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反例在数学教学中的应用Example of the application in mathematics teaching论文作者：赖宝连专业：数学与应用数学指导老师：王江峰完成时间：2012年6月1日摘要主要阐述反例在数学教学中的几点功能、应用反例进行教学时应注意的几个问题及反例的设计等方面的内容等。在数学中利用反例可以有效地激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助于学生全面正确地理解、掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误、发现问题的重要途径，通过反例的构造可以培养学生的发散性思维和创造性思维。 Mian expound the example in the middle school mathematics teaching in some function、for the teaching application example of several problem that should pay attention and example of design and so on.In mathematics using the cases can be an effective way to stimulate the students thirst for knowledge,through the example is to make the students deepen our understanding of the basic knowledge of understanding,the example not only help students comprehensive correct understanding of the basic concept of mathematics and the basic theorem,but also it is correct mistakes found the problem the important way,through the example of structural the cultivation of the student divergent thinking an creative thinking. 关键词：反 例;反 例 教 学;数 学 教 学Keywords:counter-example;example of teaching;mathematical education目录第1章 反例在数学中的重要意义第2章 反例的实质与类型2.1 反例的定义 42.2 反例的类型 4第3章 反例在数学教学中的功能3.1 反例可以强调命题的条件 43.2 反例是否定一个错误命题的最佳途径 53.3 反例是纠正错误的有效方法 53.4 反例可使学生正确地理解基本概念 5第4章 教学中反例应用的注意点4.1 注意反例教学的引入 54.2 注意反例教学的构建 54.3 注意反例教学的逐层深入性 6第5章 寻找反例的几种常见方法5.1 通过对一般命题特殊化，发现反例 75.2 通过简单运算的叠加来发现反例 75.3 通过分析命题中的隐含条件，发现反例 75.4 通过对问题的分类讨论，发现反例 7在数学教学中，能力比知识更为重要，而从目前来看，数学中能力主要是体现在解题能力上。而由于反例在否定一个命题时具有独特的作用，因此在数学教学中，若能充分利用反例，在讲述概念及定理应用以及解答一些数学问题时，就可以收到事半功倍的效果。1 反例在数学中的重要意义 在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展。常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式 1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如 1的自然数是素数的猜想.一百多年后,欧拉指出 1=4294967297=6700417641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数。2 反例的实质与类型反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识，组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。2.1 反例的定义反例教学法中的反例有特定的内涵，这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识。2.2 反例的类型数学中的反例通常是指推翻某个命题成立的例子，是建立在数学上已证实的理论与逻辑基础上的。反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，因此数学上有简单命题的反例、充分条件和必要条件的反例。3 反例在数学教学中的功能数学是一门严谨的学科，解决数学问题的思维过程应是缜密的。教师可以把以往学生易犯的错误设置成反例，有针对性地培养学生思维的缜密性。3.1 反例可使学生正确地理解基本概念概念是数学理论和方法的基础。在概念教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且要灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解。例如在进行函数概念的教学时，有的同学片面地认为“: 一个变量随着一变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系”。教学中为纠正这个错误，可以提出如下反例：“一个非负数x 与它的平方根y 是函数关系吗？”通过讨论，学生发现，虽然平方根y 与非负数x 有关，但当自变量x 发生变化时，y 没有唯一完全确定的值与它相对应，不符合函数的定义。3.2 反例是否定一个错误命题的最佳途径要使一个数学命题成立，必须进行分析与严格的证明，而要推翻一个命题，只需找出这个命题在特殊情况下不成立的实例即可。3.3 反例是纠正错误的有效方法学生在解题过程中对知识掌握的不深刻，对问题思考的不全面等因素，这一切导致了学生对题目的判断失误。这种失误很难通过正面途径检查出来。而举反例，往往能产生正确的解题途径。3.4 反例可以强调命题的条件学生在应用公式、定理、法则时，常常忽略它们的前提条件。因此，在教学中要强调使用公式、定理、法则的前提条件和应用范围，而合适的反例恰能达到强调条件的目的。例.已知,则等于多少？看到此题，学生会想到用等比定理来解题，但易忽视应用等比定理的前提条件。因而得出:此时，教师举出反例“当a=2，b=c=-1 时，k=-1”，然后让学生思考问题出在哪里。通过分析，学生明确了应用等比定理的前提条件是“比例式中的分母的和不能为零”。4 教学中反例应用的注意点应用数学反例对学生的智力活动能起定向纠错的作用，并维持数学课堂教学按既定的路线进行。课堂教学中要有应用反例的意识，抓住时机，及时地出示反例。4.1 注意反例教学的引入 根据学生年龄、生理及心理特征，以及所学知识结构的不完整性，有时还不具备独立系统地推理论证的能力，思维受到一定的局限，考虑问题可能还不够全面，在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。4.2 注意反例教学的构建 教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。 例如在讲授实数一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如与-；它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。 在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？ 通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。 这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。 4.3 注意反例教学的逐层深入性 在教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。 例如在教学三角形全等的判定定理时，学生在掌握基本的几个判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS）后，教师可让学生判断：三个角对应全等的三角形全等；有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举，例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题，教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定A=A,AC=AC,在此基础上引导学生进一步思考若BC=BC=a，说明BC或BC可以通过以下作图方法来画出：以C或者C为圆心，a为半径画弧，a只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与AB或者AB所在的直线有两个交点，这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。5 寻找反例的几种常见方法寻求反例的过程，是加深理解、巩固知识的过程，也是发散、逆向和辩证思维的训练过程，在教学过程中，要善于引导学生去寻找反例，从而提高学生思维能力，为以后的学习打下结实的基础。以下介绍几种寻求反例的常用方法。5.1 通过对一般命题特殊化，发现反例如：“在平面内，到两交点距离之差的绝对值为常数的动点的轨迹是双曲线”这是假命题。反例：若常数为0，则符合条件的动点轨迹为两定点连线的中垂线。5.2 通过简单运算的叠加来发现反例已知：数列都不存在，则数列也不存在。反例：设，但 为常数数列。显然上述命题为假命题。5.3 通过分析命题中的隐含条件，发现反例例.已知方程 没有实根，则方程 必有不相等的实根。分析：由方程没有实根，则0，解得。现取，则方程变为有一个实根而不存在两个不等的实根。所以结论不成立。5.4 通过对问题的分类讨论，发现反例例.若a0，b0，且a1，b1，则。分析：由平均不等式知当， 时不等式成立，所以取。则，显然 命题为假。总之，数学反例是数学课堂教学中一个调节器，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