机械振动学课件2.ppt

振动概念 vibration 物体经过它的静平衡位置所做的往复运动 或者说某一物理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变动 振动首先是一种运动 比如 地壳的运动 交流电 电磁波 潮水的涨落等 2机械振动的研究对象和分类 2 1研究对象 振动系统 第一章绪论 系统的定义 由若干个元素构成的有机组合 个元素间存在着相互作用 互相影响的关系 机械系统的定义 由若干个机械元件组成的系统 具体的讲 是由运动副连接的一些构件所组成的能完成一定运动的机械装置 第一章绪论 2 2机械系统研究内容 第一章绪论 系统的研究内容包括三个方面 已知系统的输入 X 和系统 S 求输出 Y 系统的动力响应分析 或叫动态分析 已知系统的输入 X 和输出 Y 求系统 S 系统设计 系统识别或系统辨识 已知系统的系统 S 和输出 Y 求输入 X 环境预测 自由振动 给图中质量块一个激励 给一个初始位移后 质量块就开始振下去 强迫振动 用一个电机作元件 给系统一个持续激励 系统会在电机的强制激励下振动 自激振动 扬声器的鸣叫声 3机械振动的分类 3 1按输入分 第一章绪论 简谐振动 符合正弦 预选 规律的振动 周期振动 x t x t kT 瞬态振动 风铃随风而动 地震随机振动 不能用当前的现象预测未来 但是符合统计学规律 可以用统计的方法来研究 如 烟的运动 红旗的飘动 3 2按输出分 第一章绪论 自由度 用来描述一个物体确定运动的独立坐标 单自由度系统 多自由度系统 可以是两个 三个甚至是n个自由度系统 n个独立坐标 n维空间 连续系统 用偏微分方程描述 3 3按自由度划分 可用微分方程描述 第一章绪论 线性振动非线性振动 3 4按微分方程分 第一章绪论 4主要参考文献 书 期刊书 张策 张维平 邵韧平 闻邦春 李有堂 张义民等期刊 噪声与振动 soundandvibration 第一章绪论 第2章单自由度线性系统的振动 2 1一些基本概念 无阻尼单自由度振动系统 2 3有线性阻尼自由振动 2 4简谐激励力作用下的强迫振动 2 8隔振原理 2 5周期激励下的响应 2 6任意激励下的响应 2 7简谐力的功和等效阻尼 2 2固有频率的计算 第2章单自由度线性系统的振动 当物体沿x轴作直线运动时 惯性的大小可用质量来表示 根据牛顿第二定律 作用在物体上的外力F 物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系 构成机械振动系统的基本元素有惯性 恢复性和阻尼 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质 阻尼就是阻碍物体运动的性质 从能量的角度看 惯性是保持动能的元素 恢复性是贮存势能的元素 阻尼是使能量散逸的元素 构成机械振动系统的基本元素 质量的单位为kg 第2章单自由度线性系统的振动 阻尼力Fd反映阻尼的强弱 通常是速度x 的函数 阻尼力可表示为这种阻尼称为粘性阻尼 比例常数c称为粘性阻尼系数 单位N s m 典型恢复性元件是弹簧 弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数 即Fs Fs x 当Fs x 是线性函数时 有 Fs kx 1 2 k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数 单位为N m 质量 弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件 自由度与广义坐标自由度数 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数 刚体在空间有6个自由度 三个方向的移动和绕三个方向的转动 如飞机 轮船 质点在空间有3个自由度 三个方向的移动 如高尔夫球 质点在平面有2个自由度 两个方向的移动 加上约束则成为单自由度 第2章单自由度线性系统的振动 质量元件无弹性 不耗能的刚体 储存动能的元件 2 1离散系统的组成 第2章单自由度线性系统的振动 第2章单自由度线性系统的振动2 1离散系统的组成 弹性元件无质量 不耗能 储存势能的元件 阻尼元件无质量 无弹性 线性耗能元件 第2章单自由度线性系统的振动2 1离散系统的组成 等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧 串联弹簧 并联弹簧 并联系统 串联系统 等效阻尼系数 传动系统的等效刚度 传动系统的等效阻尼 ct1e ct1 i2 等效质量 传动系统的等效惯量 单自由度系统的类型 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动 例 如右图 舍振动体的质量为m 它所受的重力为W 弹簧刚度为k 弹簧挂上质量块的静伸成量为 j 此时系统处于静平衡状态 平衡位置为0 0 求给系统一个初始扰动后系统的振动方程 模型的建立 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 无阻尼自由振动 振动系统受到初始扰动后 不再受到外力作用 也不受阻尼的影响所作的振动 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 解 取静平衡位置为坐标原点 以X轴为系统的坐标轴 向下为正方向建立坐标系 以x表示质量块的受扰后的位移 当质量块离开平衡位置时 在质量块上作用的力有 由于受力不平衡 质量块产生加速度 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 根据牛顿第二定律建立振动微分方程 二阶齐次常系数微分方程 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 扭转振动问题 例1 2 右图所示 