2019广东一模理科数学教师版.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 广东省理科数学模拟试卷 一 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知集合 12 2 x Ax xBy yxA 则AB A 8 B 3 C 0 8 D 0 3 1 答案 D 解析 3 2 3 08 x Ax xBy yxyy 所以 0 3 AB 2 复数 5 i i 1 i z i为虚数单位 的虚部为 A 1 2 B 1 2 C 1 i 2 D 1 i 2 2 答案 A 解析 2425 i1 i 1 1 ii 所以 5 iii 1 i 1 i11 iii ii 1 i1 i 1 i 1 i 222 z 虚部为 1 2 3 双曲线 22 9161xy 的焦点坐标为 A 5 0 12 B 5 0 12 C 5 0 D 0 5 3 答案 A 解析 双曲线的标准方程为 22 1 11 916 xy 焦点在x轴上 22222 111125 9169169 16 abcab 5 12 c 焦点坐标为 5 0 12 4 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 284 34 38aaS 则 1 a A 4 B 5 C 6 D 7 4 答案 B 解析 设 n a的公差为d 则 2811 41 28345 46383 aaada Sadd 5 已知函数 f x在 上单调递减 且当 2 1 x 时 2 24f xxx 则关于x的不等式 1f x 的解集为 A 1 B 3 C 1 3 D 1 5 答案 D 解析 当 2 1 x 时 令 2 241f xxx 得 2 230 xx 1 3 0 xx 解得1x 或3x 舍去 所以 1 1f 不等式 1f x 即 1 f xf 又因为函数 f x在 上单调递减 所以1x 6 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 B 4 C 6 D 8 22 2 2 2 1 22 6 答案 A 解析 22 1 12123 2 V 7 执行右面的程序框图 依次输入 12345 17 19 20 21 23xxxxx 则输出的S值及其统计意 义分别是 A 4S 即 5 个数据的方差为 4 B 4S 即 5 个数据的标准差为 4 C 20S 即 5 个数据的方差为 20 D 20S 即 5 个数据的标准差为 20 7 答案 A 开始开始 0 1Si 输入输入xi 2 20 i SSx i 4 5SS 输出输出S 结束结束 1ii 是是 否否 解析 22222 1720 1920 2020 2120 2320 9 10 1 9 4 55 S 即 5 个数 据的方差为 4 8 已知 A B C三点不共线 且点O满足161230OAOBOC 则 A 123OAABAC B 123OAABAC C 123OAABAC D 123OAABAC 8 答案 A 解析 由161230OAOBOC 可得 1230OAOAOBOAOC 即1230OABACA 所以123OAABAC 9 设数列 n a的前n项和为 n S 且 11 2 2 N n nn aaan 则 13 S A 13 24 3 B 13 22 3 C 14 24 3 D 14 22 3 9 答案 D 解析 614 24124 1 4 22 22222 1 43 Saaaaaaa 10 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时 提出来分线段的 中末比 问题 将一线段AB分 成两线段 AC CB 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项 即满足 ACBC ABAC 51 0 618 2 后人把这个数称为黄金分割数 把点C称为线段AB的黄金分割点 在ABC 中 若点 P Q为线段BC的两个黄金分割点 在ABC 内任取一点M 则点M落在APQ 内的概率为 A 51 2 B 52 C 51 4 D 52 2 ABC A BC PQ 10 答案 B 解析 不妨设2BC 则51BQCP 2 51 35BPBCPC 51 35 2 54PQBQBP 所求概率为52 PQ BC 11 已知函数 1 sin 0 62 f xx 点 P Q R是直线 0 ym m 与函数 f x的图象的 自左至右的某三个相邻交点 若 2 2 3 PQQR 则m A 5 2 B 3 2 2 C 3 D 53 2 11 答案 C 解析 2 33 PQQR f x的周期 2 2TPR T 由 262 3 PQ QP xx xx 解得0 3 pQ xx 所以 0 1mf 所以2 13m RQ P 12 已知函数 1 3 4 x f xkxex 若 0f x 的解集中恰有两个正整数 则k的取值范围为 A 32 3131 128ee B 32 3131 128ee C 2 31 31 84ee D 2 31 31 84ee 12 答案 B 解析 由 1 3 4 x f xkxex 得 13 4 x x kx e 设 13 4 x x g xkxh x e 由题意可知 g xh x 恰有两个正整数解 3 1 x x h x e 所以当1x 时 0h x h x单调递增 当1x 时 0h x h x单调递减 且 0 0h 当0 x 时 0h x 当x 时 0h x 作出 yh x 的图象 如图所示 而 1 4 g xkx 表示过点 1 0 4 且斜率为k的直线 由题意可得 2 2 3 3 gh gh 即 2 3 16 2 4 19 3 4 k e k e 解得 32 3131 128 k ee 2 1 1 24 O 1 4 ykx 3 x x y e 