沉重负担而影响经济的进一步发展。同时,即使养老金的总体支付水平是合理的,但不合理的内部支付比例,也会使社会保障的应有效果大打折扣。由此可见,养老金的支出水平是否合理是至关重要的,应当保证既能不影响国家的经济发展,也能够让老年人得到较好的生活水平。 （2）中国未来人口老龄化与养老金的合理支出水平预测结果如图2所示,我国未来人口结构变化的一个主要的特征是持续、快速的人口老龄化。无论是老年人口规模还是老年人口比例都会迅速的上升。如问题一预测结果显示, 2030年中国60岁及以上人口将达到4.0069亿,占总人口26.97% , 2050年将达到4.4498亿,老年人口比例为32.99%。在基于问题一得出相应的未来老龄化趋势后,再根据问题二养老金支出合理水平的测度模型,可以测算出我国未来养老金支出占GDP的比重。生育水平提高有助于降低老年人口比例,从而减少养老金的合理支出水平,一定程度上缓解养老金支出面临的压力。2.模型求解Y=QH=DH=Da*C*H又C*H=0.42*0.75=0.315，故只需知道Da的值，即可知道Y，即我国未来养老金支出占GDP的比重。未来养老金支出占GDP的比重未来养老金支出占GDP的比重年份60以上人口比例养老金比重年份60以上人口比例养老金比重20010.116 0.036 20270.244 0.077 20020.117 0.037 20280.253 0.080 20030.120 0.038 20290.261 0.082 20040.122 0.039 20300.270 0.085 20050.125 0.039 20310.278 0.087 20060.128 0.040 20320.284 0.089 20070.132 0.042 20330.290 0.091 20080.135 0.043 20340.295 0.093 20090.140 0.044 20350.299 0.094 20100.144 0.045 20360.302 0.095 20110.150 0.047 20370.303 0.095 20120.155 0.049 20380.304 0.096 20130.160 0.051 20390.305 0.096 20140.166 0.052 20400.305 0.096 20150.173 0.054 20410.305 0.096 20160.178 0.056 20420.306 0.096 20170.184 0.058 20430.306 0.096 20180.189 0.060 20440.306 0.096 20190.191 0.060 20450.307 0.097 20200.194 0.061 20460.310 0.098 20210.196 0.062 20470.315 0.099 20220.201 0.063 20480.320 0.101 20230.212 0.067 20490.324 0.102 20240.221 0.070 20500.330 0.104 20250.229 0.072 20510.333 0.105 20260.237 0.075 问题三：个人账户基金通货膨胀、通货紧缩风险评估模型1.模型建立（一）、通货膨胀、通货紧缩对个人账户基金影响的机理根据费雪方程, 假设i 为名义利率, g 为实际利率, j 为通货膨胀率, 则有i= g+ j ( 2.1)而 g= i- j ( 2.2)从理论上看, 实际利率g 随时间的变化是相对稳定的, 因为i 与j 会同时同步上升或下降。但是实践中, g 并不总是常数, i 与j 变化的同步节奏不一定和谐、精确, 也存在度量与时间延迟的双重问题。这正是养老基金产生通货膨胀风险的原因所在。基金的名义利率也就是养老保险基金的记账利率, 目前各地的养老保险基金记账利率都是参照银行同期存款利率等因素而确定的。从表3 我们可以看出, 从1997 2005 年期的银行一年期存款利率变动的情况看, 越是通货膨胀严重的时期, 记账利率与通货膨胀的同步变化关系越不明显, 利率增长的幅度越赶不上通货膨胀增长的幅度。即通货膨胀率越大, 基金的实际利率越低, 甚至出现亏损; 而通胀率越小, 基金实际利率越高, 增值越快。实践中, 通胀率与记账利率的非同步变动关系是产生通货膨胀风险的根源, 对社会养老保险的危害是显而易见的。首先, 通货膨胀使养老基金只能从数量上增值, 而不能从价值上增值, 当记账利率小于通胀率, 还会使养老基金贬值。其二, 如果发生过高的通货膨胀, 即使改变养老基金的投资组合也难以避免贬值的危险。以1994 年为例, 我国当时通胀率为25%, 而同期银行一年期存款利率为10 98%, 此时如要养老基金在价格上增值, 则养老基金的记账利率至少要在25%以上, 这对于社会养老基金低风险性的投资显然是办不到的.表3： 通货膨胀率及记账利率变动关系表 2005200419972003200020011999199820024.03.33.10.90.80.7-0.3-0.6-1.0 2.252.255.671.982.252.252.254.771.98-1.75-1.052.571.081.451.552.555.372.98 资料来源: 根据中国统计年鉴2006整理得到（二）、个人账户基金通货膨胀、通货紧缩风险评估模型的建立从以上分析中, 我们知道, 个人账户的通货膨胀风险是由于通货膨胀率和记账利率非同步变动引起的, 因此我们衡量个人账户的通货膨胀风险的大小, 可以通过计算某养老保险计划参加者的个人账户在无通货膨胀率情况下的理论现值与发生通货膨胀情况下的现值的差额来预测风险的大小。