垂直轴的下端固定一个水平圆盘 已知轴长为l 直径为d 剪切弹性模量为G 圆盘的转动惯量为I 在盘上施加初始扰动后 如力偶 系统做自由扭转振动 若不计阻尼影响 振动将永远持续下去 求系统的振动方程 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 由材料力学知 扭转刚度为 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 典型的单自由度自由振动 单摆 例1 3 如左图所示 求t时刻刚体的角度是多少 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 解 以静平衡位置为原点 以 角增加的方向为正方向建立坐标系 隔离物体 进行受力分析 使用牛顿定律建立振动模型 力矩形式 力形式 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 1 2无阻尼单自由度系统的自由振动规律 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 结论 单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的 规律是相同的 具有以下特点 1 单自由度无阻尼振动是简谐的 2 振幅决定于初始条件 图中系统 用手把m移到X0位置 初始位移的大小决定于m的振幅 如果放手的同时 给m一个右向的初速度 可以通过上式计算出其最大振幅 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 固有频率与初始条件无关 系统一定 固有频率一定 思考 钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确 结论 机械振动学 第2章单自由度线性系统的振动2 1单自由度无阻尼自由振动系统 在振动研究中 计算振动系统的固有频率有很重要的意义 除用定义法 牛顿法 外 通常还有以下几种常用的方法 即静变形法 能量法和瑞利法 现分别加以介绍 1 静变形法 StaticDeformationMethod 当单振子处于静平衡状态时 弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡 即存在关系式 由上式可得 故系统的固有频率为 由此可见 只要知道质量块处的弹性静变形 就可以计算出系统的固有频率 在有些实际问题中 不能直接给出系统的弹簧刚度时 利用此法计算固有频率比较方便 例1设一悬臂梁长度为 抗弯刚度为 自由端有一集中质量 梁本身重量忽略不计 试求这一系统的固有频率 见下图 自由端有集中质量的悬臂梁 解 悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为 当不易用计算方法求出静挠度时 也可用实测方法得到静挠度 然后按 1 式计算系统固有频率 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 2 能量法 EnergyMethod 在无阻尼自由振动系统中 由于没有能量的损失 所以振幅始终保持为一常数 即在振动过程中振幅始终不衰减 我们将这样的系统称为保守系统 在保守系统中 根据机械能守恒定律 在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变 式中 T 系统中运动质量所具有的动能 U 系统由于弹性变形而储存的弹性势能 或由于重力作功而产生的重力势能 即 T U 常数或 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说 系统的动能为 1 重力势能 当质量块m低于静平衡位置时 重力势能为 mgx 2 弹性势能 当质量块m运动至离静平衡位置距离 x时 弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能 如下图所示 系统的弹性势能为 故系统的势能为 所以 系统的势能则由以下两部分组成 单自由度振动系统的弹性势能 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程 这一方程说明 无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程 而无能量的消耗 但在振动系统中存在阻尼时 则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中 有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能 故系统的振幅将逐渐减小 直至完全消失 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 若将无阻尼自由振动的时间历程代入系统的能量方程 2 式可得 这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量 且动能与势能的最大值相等 即 根据上式即可算出系统的固有频率 对弹簧质量系统 单振子 用上述能量法意义不大 但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率比较方便 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 例1 一根矩形截面梁 上面承受质量为m的物体 如图所示 若忽略梁的质量 试用能量法求该系统的固有频率 承受质量的矩形截面梁 解 梁的刚度可用静变形法求出 而梁的静扰度可根据材料力学公式计算 代入 3 式即可求出该系统的固有圆频率 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 例2 