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 6 2 xy 的展开式中 24 x y的系数为 13 答案 60 解析 展开式中含 24 x y的项为 42424 6 2 60Cxyx y 14 设 x y满足约束条件 32110 210 1 xy xy x 则2zxy 的最大值为 14 答案 7 解析 作可行域为如图所示的ABC 其中 1 0 3 1 1 4 ABC 因为2 7 6 ABC zzz 所以 2zxy 的最大值为 7 6 5 4 3 2 1 1 24 C B OA 15 在三棱锥PABC 中 AP AB AC两两垂直 且2APABAC 若点 D E分别在棱 PB PC上运动 都不含端点 则ADDEEA 的最小值为 15 答案 31 解析 2PBPCBC 所以PBC 为等边三角形 分别将 PABPAC 沿 PB PC翻折 使其 与PBC 位于同一个平面内 翻折后的点A分别记为 12 A A 则 1212 ADDEEAADDEEAA A 12 150APA 所以 22 12 3 2222242 3 31 2 A A 所以 12 31A A 即ADDEEA 的最小值为31 A1A2 P B C DE P A B C D E 16 已知F为抛物线 2 2 0 C xpy p 的焦点 曲线 1 C是以F为圆心 4 p 为半径的圆 直线 2 3630 xyp 与曲线 1 C C从左至右依次相交于 P Q R S 则 RS PQ 16 答案 21 5 解析 2 3630 xyp 过抛物线的焦点0 2 p F 斜率为 3 3 倾斜角为30 设SFy 则60 此时 217 2 1 cos1cos344 pp FSp FPp RSFSpp 15 412 PQFPpp 所以 21 5 RS PQ S R Q P F O 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 已知cos3 sincAcAba 1 求C 2 若D在边BC上 且 11 3 cos 10 3 14 ABC BDDCBS 求AD 17 解析 1 在ABC 中 因为cos3 sincAcAba 所以sincos3sinsinsinsinCACABA 1 分 又ABC 所以sinsin BAC 2 分 所以sincos3sinsinsin sinCACAACA 则sincos3sinsinsincoscossinsinCACAACACA 3 分 即3sinsinsincossinCAACA 4 分 因为sin0A 所以3sincos1CC 即 1 sin 62 C 5 分 因为0C 所以 3 C 6 分 2 因为 11 cos 14 B 所以 5 3 sin 14 B 7 分 所以 5 311134 3 sinsin sincoscossin 1421427 ABCBCBC 8 分 所以 sin sin sin8 5 7a b cABC 不妨设8 5 7at bt ct 9 分 A B C D 因为10 3 ABC S 所以 13 8510 3 22 ABC Stt 解得1t 10 分 即8 5 7abc 因为3BDDC 所以6 2BDDC 11 分 在ADC 中 由余弦定理得 222 2cos19ADCDCACD CAC 19AD 12 分 18 本小题满分 12 分 已知五面体ABCDEF中 四边形CDEF为矩形 2224 2 5CDDEADABAC 且二面角 FABC 的大小为30 1 证明 AB 平面ADE 2 求二面角EBCF 的余弦值 18 解析 1 在五面体ABCDEF中 四边形CDEF为矩形 所以 EFCD CDDE 1 分 因为EF 平面 ABCD CD 平面ABCD 所以 EF平面ABCD 2 分 因为EF 平面ABFE 平面ABFE 平面ABCDAB 所以 EFAB 又 EFCD 故 CDAB 3 分 因为 222 4 2 2 5 CDADACCDADAC 所以CDAD 4 分 又 CDDE ADDED 所以CD 平面ADE 5 分 又 CDAB 所以AB 平面ADE 6 分 2 解 过点E作EOAD 垂足为O 以O为坐标原点 以OA所在的直线为x轴 过O平行于DC 的直线为y轴 OE所在的直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 7 分 则 0 0 3 3 2 0 1 4 0 0 4 3 EBCF 2 2 0 1 0 3 1 4 3 BCCFCE 8 分 设平面EBC的一个法向量为 111 nx y z 则 11 111 220 430 n BCxy n CExyz 不妨令 1 3x 则 3 3 5 n 9 分 A B C D EF 设平面BCF的一个法向量为 222 mxyz 则 22 22 220 30 m BCxy m CFxz 不妨令 2 3x 则 3 3 1 m 10 分 则 1111 217 cos 217317 n m 11 分 由图知二面角EBCF 为锐角 所以二面角EBCF 的余弦值为11 217 217 12 分 A B C D EF x y z O 19 本小题满分 12 分 已知点 2 1 2 3 2 都在椭圆 22 22 1 0 yx Cab ab 上 1 求椭圆C的方程 2 过点 0 1 M的直线l与椭圆C交于不同的两点 P Q 异于顶点 记椭圆C与y轴的两个交点分别 为 12 A A 若直线 1 AP与 2 A Q交于点S 证明 点S恒在直线4y 上 19 解析 1 由题意得 22 22 21 1 31 1 2 ab ab 1 分 解得 2 2 4 2 a b 3分 故椭圆C的方程为 22 1 42 yx 4 分 2 由题意可设直线l的方程为 1122 1 ykxP x yQ xy 联立 22 1 42 1 yx ykx 整理得 22 2 230kxkx 5 分 所以 1212 22 23 22 k xxx x kk 