人教版高中数学选修4-1《直角三角形的射影定理》教案.doc

课题：直角三角形的射影定理教材： 人教版普通高中课程标准实验教科书 选修4-1 P20-P22一、教学目标【知识技能】：理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用这些知识解决问题的能力。【数学思想】：通过观察、实验、类比、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和归纳总结梳理能力。【解决问题】：学生亲自经历探索直角三角形的射影定理的过程，体会解决问题策略的多样性。【情感态度】：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。二、教学重点、难点【重点】：理解并掌握直角三角形的射影定理，应用定理解决问题。【难点】：勾股定理与射影定理的互推三、教学方法与手段本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上与态度上的跨越；在学法上突出学生的“探索发现”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去探索、去归纳、去梳理总结。四、教学过程环节内容师生活动设计意图创设情境导入新课思考：（1）当光线直射黑板的时候，吊着的小球留在黑板的影子是什么形状？（2）如果把小球换成一根线段呢？（3）线段的射影一定是一根线段吗？ ACDEF师：我们美术班的同学对物体的投影不会陌生，现在我们来分析一些简单的几何元素的投影，思考生：师：对于线段EF垂直直线时的投影，生活中能找到例子吗？生：正午时分旗杆在地面上的投影。根据本班特色，从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲，引出“射影”的概念，使学生理解点在直线上的正射影，线段在直线上的正射影概念，并且注意特殊情况下线段的射影也可能是一个点。给出点、线段在直线上的正射影的定义，并给出一些有关射影的图形变式：防止学生把正射影理解为只是由一点向水平面引垂直的特殊情况，消除认知误区。环节内容师生活动设计意图实践探究，推出定理观察（1） 找出两直角边在斜边上的射影（2） 找出这些线段（边，射影，斜边上的高）之间的关系师：下面我们来找出直角三角形中两直角边在斜边上的射影。生：AC 在斜边上的射影是AD，BC在斜边上的射影为BD。师：能找出这些线段之间的关系吗？例如大小的关系，生：，师：相等的关系呢？生：，师：说得好。由等面积还有这样一个相等关系：师：如何找出成比例的关系呢？生：由相似三角形的对应边成比例即可师：把这些比例式交叉相乘，就得到了一下的三个等式：由于这些式子反映了直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系，因此称为“直角三角形的射影定理”。如何去记住这些等式呢？有什么规律？把研究的范围引向直角三角形，进入本节课的主题由于问题的开放性，对探索“线段之间的关系”进行引导，使学生明确探索的方向，然后让学生自己进行探索。教学中注意在引导学生思考在给定的图形中，“可以研究哪些问题”和“如何研究这些问题”，避免探索的盲目性逐步推进，很自然地引出了射影定理的推导方法。学生探索活动中可以获得丰富的感知，引导学生感悟知识的生成、发展和变化。揭示定理的内涵，避免了机械记忆，同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性。环节内容师生活动设计意图拓展外延例1讲解：如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD=2，DB=8，求CD、AC和BC的长。P22练习1师：在求出CD之后，求AC、BC的值除了用射影定理是否还有其他方法？生：勾股定理。对射影定理的直接应用，检测学生对定理的使用情况重现勾股定理，为后面的探究做铺垫思考：由前面可知直角三角形一定满足射影定理，那么满足射影定理的等式的三角形是否一定是直角三角形？例2讲解：如图，中，顶点C在AB边上的射影为D，且。求证：是直角三角形。师：我们知道，直角三角形满足勾股定理；反过来，如果一个三角形满足勾股定理，那么它必然是直角三角形。那么，对于射影定理来说，是否也有这样的情况？生：还不能确定。师：那么下面我们来探究一下课本21页的例2。师：例2告诉我们什么？生：射影定理的逆定理也成立。师生：说得好。其实例2还为我们证明直角三角形提供了新的方法和依据。现在我们可以归纳一下我们学过的证明直角三角形的方法吗？生：（1）有一个角为直角的三角形（2）满足勾股定理的三角形（3）一边的中点到三个角的距离相等的三角形（4）满足射影定理的三角形灌输类比思想，由勾股定理的逆定理成立来类比猜想射影定理也有类似的性质这个例题完备了射影定理对已有知识的梳理总结，学生重现已有知识，使自己真正成为知识体系的主动建构者。在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生还可以获得不同的体验。应该说是对新教材的基本设计思想的一个很好的诠释。环节内容师生活动设计意图拓展外延探究直角三角形的勾股定理与射影定理的相互关系可以用勾股定理证明射影定理吗？可以用射影定理证明勾股定理吗？师：对于直角三角形，我们最熟悉的定理是勾股定理，今天我们又学了直角三角形特有的射影定理，这两个定理之间有没有联系？联系有多密切？现在我们来看看课本21页的探究“用勾股定理能证明射影定理吗？”师：在学习的过程中，我们体会到处理问题时，不同的方法可以得到相同的结论，这是方法的不唯一性。将来处理任何问题时，我们要想到不同的方法。希望大家在今后的学习生活中要掌握好这些思想和方法，灵活地运用到将来的生活和学习中。进一步沟通了直角三角形的两个定理之间的关系，让学生感受到数学的美。这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法。培养学生自我反馈、自主发展的意识小结反思1、射影的定义2、射影定理的内容3、射影定理与勾股定理的关系4、看到直角三角形我们应该联想到什么结论？对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。作业布置课本P22第2、3题设计说明本节课的设计，以建构主义理论为基础，以问题为载体，以学生的自主探索、合作交流为主要的学习方式。在教学过程中，最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题。教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、多角度思考的促进者，使师生成为“数学学习的共同体”。一、教材分析射影定理是上一节“相似三角形的性质”的延续和深化，它建立了直角三角形中边与射影的关系，揭示了直角三角形内在的美，在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具。作为高考选做题之一，对于射影定理的考查在各省市的模拟试题中时有出现。二、创设情境，把学生置于问题的建模过程本节课以美术班学生习以为常的“物体的投影”为情境引出课题，激起学生强烈的好奇心和求知欲。使学生不知不觉中走入数学王国，经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程。三、实践探究，把学生置于结论的发现过程首先，遵循学生学习数学的认知规律，承接上一节的相似三角形的性质，给出射影的定义，然后创设情景，引导学生在直角三角形中研究相似三角形的对应边成比例，让学生自然而