下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件 无定向摆 已知a 3 54cm mg 0 856N k 0 3N cm 且整个系统对转动轴o的转动惯量 试求系统的固有频率 无定向摆 解 取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标 并设则 对简谐振动来说 摇杆正经过平衡位置时的速度最大 故此时系统动能最大 而势能为零 即 当摇杆摆到最大角位移处时 速度为零 故此时系统动能为零 而势能最大 它包括以下两个部分 1 弹簧变形后储存的弹性势能 2 质量块m的重心下降 后的重力势能 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 解 取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标 并设则故对简谐振动来说 摇杆正经过平衡位置时的速度最大 故此时系统动能最大 而势能为零 即 当摇杆摆到最大角位移处时 速度为零 故此时系统动能为零 而势能最大 它包括以下两个部分 1 弹簧变形后储存的弹性势能 2 质量块m的重心下降 后的重力势能 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 因为 故 得 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 前面介绍的几种计算系统固有频率的方法 都是将系统中弹簧的质量忽略不计 但是在有些系统中 弹簧本身的质量在系统总质量中占有一定的比例 此时若再忽略弹簧的质量 就将会使得计算出来的系统固有频率偏高 瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去 从而能得到相当准确的固有频率值 3 瑞利法 RayleighMethod 应用瑞利法时 必须先假定一个系统的振动形式 而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式 则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值 实践证明 以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式 则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较 一般来说误差是很小的 现以最简单的弹簧 质量系统为例来说明瑞利法的应用 在下图的系统中 若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的 则系统的振动形式就不会显著地受到弹簧质量的影响 在这种情况下 假设弹簧在振动过程中的变形 各截面的瞬时位移 与弹簧在受轴向静载荷作用下的变形相同是足够精确的 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 弹簧 质量系统 解 假设弹簧上距固定端距离为处的位移为 式中 l 处于平衡位置时弹簧的长度 x 弹簧在联结质量块一端的位移 令 表示弹簧单位长度的质量 则弹簧微段d 的质量为 d 其最大动能则为 弹簧在 处的微段d 的速度应为 当质量块在某一瞬时的速度为时 所以弹簧的全部动能为 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 显然 系统的全部动能应该是质量块m的最大动能与弹簧的最大动能之和 即 系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同 即 所以弹簧的全部动能为 由动能和势能相等原理得 对简谐振动来说 上式即成为 由此可以得出系统固有频率的计算公式为 结论 为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响 只需要将1 3的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可 一般将上式中的称为 弹簧的等效质量 effectivemassofspring 以ms表示 但是不同的振动系统 其弹簧的等效质量不同 需具体加以计算 因为所以因此只要先算出系统弹性元件的动能 即可根据上式计算出系统弹性元件的等效质量 根据系统中的弹簧质量与质量块质量相比很小 从而在振动过程中弹簧各截面的瞬时位移按线性变化这一假设而得出的 但是 即使弹簧的质量较大 用原式计算系统固有频率也具有足够的精确度 例如 当时 固有频率的计算误差约为0 5 当时 计算误差约为0 8 当时 计算误差约为3 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 例 如图所示的等截面简支梁上有一集中质量m 若将梁本身的重量W考虑在内 计算此系统的固有频率 图承受集中质量的等截面梁 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 解 假设梁在振动时挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲线一致 梁上物体左侧距A点为 处的静挠度为 梁上物体右侧距B点为 处的静挠度为 在物体m处梁的静挠度为 设物体m在振动状态下的最大速度为 则在物体左右两侧梁的所有点的最大速度 与振动位移y1 y2之间存在以下关系 所以梁的左右两部分的最大速度为 因而梁的左右两部分的最大动能为 式中 w 梁的单位长度的质量 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 梁的全部动能为 根据上式可算出梁的等效质量为 所以系统的固有圆频率为 式中 为梁的刚度 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 