这个差值越大, 说明养老基金贬值越严重,通货膨胀风险越大; 反之, 通货膨胀风险越小。( 一) 个人账户基金在无通货膨胀情况下的现值精算模型个人账户基金现值模型是以商业保险期初付定期生存年金现值模型为基础的, 考虑到基本养老保险与商业保险的区别, 我们假设一个x 岁加入基本养老保险计划且r 岁退休的在职职工, 其醵出金交付在每年年初, 起始年为1元, 以后以一定比例增加; 又假设工资因资历增长而逐年以g1 比例增长, 因生产力的提高而逐年以g2 比例增长。在不考虑通货膨胀率的情况下, 该职工在在x 岁时的未来醵出金现值公式为:PVx = （Nx - Nx+ r）/ Dx（3.1）其中: Nx = Dx+t,Dx+t=Vx+t*Lx+t,Dx=VxLxLx 为0 岁者活到x 岁的生存人数; V=( 1+ g1) ( 1+ g2)/(1+i), r 为退休年龄, i 为不发生通货膨胀情况下的记账利率。( 二) 考虑通货膨胀的个人账户基金现值精算模型假设通货膨胀为j, 则x 岁的人未来年均总工资增长率为( 1+ g1) ( 1+ g2) ( 1+ j) , 则x 岁人的未来醵出金现值公式为:PVx =(Nx - Nx+ r)/ Dx(3.2)其中: Nx =Dx+t,Dx+t=Vx+t*Lx+t,Dx=Lx*Lx V=( 1+ g1) ( 1+ g2) ( 1+ j)/(1+i1), i1 为与通货膨胀j 对应的记账利率。利率 i1 与通货膨胀j 同向变动, 但j- i1值随j 的增大而越来越大, 这种情况主要是因为社会养老保险基金的低风险投资造成的。( 三) 个人账户基金通货膨胀风险评估模型由公式( 3.1) 和( 3.2) 我们可以得到基金因通货膨胀而贬值的金额:PVx = PVx - PVx (3.3)基金因通货膨胀而贬值的金额比例:=Vx/ PVx (3.4)公式( 3.4) 就是个人账户基金通货膨胀风险评估模型, 越大, 表示风险越大; 反之, 则风险越小。2.模型求解为了测算通货膨胀对个人账户基金的影响, 按照我国基本养老保险实际情况, 进行以下假设: ( 1) 假设该职工为男性, 从20 岁起即开始按年平均工资总额的一定比例交纳基本养老保险费, 直到60 岁退休为止; ( 2) 假设工资因资历增长的比例g1= 1%, , 因生产力的提高的比例g2= 5%比例增长; ( 3) 假定我国参加基本养老保险的人群生命分布符合中国人寿保险业经验生命表( 2000- 2003) ; ( 4) 根据近几年通胀情况和银行利率, 假定无通货膨胀的情况下的纯粹利率为2.25%; ( 5) 假定以下8 种通胀率对应的利率值如表4 第一行、第二行所示, 对应记账利率的确定主要考虑我国历史上通货膨胀和记账利率的数据。运用公式( 3.1) ( 3.2) ( 3.4) , 在EXCEL 上建模运算得到表4第三、四、五行的数值。表4： 不同通胀率情况下未来醵出金现值通胀率%-1.00 0.00 1.00 2.00 5.00 9.00 14.00 20.00 利率%2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 6.00 8.00 10.00 PV89.40 89.40 89.40 89.40 89.40 89.40 89.40 89.40 PV74.60 89.40 108.20 131.48 277.01 478.30 1002.14 2380.09 -0.17 0.00 0.21 0.47 2.10 4.35 10.21 25.62 从表2我们可以看到:1. 养老基金对通货膨胀非常敏感, 加剧的通货膨胀会导致基本养老保险个人账户基金加速度贬值。对于一个20 岁开始参加基本养老保险计划且在60 岁退休的男性职工, 当缴费期间的平均通货膨胀率为1% 时, 其全部个人账户基金将贬值21%; 当平均通货膨胀率为20%时, 贬值达2562%。2. 通货紧缩会导致基金价值上升, 但通货紧缩一般都是政府强行调控造成的, 且往往不会大于1%, 我们可确定, 通货紧缩导致基金价值上升不会大于16.55%。问题四：解决未来“养老难”的可行性方法。: 第一,适度加大养老保险支出,扩大覆盖面,均衡城乡、地区间的养老保险,构建全社会的养老保障体系。加大中央和地方对养老保障的投入,建立多层次的养老服务体系,发展老年服务业,确保老年人生活质量。 第二,保持经济的较高速度增长,坚持统账结合的模式,做实个人账户,形成资金积累。提高养老基金的经营管理水平,为养老金支出提供更好的财力支持,同时推进社会保险事业的发展。 第三,在人口政策方面,可以通过适当地调整生育政策,一定程度上可以降低老年人口比例,减缓或者降低人口老龄化的趋势,养老金合理支出水平得到相应降低。面对逐步提高的人口老龄化程度,养老金支出水平的合理选择事关重要,我们要在不影响资本投资和经济效益提高的前提下,提高养老金的支出水平,同时也要谨防出现西方福利国家高福利制度带来的福利“两难困境”。我国是典型的城乡二元经济结构,养老保障方面也存在典型的二元结构,城市养老金的覆盖率大概在70% ,而农村覆盖率不到5% ,中国的公共福利支出和社会养老保障制度等方面存在明显的不足和滞后, 8 因此提高养老保障的覆盖面,构建城乡统一的养老保障制度,是社会保障改革的一个重要发展方向。 第四， 通过对投资资产工具的选择并进行优化配置来提高基金投资效益。全国社会保障基金投资管理暂行办法原则规定了全国社保基金投资于银行存款和国债投资的比例不得低于50% , 企业债、金融债投资的比例不得高于10%; 证券投资基金、股票投资的比例不得高于40%。