2016-2017学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科) (解析版).doc

2016-2017学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=lg（x+1）By=tanxCy=2xDy=x22（5分）在等差数列an中，a2=3，a14=25，则a7+a9=（）A22B75C28D183（5分）“直线ax+3y+3=0和直线4x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件是“a=（）”A4或3BC3D44（5分）抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0）B（0，）C（0，4）D（0，2）5（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数Z=4x+y+3的最小值为（）A5B8C11D186（5分）下列命题中真命题的个数是（）ABC中，B=60是ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件；若“am2bm2，则ab”的逆命题为真命题；xy6是x2或y3充分不必要条件；lgxlgy是的充要条件A1个B2个C3个D4个7（5分）已知椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为（）A1B47C1或3D1或38（5分）若命题：“xR，使得ax2+（a3）x+10”为假命题则实数a的范围为（）A0a1或a9Ba1或a9C1a9Da99（5分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=2，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1的长为（）ABCD2+10（5分）椭圆+y2=1上的点到直线x+y4=0的最大距离是（）A2B3CD2111（5分）已知：方程=kx+2有两个不等实根，则k的取值范围为（）A1，）（，1B（1，）（，1）C（，）（，+）D（，）12（5分）已知抛物线x2=2y上三点A，B，C，且A（2，2），ABBC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（）A（，62，+）B（，4）（4，+）C2，+）D6，2二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）已知向量=（2，3，0），=（3，0，4），且k+与互相垂直，则k=14（5分）如图，A，B，C是直线l上的三点，AB=4，BC=4，过A作动圆与直线l相切，过B，C分别做圆的异于l的两切线，交于点P，则P的轨迹为（填轨迹类型，不求方程）15（5分）若直线y=kx+1与双曲线x2y2=2的左支交于不同的两点，则k的取值范围是16（5分）椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若=0，则椭圆C的离心率等于三、解答题（17题10分，其它每题12分）17（10分）如图，若在三棱柱ABCABC中，设=，=，=，M是AB的中点，点N在CM上，且CN：NM=1：2，用，表示、18（12分）设命题p：实数x满足x26ax16a20（a0）；命题q：实数x满足2x16，（1）若a=1时，命题pq为真，同时命题pq为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AB=2，E是棱PB的中点（1）若AD=2，求B到平面CDE的距离；（2）若平面ACE与平面CED夹角的余弦值为，求此时AD的长为多少？20（12分）已知动点M到定点F（1，0）的距离与点M到定直线m：x=2的距离之比为（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设过定点A（0，2）的动直线l（斜率存在）与C相交于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆，若定点F在此圆内，求出满足条件的直线l的斜率范围21（12分）已知双曲线C的渐近线方程为y=x，点（3，）在双曲线上（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线的顶点不重合），当=，且=5时，求直线l的方程22（12分）某小区内有一条形状如图的沟渠，沟沿是两条平行线段，沟渠宽AB为20厘米，沟渠的直截面ABO为一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟渠深20厘米，沟渠中水深10厘米（1）求水面宽为多少厘米；（2）若要把这条沟渠改挖（不准填土）成直截面为等腰梯形的沟渠，是沟渠的底面与地面平行，则改挖后的沟渠底部宽为多少厘米时，所挖土最少2016-2017学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）（2016秋江西期末）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ay=lg（x+1）By=tanxCy=2xDy=x2【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、其图象由对数函数y=lgx的图象平移变换得到，分析可得其符合题意，对于B、依据正切函数的定义域，分析可得其定义域不符合题意，对于C、D，均为减函数，不符合题意；综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、函数y=lg（x+1）可以由对数函数y=lgx的图象向左