第2章单自由度线性系统的振动2 2计算系统固有频率的其它方法 从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比用瑞利法计算出的数值要小 因而误差较大 应用瑞利法也可求得无载荷的固有频率的相当准确的数值 由于无载荷的变形曲线是对称的 所以首先需将载荷移到梁的中间 然后再令载荷为零 m 0 即可求出无载荷梁的固有圆频率为 而这一固有圆频率的精确值为 可见 近似值与理论精确值之差小于1 内容参考2 3 第2章单自由度线性系统的振动2 3等效质量和等效刚度 振动微分方程 振动微分方程 方程的解 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 自由振动 振动微分方程 设 特征方程 有 临界阻尼系数 阻尼比或阻尼因子 定义 令阻尼比或阻尼因子 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 1 方程的解 特征值 系统对初始扰动的响应 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 2 特征值 系统对初始扰动的响应 方程的解 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 3 方程的解 特征值 系统对初始扰动的响应 初始条件 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 4 特征值 系统对初始扰动的响应 方程的解 第2章单自由度线性系统的振动2 3单自由度线性阻尼自由振动系统 振动特性 无阻尼z 0 简谐运动弱阻尼01 衰减运动 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 小阻尼 振动对数衰减率 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 简谐激励 稳态响应 粘性阻尼 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程 运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解和方程 2 的特解来表示 在小阻尼情况下 是个衰减振动 只在开始振动后的某一段时间内有意义 研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之 表示系统的受迫振动 称为系统的稳态解 设 将代入到方程 2 中可解出B与 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程 进一步讨论 令 则 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 二 讨论 图给出了以 为横坐标 为纵坐标 在不同阻尼比 下的一组曲线簇 不难理解 在简谐激振力作用下 线性系统的受迫振动也是简谐振动 振动的频率等于激励力的频率 受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性 激励力的大小及频率值 但与初始条件无关 受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关 1 当频率比 0 2时 即激振频率 远小于系统的固有频率 n时 无论阻尼的大小如何 1 称为准静态区 即振幅近似等于激励力幅作用下的静变形 故在低频区振幅主要由弹簧刚度控制 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 2 频率比很大 5 0 激振频率 远大于系统的固有频率 n 因激励力方向改变太快 振动物体由于惯性来不及跟随 几乎停着不动 故在高频区受迫振动的振幅主要取决于系统的惯性 称为惯性区 这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据 3 当频率比 1 激振频率接近系统的固有频率 这时阻尼值越小 则越大 当阻尼为零时 振动为无限大 习惯上把幅值的频率区间称为共振区 将 6 对求导 并令d d 0 可解得处有最大幅值 把称为共振频率 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 相位 与频率比的关系曲线表明 1时 振动位移总是滞后激振力 2 频率比 1 当 2 共振点前后相位差恰好为 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 粘性阻尼 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 无阻尼 设其特解为 代入到上式得 方程 1 的通解解为 设初始条件为 代入到方程 2 中得 则 即 初始条件产生的自由振动 简谐激励力产生的受迫振动 伴随受迫振动产生的自由振动 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 若初始条件为 则 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 第2章单自由度线性系统的振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 无阻尼 简谐力的功 简谐力 振动系统的稳态解为 则激振力在微小位移dx上所作的微元功应为 在一个周期内 t 0 2 w 所作的功 也就是F t 输入系统的能量 即为 可见 简谐激振力在一个周期内所作功的大小 不仅决定于激振力幅F0及振幅B的大小 还决定于两者之间的相位角 当 0即外力超前位移时 作正功 当 0即外力落后于位移时 作负功 而当 0或 时 即外力在一个周期内作功之和等于零 