Max, Min函数题与三角绝对值不等式(教师版).doc

Max, Min函数题1.设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（ ）A. B. C. D. 【解析】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为选A 2. 定义为中的最小值，设，则的最大值是_【答案】2【解析】若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以 3.已知函数，设，（其中表示中的较大值，表示中的较小值）记的值域为，的值域为，则_【答案】【解析】由的定义可想到其图像特点，即若将的图像作在同一坐标系中，那么为图像中位于上方的部分，而为图像中位于下方的部分。对配方可得：，其中，故的顶点在顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为的图像，其值域与的交点有关，即各自的顶点，所以的值域，的值域。从而 4.记，设、为平面向量，则 （ ）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取是非零的相等向量，则不等式左边，显然，不等式不成立；对于选项C，取是非零的相等向量，则不等式左边，而不等式右边，显然不成立由排除法可知，D选项正确故选：D5.已知且则的最大值为_【答案】【解析】，即.6.设，定义运算“”和“”如下：，若正数满足,则 （ ）A, B,C, D,【答案】C【解析】设；，所以A，B错误；所以设；，设;，所以选C；7. 若则_.【答案】【解析】，所以.8. 设函数，其中表示中的最小者若，则实数的取值范围为 【答案】【解析】当时，此时有； 当时，此时有；当时，此时有；当时，此时有；当时，此时有.9. 9.若对任意，存在，使得成立，则实数的最大值是_【答案】 【解析】在上，函数相对于轴的宽度为，所以的最大值为.1 10.设函数，记为函数图象上点到直线距离的最大值，则的 最小值是 【答案】【解析】函数在上的最小宽度为，所以最小值为. 11.已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为_.【答案】【解析】如图可知：当时，有.12记已知向量,满足,， 且，则当取最小值时，（ ） ABCD【答案】A【解析】当时取得最小值.13已知若对恒成立，则的最大值为 【答案】2【解析】则题意为：对于恒成立，求的最大值条件等价于，即：由绝对值不等式可得：当且仅当时，取得最大值2.14.记，若均是定义在实数集R上的函数，定义函数 ，则下列命题正确的是( )A若都是单调函数，则也是单调函数；B若都是奇函数，则也是奇函数；C若都是偶函数，则也是偶函数；D若是奇函数，是偶函数，则既不是奇函数，也不是偶函数；【答案】C【解析】A选项中两个函数如果是一次函数，那么可能是一条折线；同理，B选项也是错误的，而D选项如果奇函数整体都在偶函数的上方，那么是奇函数，反之是偶函数，也有可能是非奇非偶.15.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，若方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】通过数形结合作图即可.16.对，记 则函数（ ） A.有最大值，无最小值 B.有最大值，无最小值 A.有最小值，无最大值 B.有最小值，无最大值【答案】C17.定义，则不等式的解集是_.【答案】【解析】通过分类讨论：，最后取并集即可.18.记，若函数在上有两个零点，则的取值范围是_.【答案】【解析】，因为在上有两个零点，所以满足，取它们两个相等时，即，此时，所以，即所求的范围.19.已知二次函数，定义，其中表示中的较大者，表示中的较小者，则下列命题正确的是 （ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【答案】D20.设若的图象经过两点，且存在整数n，使得成立，则 ( ) A B C D【答案】B【解析】同上上题类型是一样的.21.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_.【答案】1【解析】直接求得：，所以通过求函数最值，配方即可得出最大值为1.22.定义：若实数满足：，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】此题较为复杂，先画出可行域，再对进行分类讨论，再比较与的大小比较，再得出线性函数，求范围，最后取并集即可，计算量较大，非成绩好的学生不推荐做.23.设，已知R，则的最小值为 【答案】【解析】，又，所以，即，所以的最小值为.24.记，设，其中，则的最小值是_【答案】【解析】，所以，则.25.设，若定义域为的函数满足，则的最大值为_【答案】【解析】设，则，又，所以，所以最大值为.26.记，设，若对一切实数，都成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】，则，即，于是有，解得：.28.定义，设，则的最小值为_，当取到最小值是，_，_.【答案】，【解析】最小值就是当时，所以，所以可求得：或，代入或者得：，所以最小值为，此时29.已知函数，设函数在区间上的最大值为（）若，求的值；（）若对任意的恒成立，试求的最大值【解析】（）当时，在区间上是增函数， 则，又， （），（1）当时，在区间上是单调函数，则， 而， ， （2）当时，的对称轴在区间内，则，又，当时，有，则，当时，有，则 综上可知，对任意的都有 而当时，在区间上的最大值， 故对任意的恒成立的的最大值为.30.设函数，函数在区间上的最大值为.（1）若，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值.【解析】（1）当时，在区间上是增函数，所以，所以.（2）当时，因为，所以，所以.当时，有，则，所以.当时，有，则，所以，所以.综上可知，对任意的都有.31.已知函数. 记是在区间上的最大值。（1）证明：当时，;（2）当满足，求的最大值.【解析】（1）由已知可得，对称轴为，因为，所以或，所以函数在上单调，所以，所以；（2）当时，又，所以0为最小值，符合题意；又对任意有得到且，易知，在时符合题意，所以的最大值为332.设，函数,其中（）求使得等式成立的x的取值范围（）（i）求的最小值（ii）求在上的最大值【解析】（1）（2）（i）设函数，则，所以，由的定义知，即（ii）当时