材料力学-第4章 扭转.ppt

1 材料力学 第四章扭转 2 材料力学 第4章扭转 概述及示例外力偶矩 扭矩和扭矩图圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转变形与刚度条件扭转静不定问题非圆截面轴扭转薄壁杆扭转 内容提纲 3 材料力学 第4章扭转 概述及示例 4 材料力学 第4章扭转 概述及示例 纯扭转变形 5 杆件的扭转变形是指杆件在两端外力偶矩作用下发生的变形受力特点 两个等值反向的外力偶分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内变形特点 杆件各横截面绕杆的轴线发生相对转动 材料力学 第4章扭转 概述及示例 6 受力及变形特点 材料力学 第4章扭转 概述及示例 7 基本概念 材料力学 第4章扭转 概述及示例 扭转 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式 扭转角 横截面间绕轴线的相对角位移 作用面垂直于杆轴的外力偶 称为扭力偶 其矩称为扭力偶矩 轴 以扭转变形为主要变形的直杆 8 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 9 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 外力偶矩的计算工程中的传动轴 通常给出传动轴所传递的功率和转速 而不直接给出外力偶矩的数值设外力偶矩为Me 传动轴的功率为P 角速度为w 则有 理论力学 外力偶矩Me单位 N m 牛顿 米 功率为P单位 J 焦耳 角速度w单位 rad s 弧度 秒 10 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 在工程中 功率常用千瓦Pkw kW 或马力P给出 角速度用转速n r min 转 分钟 给出 则外力偶矩的计算公式为 11 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 假想截面m m将杆件分为两部分 根据平衡关系 有T M 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形 同时在轴内产生抵抗扭转变形的内力偶矩T 称为扭矩扭矩T的计算仍采用截面法 扭转时的内力 扭矩 扭矩图 12 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 扭矩符号的规定采用右手螺旋法则 如果用四指表示扭矩的转向 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时 该扭矩为正 反之 规定扭矩为负 保证了无论从哪一段计算 扭矩的大小和符号都相同 13 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 讨论 如图受扭圆轴 m m截面上扭矩为多少 截面法 1 在所研究平面处假想截开 2 根据平衡关系确定截面 弯 扭矩 3 根据定义 确定 弯 扭矩正负 14 材料力学 第4章扭转 扭力偶矩计算与扭矩 讨论 如图受扭圆轴 画出其扭矩图 15 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 16 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 等直圆轴扭转时横截面上的应力 应力分布 应力公式 变形 应变分布 此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的 而必须从几何 物理和平衡三个方面进行综合分析 17 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 18 材料力学 第4章扭转 几何变形特征变形后 横截面仍保持为平面 其形状和大小均不改变 半径仍为直线变形后 相邻横截面的间距保持不变 相邻横截面绕圆轴轴线转动一定的角度 圆轴扭转的平截面假定即 圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动 圆轴扭转横截面上的应力 几何变形 横截面绕圆轴的轴线转动圆轴中段的横截面缩小圆轴的长度略有增长 有轴向应变 有剪切应变 次要 次要 主要 19 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 应变特征 应力分布 20 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 O O A B C D 扭转圆轴不同平面上的应力分布 21 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 横截面上半径为r处的剪应力为 22 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 剪力方向垂直于半径 由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内 圆轴截面上的剪应力tr与r成正比剪应力在圆轴边缘达到最大在离圆心等远的各点处 剪应力则均相同 23 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 静力平衡关系横截面上分布的剪应力的合力 主矢 等于零剪应力关于原心O的合力矩应该等于该截面上的扭矩T 即 O 24 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 代入 得到 记 称为圆截面的极惯性矩 则 圆轴扭转角的变化率 圆截面切应力 O 25 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 该圆环对圆心的微惯性矩为 考虑一半径为 厚度为的圆环 积分可得整个圆截面的极惯性矩 圆截面的极惯性矩 O 26 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转变形公式 圆轴扭转切应力 总结 实心圆轴 其中 最大切应力 27 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 空心圆轴的扭转计算 空心圆轴与实心圆轴的扭转 变形本质并无不同 因此应力和变形计算公式均相同 唯一不同在于极惯性矩的计算 28 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 空心圆轴的扭转计算 截面最大切应力 令 得 d D 29 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转横截面上的应力 证明 式4 8在线弹性情况下 且时 最大计算误差不超过4 53 本节作业 4 1 c d 4 7 薄壁圆轴的扭转切应力 Page100 本节作业下周五 12月31日交 30 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 31 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 