激振力在一个周期内所作的功 W 可以看成是激振力的两个分量作功的和 即与位移同相的分量F Fcos 和与速度同相的分量F Fsin 所作功之和 与位移相同的力 在一个周期内所作的功为 简谐力 激振力在一个周期内所作的功为分量作功之和 即为 W W W FBsin 因此 激振力在一个周期内所作的功 就是其超前位移 2的分量所作的功 与速度同向的力Fsin cos t 在一个周期内所作的功为 简谐力 时 粘性阻尼力在一个振动周期中所做的功 在单自由度受迫振动方程中 阻尼力被设为 实际物理模型与振动位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼 称为粘性阻尼 这种阻尼是线性的 数学上易于处理 故常把非线性阻尼用等效粘性阻尼来代替 等效原则 一个振动周期中 两种阻尼耗散的能量相等 等效阻尼力在一个振动周期中所作的功 所以有 当受迫振动的位移响应为 干摩擦阻尼 干摩擦阻尼力F可视为一个常力 在整个受迫振动中力的幅值不变 方向始终与运动方向相反 当质量从平衡位置移动到最大偏离位置X 即在周期内 摩擦力做功为FX 故一个整周期内做功代入 1 式 得到干摩擦的等效阻尼 结构阻尼 由材料形变过程中的内摩擦产生 材料在加载 卸载过程中 会形成应力 应变迟滞曲线 它包容的面积就是内摩擦所消耗的能量 它近似地与振幅平方成正比 即 其中是与频率无关的比例系数 随材料不同而变 因此 结构等效阻尼 周期激励 稳态响应 粘性阻尼 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 例 质量 弹簧系统受到周期方波激励 求系统稳态响应 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 解 弹簧 质量系统固有频率 激励力的基频 因a0一周期内总面积为0 0 区间内 关于为反对称 而关于对称 0 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 区间内 区间内 因此 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 当n取奇数时 于是 周期性激励F t 可写为 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 则有 其中 当不计阻尼时 系统运动方程 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 小结 任意周期激励的响应 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力 T为周期 傅立叶级数展开 记基频 运动微分方程 叠加原理 系统稳态响应 不计阻尼时 代表着平衡位置 当作用于系统上所产生的静变形 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 7非简谐周期激励力的响应分析 任意激励F t 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 单位脉冲响应 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 杜哈梅积分 全响应 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 具体分析 1 脉冲响应冲量 I P d 初始条件 自由振动响应 对上述初始条件响应 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 具体分析 若冲量I 1 则脉冲称为单位脉冲又称为Dirac函数 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 若单位脉冲作用在t 时 则相当于把坐标原点右移 响应为 2 任意激振力的响应 任意激振力P 可视为一系列脉冲 在t 时 系统的冲量I Pd 则响应为 具体分析过程 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 系统响应为 无阻尼系统响应为 d n 0 具体分析过程 杜哈梅积分 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 例1 一弹簧质量系统受到一个常力P0突然作用 试求系统响应 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 求解过程 1 无阻尼解2 有无阻尼解 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 8任意激励下的响应分析 设位移干扰为 运动方程为 设 第2章单自由度线性系统的受迫振动 简谐位移激励引起的振动 振幅B为 相位 为 放大因子为 第2章单自由度线性系统的受迫振动 简谐位移激励引起的振动 例 汽车的拖车在波形道路上行驶 已知拖车的质量满载时为m1 1000kg 空载时为m2 250kg 悬挂弹簧的刚度为k 350kN m 阻尼比在满载时为 车速为v 100km h 路面呈正弦波形 可表示为 求 拖车在满载和空载时的振幅比 第2章单自由度线性系统的受迫振动 简谐位移激励引起的振动 解 汽车行驶的路程可表示为 路面的激励频率 l 5m 因此 得 c k为常数 因此与成反比 因此得到空载时的阻尼比为 满载和空载时的频率比 因为有 第2章单自由度线性系统的振动 简谐位移激励引起的振动 满载时频率比 记 满载时振幅B1 空载时振幅B2 有 满载时阻尼比 空载时阻尼比 空载时频率比 因此满载和空载时的振幅比 第2章单自由度线性系统的振动 简谐位移激励引起的振动 质量分布不均匀的单圆盘转子 x和y运动方程 s为几何中心 G为圆盘重心 系统阻尼系数为c 假定转轴的质量忽略不计 轴的横向刚度为k 