平移1个单位得到，而y=lgx在（0，+）是增函数，故函数y=lg（x+1）在（1，+）是增函数，符合题意；对于B、函数y=tanx的定义域为x|xk+，在（0，+）不是增函数，不符合题意；对于C、y=2x=（）x，为减函数，不符合题意；对于D、y=x2=，在（0，+）是减函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数的单调性的判断，需要掌握常见函数单调性的性质以及应用，2（5分）（2016秋江西期末）在等差数列an中，a2=3，a14=25，则a7+a9=（）A22B75C28D18【分析】利用等差数列的通项公式直接求解【解答】解：在等差数列an中，a2=3，a14=25，a7+a9=a2+a14=3+25=28故选：C【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用3（5分）（2016秋江西期末）“直线ax+3y+3=0和直线4x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件是“a=（）”A4或3BC3D4【分析】直线ax+3y+3=0和直线4x+（a+1）y+4=0平行（a1），解得a即可得出【解答】解：直线ax+3y+3=0和直线4x+（a+1）y+4=0平行（a1），解得a=4“直线ax+3y+3=0和直线4x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件是“a=4”故选：D【点评】本题考查了直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）（2016秋江西期末）抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0）B（0，）C（0，4）D（0，2）【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解焦点坐标【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为：x2=8y，所以抛物线y=x2的焦点坐标为（0，2）故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题5（5分）（2016秋江西期末）设变量x、y满足约束条件，则目标函数Z=4x+y+3的最小值为（）A5B8C11D18【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=4x+y+3为y=4x+z3，由图可知，当直线y=4x+z3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=41+1+3=8故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）（2016秋江西期末）下列命题中真命题的个数是（）ABC中，B=60是ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件；若“am2bm2，则ab”的逆命题为真命题；xy6是x2或y3充分不必要条件；lgxlgy是的充要条件A1个B2个C3个D4个【分析】在中ABC中，B=60ABC的三内角A，B，C成等差数列；在中，当m=0时不成立；在中，xy6是x2或y3的逆否命题是真命题；在中，lgxlgy是的充分不必要条件【解答】解：ABC中，B=60ABC的三内角A，B，C成等差数列，故正确；若“am2bm2，则ab”的逆命题“若ab，则am2bm2”，当m=0时不成立，故若“am2bm2，则ab”的逆命题为假命题，故错误；xy6是x2或y3的逆否命题是：若x=2且x=3，则xy=6，真命题，xy6x2或y3，xy6是x2或y3充分不必要条件，故正确；f（x）=lgx在定义域x0范围内是单增函数：lgxlgy可得到xy0g（x）=在定义域x=0范围内是单增函数：可得到xy0可见，lgxlgy，但是当y=0时，推不出lgxlgy，lg0不存在，lgxlgy是的充分不必要条件，故错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意充分条件、必要条件、充要条件和四种命题的合理运用7（5分）（2016秋江西期末）已知椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为（）A1B47C1或3D1或3【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解即可【解答】解：当焦点在x轴时，椭圆+=1的离心率为，可得：=，解得k=1；当焦点在y轴时，椭圆+=1的离心率为，可得：，解得k=3；所以k的取值为：1或3故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点所在轴，是易错点8（5分）（2016秋江西期末）若命题：“xR，使得ax2+（a3）x+10”为假命题则实数a的范围为（）A0a1或a9Ba1或a9C1a9Da9【分析】依题意“xR，使得ax2+（a3）x+10”恒成立分a=0，a0讨论求解【解答】解：命题：“xR，使得ax2+（a3）x+10”为假命题命题：“xR，使得ax2+（a3）x+10”恒成立a=0时，不符合题意，1a9故选：C【点评】本题考查了含有量词的命题真假的应用，转化思想是关键，属于基础题9（5分）（2016秋江西期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=2，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1的长为（）ABCD2+【分析】利用空间向量，表示，再由AB=1，AD=1