破坏类型试验发现 塑性材料 小变形 小变形 脆性材料 32 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 破坏机理塑性材料 受剪破坏低炭钢 抗压 抗拉 抗剪强度 脆性材料 受拉破坏铸铁 抗压 抗剪 抗拉强度 33 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 从破坏类型可见 对于脆性材料 如铸铁 其破坏机理是斜截面上的最大拉应力因此 本质上讲 应对斜截面上的正应力进行强度计算 然而 由于斜截面上的正应力和横截面上的剪应力间有固定的关系 所以 习惯上仍按最大剪应力进行强度计算 34 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 许用切应力 t 与许用正应力 s 的关系由于同一材料在纯剪切和轴向拉伸时的力学性能之间存在着一定的关系 因此 一般有 塑性材料 t 0 5 0 6 s 脆性材料 t 0 8 1 0 s 35 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转的强度条件 扭转许用切应力 扭转强度条件 36 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 例题1 某传动轴 轴内最大扭矩T 1 5kN m 若许用应力 50MPa 试按下列两方案确定轴的横截面尺寸 并比较重量 1 实心圆截面轴 2 空心圆截面轴 内外径比值d D 0 9 37 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 扭转强度条件 解 内径 38 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 哪种截面节省材料 面积比 39 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 例题2 图示圆柱形密圈螺旋弹簧 沿弹簧轴线承受拉力F 密圈螺线弹簧是指螺旋升角a 5 设弹簧圈平均半径R 弹簧丝平均直径d 分析弹簧的应力 建立相应强度条件 40 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 可见 弹簧丝的横截面上作用有剪力Fs和扭矩T 其分别值为Fs F T FR 解 利用截面法 以通过弹簧轴线的某一平面将弹簧丝切断 选择上部为研究对象 由于螺旋升角a很小 此切面可视为弹簧丝的横截面 41 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 假设与剪力Fs相应的剪应力t 沿截面分布均匀 则 扭矩T引起的最大剪应力t max为 42 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转破坏与强度条件 由叠加原理可得截面上的最大剪应力tmax 当R d 5时 可忽略切应力t 的影响 最大剪应力tmax可近似为 强度条件 43 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 44 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 受扭圆轴的相对扭转角 圆杆受扭矩作用时 dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角 沿轴线方向积分 得到 45 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴 两端面的相对扭转角为 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴 轴两端面的相对扭转角为 受扭圆轴的相对扭转角 46 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 单位长度的相对扭转角 在很多情形下 两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度 因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形 即扭转角的变化率 扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内 即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件 47 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 受扭圆轴的刚度设计准则 其中 为单位长度上的许用相对扭转角 其数值根据轴的工作要求而定 例如 精密机械的轴 0 25 0 5 m 一般传动轴 0 5 1 0 m 刚度要求不高的轴 2 m 48 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 例题3 图示圆轴AC 承受大小为MA MB MC的扭力偶作用 已知圆轴GIP 长度2l 求轴的总扭转角 即截面A与C之间的相对转角 C A B 49 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 C A B BC段 AB段 AC段 正负扭矩引起的圆轴扭转方向相反 解一 50 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 C A B 总扭转角 假想地固定A端 并用叠加法 解二 51 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 例题4 图示圆锥形轴 两端承受扭力偶矩M作用 设轴长l 左 右端直径分别为d和D 计算轴的总扭转角 52 材料力学 第4章扭转 圆轴扭转变形与刚度条件 解 微段两截面的扭转角为 其中 总扭转角 53 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 54 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 例题5 图示圆轴AC 中间某处承受扭力偶矩M作用 求支反力偶矩 55 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 解一 未知数两个 力的 平衡方程 变形协调条件 静不定次数 一次 56 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 解二 力的 平衡方程 变形协调条件 根据 57 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 例有一空心圆套A套在实心圆杆B的一端 两杆在同一横截面上各有一直径相同的贯穿孔 但两孔的中心线的夹角为b 现在杆B上施加一外力偶 使其扭转到两孔对准的位置 并在孔中装上销钉 求在外力偶除去后两杆所承受的扭矩 装配应力 lA lB A B 58 材料力学 第4章扭转 扭转静不定问题 解当除去外力偶后 由于内管和外管通过销钉联结 并相互作用 所以 作用