支撑系统是绝对刚性的 当轴以角速度旋转时 振动方程式 第3章单自由度线性系统的振动应用3 1单圆盘转子的临界转速 显然 从方程式可看出属于受迫振动 于是其稳态解 通常认为 转子在x y方向的受迫振动可表示为 第3章单自由度线性系统的振动应用3 1单圆盘转子的临界转速 可以理解为 转子在x y方向做简谐振动 相位差是 稳态解 第3章单自由度线性系统的振动应用3 1单圆盘转子的临界转速 两个方向振动合成后 形心s的轨迹是圆 半径是R 形心s饶o点转动的角速度是 圆盘自转的角速度也是 这种既自转又公转的运动叫 弓状回转 不考虑其它因素影响时 转动角速度数值上与轴横向弯曲振动固有频率相等 即 时的转速叫临界转速 记为 弓状回转 轴本身不产生交变应力 所以不是振动 但是弓状回转对轴承作用着一个交变应力并导致支撑系统发生受迫振动 这也是机器通过临界转速时感到剧烈振动的原因 不转动的轴做横向弯曲时 轴内产生交变应力 振动的隔离 将作为振源的机器设备与地基隔离 以减少对环境的影响称为主动隔振 隔振前机器传到地基的力 隔振材料 k c 隔振后系统响应 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 隔振后通过k c传到地基上的力 隔振材料 k c 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 隔振前机器传到地基的力 隔振后通过k c传到地基上的力 隔振系数 隔振材料 k c 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 例 机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比 参与振动的质量是880kg 机器转速n 2400r min 不平衡力的幅值1470N 求 1 机器振幅 2 主动隔振系数 3 传到地基上的力幅 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 例 机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比 参与振动的质量是880kg 机器转速n 2400r min 不平衡力的幅值1470N 求 1 机器振幅 2 主动隔振系数 3 传到地基上的力幅 解 频率比 弹性支承的刚度 机器振动的振幅 主动隔振系数 传到地基上的力幅 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离 以避免将振动传至设备 称为被动隔振 基础位移 隔振前振幅 D 隔振后系统响应 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 例 有一精密仪器要求隔振 为此用8个弹簧作为隔振装置 已知地板运动规律为 仪器质量为m 80kg 仪器容许振幅B 0 01cm 试计算每个弹簧的刚度 解 按隔振要求 隔振系数应为 第3章单自由度线性系统的振动应用3 2隔振原理 力的传递率 第3章单自由度线性系统的振动应用3 2隔振原理 小结 振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离 以避免将振动传至设备 称为被动隔振 将作为振源的机器设备与地基隔离 以减少对环境的影响称为主动隔振 第三章单自由度系统振动的工程应用 3 2振动的隔离 隔振的设计步骤 1 确定被隔振设备的原始数据 m I 中心 2 按 2 5 5的要求 计算隔振系统的固有频率 多个激励时取最小激励频率 多自由度系统固有频率取最大值 3 计算隔振器的刚度 确定阻尼大小 4 进行隔振效率验算 5 选择隔振器类型 计算隔振器尺寸和结构设计 第3章单自由度线性系统的振动应用3 2隔振原理 多自由度系统振动 第四章 建模方法1 将车 人等全部作为一个质量考虑 并考虑弹性和阻尼 要求 对轿车的上下振动进行动力学建模 例子 轿车行驶在路面上会产生上下振动 缺点 模型粗糙 没有考虑人与车 车与车轮之间的相互影响 优点 模型简单 分析 人与车 车与车轮 车轮与地面之间的运动存在耦合 多自由度系统振动 建模方法2 车 人的质量分别考虑 并考虑各自的弹性和阻尼 优点 模型较为精确 考虑了人与车之间的耦合 缺点 没有考虑车与车轮之间的相互影响 多自由度系统振动 建模方法3 车 人 车轮的质量分别考虑 并考虑各自的弹性和阻尼 优点 分别考虑了人与车 车与车轮之间的相互耦合 模型较为精确 问题 如何描述各个质量之间的相互耦合效应 多自由度系统振动 教学内容 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动 多自由度系统振动 作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换 多自由度系统的动力学方程 作用力方程 几个例子 例1 双质量弹簧系统 两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼 试建立系统的运动微分方程 解 建立坐标 设某一瞬时 上分别有位移 加速度 受力分析 m1 m2 k3 k1 k2 x1 x2 P1 t P2 t 建立方程 矩阵形式 坐标间的耦合项 例2 转动运动 两圆盘 转动惯量 轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程 外力矩 解 建立坐标 角位移 设某一瞬时 角加速度 受力分析 建立方程 矩阵形式 坐标间的耦合项 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中所定义的 在多自由度系统中也将质量 刚度 位移 加速度及力都理解为广义的 k3 k1 k2 P1 t P2 t 小结 可统一表示为 例1 例2 作用力方程 位移向量 加速度向量 质量矩阵 刚度矩阵 激励力向量 