，AA1=2，BAD=，90，BAA1=DAA1=60，通过向量的模能求出结果【解答】解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=2，BAD=90，BAA1=DAA1=60，=+，2=+2+2+2=1+1+4+0+212cos60+212cos60=10，|=故选：C【点评】本题考查棱柱的结构特征，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用如本题这样，基向量的夹角与模已知，用向量法求线段长度是最优选择10（5分）（2016秋江西期末）椭圆+y2=1上的点到直线x+y4=0的最大距离是（）A2B3CD21【分析】写出椭圆的参数方程（02），设出点P的坐标，运用点到直线的距离公式，以及两角和的正弦公式，结合正弦函数的最值，即可得到答案【解答】解：由于椭圆+y2=1的参数方程为：参数方程（02），设点P（cos，sin），则P到直线l：x+y4=0的距离为d=则当sin（+）=1时，d取得最大值：3故选：B【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用11（5分）（2016秋江西期末）已知：方程=kx+2有两个不等实根，则k的取值范围为（）A1，）（，1B（1，）（，1）C（，）（，+）D（，）【分析】设函数y=和y=kx+2，在坐标系中分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数确定k的取值范围，【解答】解：设y=，y=kx+2，在同一坐标系在图象如图：当直线y=kx+2与椭圆的上半部分相切时即只有一个解时得到k=，直线与椭圆的上半部分有两个交点时的斜率绝对值的最大值为=1，所以方程=kx+2有两个不等实根的k 的取值范围1，）（，1；故选A【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键12（5分）（2016秋江西期末）已知抛物线x2=2y上三点A，B，C，且A（2，2），ABBC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（）A（，62，+）B（，4）（4，+）C2，+）D6，2【分析】设B（x1，x12），C（x2，x22），根据ABBC，表示出两直线的斜率相乘得1，进而可得关于x2的一元二次方程，根据判别式大于等于0求得x2范围【解答】解：由于B、C在抛物线上，故可设 B（x1，x12），C（x2，x22）ABBC，x12，x22，x1x2=1，即x12+（x22）x12（x22）=0x1R，=（x22）2+8（x22）0，即x22+4x2120解得x26，或x22，故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系考查了学生综合分析问题和实际的运算的能力二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）（2016秋江西期末）已知向量=（2，3，0），=（3，0，4），且k+与互相垂直，则k=【分析】利用平面向量坐标运算法则先分别求出k+和，再由k+与互相垂直，能求出k的值【解答】解：向量=（2，3，0），=（3，0，4），k+=（2k3，3k，4），=（5，3，4），k+与互相垂直，（k+）（）=5（2k3）+33k+（4）4=0，解得k=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则和向量垂直的性质的合理运用14（5分）（2016秋江西期末）如图，A，B，C是直线l上的三点，AB=4，BC=4，过A作动圆与直线l相切，过B，C分别做圆的异于l的两切线，交于点P，则P的轨迹为椭圆（填轨迹类型，不求方程）【分析】利用切割线定理，结合椭圆的定义，即可得出结论【解答】解：由题意，设切点分别为D，E，则DB=4，EC=8，PE=DEPB=4+PD，PC=8PE，PB+PC=12BC，P的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，故答案为椭圆【点评】本题考查椭圆的定义，考查切割线定理的运用，属于中档题15（5分）（2016秋江西期末）若直线y=kx+1与双曲线x2y2=2的左支交于不同的两点，则k的取值范围是（1，）【分析】根据直线y=kx+1与双曲线x2y2=1的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进而构造关于k的不等式组，解不等式可得答案【解答】解：联立方程直线y=kx+1与双曲线x2y2=2得（1k2）x22kx3=0若直线y=kx+1与双曲线x2y2=2的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负根，解得：k（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查的知识点圆锥曲线中的范围问题，其中分析出题目的含义是直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键16（5分）（2016秋江西期末）椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若=0，则椭圆C的离心率等于1【分析】依据题意求出点F1、F2、D坐标，由=0得到a、b、c的关系式即可，【解答】解：过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，则可令B（c，）直线F1B与y轴交于点D是线段F1B的中点，D（0，），=0，b2=2acc2+2aca2=0e2+2e1=0e=1故答案为：【点评】本题考查了椭圆的离心率，属于基础题三、解答题（17题10分