6 分 则 1212 23 kx xxx 7 分 由题意不妨设 12 0 2 0 2 AA 则直线 1 AP的方程为 1 1 2 2 x xy y 直线 2 A Q的方程为 2 2 2 2 x xy y 8 分 联立 1 1 2 2 2 2 2 2 x xy y x xy y 整理得 2112 2 2 2 2 yx yyxy 9 分 所以 121212 3 462xxykx xxx 10 分 把 代入上式 得 121212121212 3 4626 62124xxykx xxxxxxxxx 11 分 当 21 3xx 时 可得4y 当 21 3xx 时 易求得 12 1 1 1 A PA P kx kk x 即 12 APA Q 不符合题意 综上 故点S恒在直线4y 上 12 分 20 本小题满分 12 分 随着小汽车的普及 驾驶证 已经成为现代人 必考 的证件之一 若某人报名参加了驾驶证考试 要 顺利地拿到驾驶证 他需要通过四个科目的考试 其中科目二为场地考试 在一次报名中 每个学员有 5 次参加科目二考试的机会 这 5 次考试机会中任何一次通过考试 就算顺利通过 即进入下一科目考试 若 5 次都没有通过 则需重新报名 其中前 2 次参加科目二考试免费 若前 2 次都没有通过 则以后每 次参加科目二考试都需交 200 元的补考费 某驾校对以往 2000 个学员第 1 次参加科目二考试的通过情况 进行了统计 得到下表 考试情况 男学员 女学员 第 1 次考科目二人数 1200 800 第 1 次通过科目二人数 960 600 第 1 次未通过科目二人数 240 200 若以上表得到的男 女学员第 1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男 女学员每次通过科目二考试 的概率 且每人每次是否通过科目二考试相互独立 现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试 在本次报名中 若这对夫妻参加科目二考试的原则为 通过科目二考试或者用完所有机会为止 1 求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率 2 若这对夫妻前 2 次参加科目二考试都没有通过 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补 考费用之和为 X 元 求 X 的分布列与数学期望 20 事件 i A表示男学员在第i次考科目二通过 事件 i B表示女学员在第i次考科目二通过 其中1 2 3 4 5i 1 事件M为这对夫妻考科目二考试都不需要交补考费 方法一 111121211212 P MP ABA A AA A BA A B B 2 分 111121211212 P ABP A A AP A A BP A A B B 3 分 4341314314139 54544554554410 4 分 方法二 1212 1 1 P MP A AP B B 2 分 111124159 11 5544251610 4 分 2 X 的可能取值为 400 600 800 1000 1200 5 分 33 433 400 545 P XP A B 6 分 334343 41314327 600 544554100 P XP A B BA A B 7 分 3434334343 141341111311 800 5544544554100 P XP A A B BA B BA A B 8 分 34343434 141111137 1000 55445544400 P XP A A B BA A B B 9 分 3434 11111 1200 5544400 P XP A A B B 10 分 则X的分布列为 X 400 600 800 1000 1200 P 3 5 27 100 11 100 7 400 1 400 故 3271171 40060080010001200510 5 5100100400400 EX 元 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 R x f xxa ea 1 讨论 f x的单调性 2 当2a 时 lnF xf xxx 记函数 yF x 在 1 1 4 上的最大值为m 证明 43m 21 解析 1 因为 x f xxa e 所以 1 x fxxae 1 分 当 1 xa 时 0fx 当 1 xa 时 0fx 3 分 故 f x的单调递减区间为 1 a 单调递增区间为 1 a 2 当2a 时 2 ln x F xxexx 则 11 1 1 1 xx F xxexe xx 5 分 当 1 1 4 x 时 10 x 令 1 x g xe x 则 2 1 0 x g xe x 所以 g x在 1 1 4 上单调递增 6 分 因为 1 2 1 20 1 10 2 gege 所以存在 0 1 1 2 x 使得 0 0g x 即 0 0 1 x e x 即 00 ln xx 7 分 故当 0 1 4 xx 时 0g x 此时 0F x 当 0 1 xx 时 0g x 此时 0F x 即 F x在 0 1 4 x 上单调递增 在 0 1 x上单调递减 8 分 即 0 max00000000 00 12 2 ln 2 12 x mF xF xxexxxxxx xx 9 分 令 21 12 1 2 G xx x x 则 2 22 22 1 20 x G x xx 10 分 所以 G x在 1 1 2 x 上单调递增 所以 1 4 1 3 2 G xGG xG 11 分 故43m 12 分 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所作的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分