若系统有n个自由度 则各项皆为n维矩阵或列向量 n个自由度系统 质量矩阵第j列 刚度矩阵第j列 n维广义坐标列向量 刚度矩阵和质量矩阵 当M K确定后 系统动力方程可完全确定 M K该如何确定 作用力方程 先讨论K 加速度为零 假设外力是以准静态方式施加于系统 准静态外力列向量 静力平衡 作用力方程 假设作用于系统的是这样一组外力 它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移 而在其他各个坐标上不产生位移 即 代入 所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列 i 1 n 在第i个坐标上施加的力 结论 刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力 结论 刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力 第j个坐标产生单位位移 刚度矩阵第j列 系统刚度矩阵 j 1 n 确定 作用力方程 讨论M 假设系统受到外力作用的瞬时 只产生加速度而不产生任何位移 假设作用于系统的是这样一组外力 它们使系统只在第j个坐标上产生单位加速度 而在其他各个坐标上不产生加速度 这组外力正是质量矩阵M的第j列 结论 质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力 第j个坐标单位加速度 质量矩阵第j列 系统质量矩阵 j 1 n 确定 质量矩阵M中的元素mij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力 mij kij又分别称为质量影响系数和刚度影响系数 根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K 从而建立作用力方程 这种方法称为影响系数方法 刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 令 使m1产生单位位移所需施加的力 保持m2不动所需施加的力 保持m3不动所需施加的力 只使m1产生单位位移 m2和m3不动 在三个质量上施加力 能够使得 系统刚度矩阵的第一列 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 令 刚度矩阵 使m1产生单位位移所需施加的力 保持m2不动所需施加的力 保持m3不动所需施加的力 只使m1产生单位位移 m2和m3不动 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 使m2产生单位位移所需施加的力 保持m1不动所需施加的力 保持m3不动所需施加的力 只使m2产生单位位移 m1和m3不动 在三个质量上施加力 能够使得 系统刚度矩阵的第二列 令 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 使m2产生单位位移所需施加的力 保持m1不动所需施加的力 保持m3不动所需施加的力 只使m2产生单位位移 m1和m3不动 令 刚度矩阵 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 使m3产生单位位移所需施加的力 保持m2不动所需施加的力 保持m1不动所需施加的力 只使m3产生单位位移 m1和m2不动 在三个质量上施加力 能够使得 系统刚度矩阵的第三列 令 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 使m3产生单位位移所需施加的力 保持m2不动所需施加的力 保持m1不动所需施加的力 只使m3产生单位位移 m1和m2不动 令 刚度矩阵 例 写出M K及运动微分方程 解 先只考虑静态 令 令 令 刚度矩阵 只考虑动态 令 只使m1产生单位加速度 m2和m3加速度为零 所需施加的力 所需施加的力 在三个质量上施加力 能够使得 系统质量矩阵的第一列 m1产生单位加速度的瞬时 m2和m3尚没有反应 只考虑动态 令 只使m1产生单位加速度 m2和m3加速度为零 所需施加的力 所需施加的力 m1产生单位加速度的瞬时 m2和m3尚没有反应 质量矩阵 同理 令 同理 令 令 令 有 令 有 令 有 质量矩阵 运动微分方程 外力列阵 矩阵形式 小结 刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力 质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数 根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M和K 从而建立作用力方程 这种方法称为影响系数方法或动静法 刚度矩阵和质量矩阵 第j个坐标产生单位位移 刚度矩阵第j列 系统刚度矩阵 j 1 n 确定 第j个坐标单位加速度 质量矩阵第j列 系统质量矩阵 j 1 n 确定 位移方程和柔度矩阵 位移方程 物理意义 系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移 柔度影响系数 柔度矩阵与刚度矩阵的关系 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统 若K非奇异 作用力方程 例 求柔度阵 解 式中 分别为广义坐标和广义速度 T U 分别为系统的动能和位能 D 能量散失函数 Q 广义干扰力 拉格朗日法 采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式 这种方法比较规格化 不易出错 而矩阵这一数学工具 则不仅提供了一种简明的表示方法 而且矩阵计算的程序比较成熟 可以利用电子计算机来完成复杂的计算工作 这样 无论在理论探讨上和分析计算上都给我们带来很大的方便 