，其它每题12分）17（10分）（2016秋江西期末）如图，若在三棱柱ABCABC中，设=，=，=，M是AB的中点，点N在CM上，且CN：NM=1：2，用，表示、【分析】利用空间向量的线性运算直接求解【解答】解：=，=【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题18（12分）（2016秋江西期末）设命题p：实数x满足x26ax16a20（a0）；命题q：实数x满足2x16，（1）若a=1时，命题pq为真，同时命题pq为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（1）分别解出关于p，q的不等式，通过讨论p，q的真假得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据q是p的真子集，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出取并集即可【解答】解：（1）a=1时，p：2x8，q：3x4，若命题pq为真，同时命题pq为假，则p，q一真一假，若p真q假，则，则4x8，若p假q真，则则3x2，综上，x3，2（4，8）；（2）若p是q的充分不必要条件，则q是p的真子集，a0时，p：8ax2a，q：3x4，此时，解得：a2，a0时，p：2ax8a，q：3x4，此时，解得：a，综上，a2或a【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及分类讨论思想，是一道中档题19（12分）（2016秋江西期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AB=2，E是棱PB的中点（1）若AD=2，求B到平面CDE的距离；（2）若平面ACE与平面CED夹角的余弦值为，求此时AD的长为多少？【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B到平面CDE的距离（2）设AD=t，求出平面CDE的法向量和平面ACE的法向量，由平面ACE与平面CED夹角的余弦值为，利用向量法能求出AD的长【解答】解：（1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，PA=AB=2，E是棱PB的中点，AD=2，B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），=（1，2，1），=（2，0，0），=（0，2，0），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），B到平面CDE的距离d=解：（2）设AD=t，（t0），则D（0，t，0），=（1，t，1），=（2，0，0），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，t），设平面ACE的法向量=（a，b，c），=（2，t，0），=（1，0，1），取b=2，得=（t，2，t），平面ACE与平面CED夹角的余弦值为，=，则t0，解得t=4故AD的长为4【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）（2016秋江西期末）已知动点M到定点F（1，0）的距离与点M到定直线m：x=2的距离之比为（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设过定点A（0，2）的动直线l（斜率存在）与C相交于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆，若定点F在此圆内，求出满足条件的直线l的斜率范围【分析】（1）设M（x，y），由题意可得：=，化简即可得出（2）设L：y=kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+8kx+6=0，0，由题意可得：0，化为：（1+k2）x1x2+（2k1）（x1+x2）+50，解出即可得出【解答】解：（1）设M（x，y），由题意可得：=，化为：+y2=1（2）设L：y=kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（2k2+1）x2+8kx+6=0，当0时，化为，解得或kx1+x2=，x1x2=，（*）由题意可得：0，（x11）（x21）+y1y20，化为：（1+k2）x1x2+（2k1）（x1+x2）+50，把（*）代入上式，解得，由可得：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）（2016秋江西期末）已知双曲线C的渐近线方程为y=x，点（3，）在双曲线上（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线的顶点不重合），当=，且=5时，求直线l的方程【分析】（1）设双曲线的方程为：x24y2=m（0），把点（3，）代入双曲线方程即可得出（2）由题意可得：直线l的斜率存在且不为0，则可设l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），可得Q由=，可得：A点坐标，代入在双曲线上，整理可得：（1k2）2+2+14k2=0，同理可得：（1k2）2+2+14k2=0，可把，看作二次方程：（1k2）x2+2x+14k2=0的两个实数根，利用=5时，解得k即可得出【解答】解：（1）设双曲线的方程为：x24y2=m（0），把点（3，）代入双曲线方程可得：x24y2=1（2）由题意可得：直线l的斜率存在且不为0，则可设l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），可得Q由=，可得：，A在双曲线