但根票和国外债券不仅收益高而且差异性较小。所以要提高我国基本养老保险基金投资收益率, 还要进一步放宽投资领域, 使保险基金进入到贷款、房地产、国外股票和国外债券等收益高, 稳定性据当前不同国家不同资产的实际投资回报率统计数据我们可以知道: 银行存款、国债的收益率最低, 股票收益率虽然较高但其波动性较大, 而贷款、房地产、国外股好的领域, 并合理配备比例, 以求最佳的资产投资组合。 第五， 改革记账利率确定机制。当前, 以银行存款为基准的记账利率确定方式导致记账利率的变动远远滞后于通胀率的变动。在低通货膨胀下, 记账利率选择的基本问题是如何应付未来的通货膨胀。因此, 利率的选择必须慎重, 不仅能够反映计划资产在较长时期内增值与贬值的预期回报, 还要附加相应的对预期物价上涨所导致损失的补偿的回报。我们可以看到, 在未来低通货膨胀的形势下, 依靠投资优化组合的最佳收益率来确定记账利率依然难以使个人账户基金实现保值, 那么我们可以用运用每年基本养老保险的社会统筹结余资金以及适当的财政拨款来弥补通胀损失, 以确保个人账户基金不贬值。最后要再次提醒的是, 在高通货膨胀时期, 即使最佳的投资组合回报也只能甚至不能补偿因消费品上涨带来的损失。那时, 要使养老保险基金不贬值, 财政的负担将大大增加。因此, 防止高通货膨胀的发生, 对养老保险基金保值至关重要。6、模型的评价与推广一、模型的优点：1、利用EXCEL软件对数据进行处理并作各种平面图，简便，直观、快捷；2、运用多种数学软件(MATLAB)进行计算，取长补短，使计算结果更加准确;3、在模型中我们充分考虑到不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie模型，建立年龄结构的离散模型，并通过合理假设，在时间跨度不大的前提下，对人口数量仅此进行了预测，得到人口数量变化趋势图2与课题中未来我国总人口，劳动人口及人口扶养比预测 及未来我国人口老龄化预测趋势图基本一致。二、模型的缺点：在模型假设中我们及不随时段的变迁而改变这一理想状态下，但出生率及死亡率会随时间的变化而有所该变，本模型没有建立与死亡率随时间变化的动态模型，因而存在一定的误差；三、模型的改进：随着人民的生活水平的提高和医疗卫生的改善，各年龄的死亡率不断下降，存活率不断提高。因此我们可以对Leslie模型进行进一步改变：记时段年龄组中女性所占的百分比为，并设为育龄女性的年龄组，则时段新生儿为我们引入控制变量，使得=1，这里，称为女性生育模式，我们将lestie矩阵变成：其中 在一定时期内（这里j从0到90），为平均生育胎数，和可视为与无关的常数，我们可以通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来求的最佳值，从而达到控制人口数量和年龄结构的目的。四、模型的推广：本文首先不考虑年龄结构对人口增长的影响，建立了人口预测模型；然后，逐步改进，考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Leslie模型，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。在解决问题一的基础上又分别建立了养老金合理支出水平的定量模型和个人账户基金通货膨胀、通货紧缩风险评估模型。在对前面三个问题解决好的基础之上的，对问题四的分析是一个总结性的模拟和估算，它的正确性取决于前三个问题的结果同时它又高于前三个问题，这也是此次建模的目的所在。这种应用型较强的模型不仅仅可以用来解决本文所面对的问题，在条件允许的情况下也可用于解决相同类型的其他问题。参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜启源.数学模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版；3 于洪彦.Excel统计分析与决策M.北京:高等教育出版社.2006年4月；4 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社.2004年6月；5 扬启帆,康旭升,等.数学建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月；6 于学军.中国人口科学2000年第2期,时间:2000-4-6,中国人口信息网.7 王兰芳、陈万明、崔晓宁:江苏农村新型合作医疗保障水平的测定与分析,人口与经济, 2006 (4) 。 8 姚从容、李建民:人口老龄化与社会福利状况,载人口学刊, 2007 (6) 。附录1：计算0-14岁，15-64岁，65岁及以上的程序、绘画出未来我国育龄人数的程序N=0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525 1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592 0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.334697711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606;N0=N; %第0年（2001年）的女性个年龄段的人口数A=eye(90);b=0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.