按拉格朗日方法 系统的振动方程式可以通过动能T 位能U 能量散失函数D来表示 即 下图所示为三自由度的弹簧质量系统 P1 P2 P3为分别作用于各质量上的干扰力 取各自质量偏离其平衡位置的位移x1 x2 x3为广义坐标 则广义速度为 系统的动能即为质量m1 m2 m3的动能之和 即 系统的势能即为弹簧1 2 3的变形势能之和 而弹簧的势能可通过计算弹性力所作之功来求得 当质量从平衡位置移动距离后 弹簧的弹性恢复力对质量所作的功为 所以系统的势能为 系统的能量散失函数即为系统在振动过程中为克服阻尼c1 c2 c3所作的功 在振动速度从0到的整个过程中 阻尼力对振动质量所作的功为 广义干扰力就是激振力 在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P1 P2 P3 故 所以系统的能量散失函数为 将上式各式再代入 1 式 即可求得质量m2的振动方程为 将上列各式代入 1 式 即可求得质量m1的振动方程为 又 又 将上列各式仍代入 1 式 即可求得质量m3的振动方程为 综合以上的计算结果 将上述三式式组成下列微分方程组 即得图所示系统的运动微分方程式 上式可用矩阵形式表达为 其中各列阵及系数矩阵分别为 位移列阵速度列阵 若在上述系统中忽略阻尼 又无干扰力的作用 则系统的无阻尼自由振动方程式可根据 2 式用矩阵形式直接写出 其中 零列阵 nullcolumnmatrix 为 若系统的自由度数为n 则位移列阵 x 速度列阵 加速度列阵 以及干扰力列阵 P 均为n阶列阵 而质量矩阵 m 阻尼矩阵 c 以及刚度矩阵 k 则均为n阶对称的方阵 还必须注意 当我们将弹性体离散化成有限自由度系统时 得到的质量矩阵 m 不一定都是前例那样的对角阵 diagonalmatrix 因此 以后我们按为一般非对角阵进行讨论 解 拉格拉日方程的形式为 其中 T 动能 U 势能 D 能量耗散函数 阻尼功率 广义力 广义坐标 t 时间 例 用拉格拉日方程求图示系统作用力方程 对于m1 所以方程为 同理 对于m2和m3分别有 所以 系统的运动方程为 耦合与坐标变换 矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项 质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合 以两自由度系统为例 不存在惯性耦合 如果系统仅在第一个坐标上产生加速度 不出现惯性耦合时 一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力 同理 不出现弹性耦合时 一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力 而出现弹性耦合时 一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力 耦合的表现形式取决于坐标的选择 耦合 非耦合 出现惯性耦合时 一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力 例 研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型 表示车体的刚性杆AB的质量为m 杆绕质心C的转动惯量为Ic 悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1和k2的两个弹簧来表示 写出车体微振动的微分方程 选取D点的垂直位移和绕D点的角位移为坐标 简化形式 首先求刚度矩阵 令 对D点取矩 力平衡 车体所受外力向D点简化为合力PD和合力矩MD 微振动 杆质心的垂直位移 杆绕质心的角位移 令 对D点取矩 力平衡 刚度矩阵 求质量矩阵 令 质心C所受的惯性力 力平衡 力矩平衡 令 质心C所受的惯性力矩 力平衡 对D点取矩 质心C所受的惯性力 质量矩阵 质量矩阵 刚度矩阵 运动微分方程 作用在D点的外力合力和合力矩 如果D点选在这样一个特殊位置 使得 只存在惯性耦合 而不出现弹性耦合 如果D点选在质心C 只存在弹性耦合 而不出现惯性耦合 问 能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合 也不出现弹性耦合 即 若能够 则有 方程解耦 变成了两个单自由度问题 使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标 讨论 能对同一个系统选取两个不同的坐标 它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系 选取D点的垂直位移及角位移作为坐标 选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标 令 令 D点和C点的坐标之间的关系 写成矩阵形式 坐标变换矩阵 D点和C点的坐标之间的关系 写成矩阵形式 坐标变换矩阵 和的关系 在C点加一对大小相等 方向相反的力 得 写成矩阵形式 D点和C点的坐标之间的关系 写成矩阵形式 坐标变换矩阵 和的关系 在C点加一对大小相等 方向相反的力 得 写成矩阵形式 T非奇异 因此 验证 代入 并左乘 结论 假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和Y有如下的变换关系 其中T是非奇异矩阵 如果在坐标X下系统的运动微分方程为 那么在坐标Y下的运动微分方程为 如果恰巧Y是主坐标 对角阵 这样的T是否存在 如何寻找 当T矩阵非奇异时 称矩阵A与矩阵 TTAT 合同 对于质量矩阵也如此 线性代数知 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质 对称性质 若矩阵A对称 则 TTAT 对称 证明 矩阵A对称 A AT 则有 TTAT T TTAT TT T TTAT 正定