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必修四平面向量 专题复习 知识网络 平面向量 加法 减法数乘向量 坐标表示 两向量数量积 零向量 单位向量 共线向量 相等向量 向量平行的充要条件 平面向量基本定理 两向量的夹角公式 向量垂直的充要条件 两点的距离公式 解决图形的平行和比例问题 解决图形的垂直和角度 长度问题 向量的初步应用 向量定义 既有大小又有方向的量叫向量 重要概念 1 零向量 长度为0的向量 记作0 2 单位向量 长度为1个单位长度的向量 3 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 4 相等向量 长度相等且方向相同的向量 5 相反向量 长度相等且方向相反的向量 一 平面向量概念 几何表示 有向线段 向量的表示 字母表示 坐标表示 x y 若A x1 y1 B x2 y2 则AB x2 x1 y2 y1 一 平面向量概念 向量的模 长度 1 设a x y 则 2 若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则 一 平面向量概念 1 向量的加法运算 A B C AB BC 三角形法则 O A B C OA OB 平行四边形法则 坐标运算 则a b 重要结论 AB BC CA 0 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 y1 y2 AC OC 一 平面向量概念 2 向量的减法运算 1 减法法则 O A B 2 坐标运算 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 3 加法减法运算律 a b b a a b c a b c 1 交换律 2 结合律 BA x1 x2 y1 y2 一 平面向量概念 练习 O O return 4 实数 与向量a的积 定义 坐标运算 其实质就是向量的伸长或缩短 a是一个 向量 它的长度 a a 它的方向 若a x y 则 a x y x y 一 平面向量概念 则 结论 设表示与非零向量同向的单位向量 一 平面向量概念 向量垂直充要条件的两种形式 二 平面向量之间关系 向量平行 共线 充要条件的两种形式 三 平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数使 5 数量积的主要性质及其坐标表示 综上所述 原命题成立 解 另解 可以试着将 说明 1 本题是个重要题型 设O为平面上任一点 则 A P B三点共线 或令 1 t t 则A P B三点共线 其中 1 2 当t 时 常称为 OAB的中线公式 向量式 例5 设AB 2 a 5b BC 2a 8b CD 3 a b 求证 A B D三点共线 分析 要证A B D三点共线 可证 AB BD关键是找到 解 BD BC CD 2a 8b 3 a b a 5b AB 2BD A B D三点共线 例6 设非零向量不共线 若试求k 解 由向量共线的充要条件得 即 又 不共线 由平面向量的基本定理 解 设顶点D的坐标为 x y 例9 已知A 2 1 B 1 3 求线段AB中点M和三等分点坐标P Q的坐标 解 1 求中点M的坐标 由中点公式可知M 2 2 因为 1 3 2 1 3 2 例10 设A 2 3 B 5 4 C 7 10 满足 1 为何值时 点P在直线y x上 2 设点P在第三象限 求 的范围 解 1 设P x y 则 x 2 y 3 3 1 5 7 所以x 5 5 y 7 4 解得 2 由已知5 5 0 7 4 0 所以 1 例11 1 已知 4 3 向量是垂直于的单位向量 求 例14 已知a 2 3 b 4 7 则a在b上的投影为 A B C D 解析设a和b的夹角为 a cos C 解 解 答案 C A B C A B C P 解析 2 由 1 可得f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 cosx 2 x cosx 1 当cosx 时 f x 取得最小值为 当cosx 1时 f x 取得最大值为 1 反馈练习 1 判断下列命题是否正确 1 3 5 若