第15章 量子物理基础(修改)5.0.ppt

科学家称在量子力学中找到 人死但未消失 证据 中新网11月15日电据外媒14日报道 大多数科学家都对 来世 这一说法嗤之以鼻 但是日前有一名科学家则声称 他在量子力学中找到了证实 人死但未消失 的证据 来自北卡罗来纳州一名大学教授兰萨 RobertLanza 表示 生物中心论的理论表明死亡只是由人类的意识所创造出的幻象 他说 我们认为生命只是碳元素以及其他混合分子的共同活动 生活一段时间后 又回归大地 他称 人类之所以会认同 死亡 这一概念 是因为生而被教育说 人终有一死 也就是说实际上是 人类只是知道肉体会失活 基于这个理论 宇宙和时间则都是人类思想的 简易工具 而一旦人类的心智建构出宇宙和时间 那么死亡以及不朽就存在于这个世界上 且并无空间和线性的边界 第15章量子物理基础 本章内容 15 1量子理论的诞生15 2光的波粒二象性15 3实物粒子的波粒二象性15 4不确定关系15 5波函数薛定谔方程15 6一维无限深势阱和势垒15 7氢原子的量子力学简介15 8多电子原子中的电子分布 基本要求 1 理解普朗克的量子假设 了解普朗克的黑体辐射公式 2 理解光电效应和康普顿效应的实验规律 以及爱因斯坦的光子理论和光电效应方程 3 了解德布罗意波假设及电子衍射实验 理解实物粒子的波粒二象性 4 理解描述物质波动性的物理量 波长 频率 和粒子性的物理量 动量 能量 之间的关系 5 了解不确定关系 了解波函数及其统计解释 6 了解薛定谔方程及其对一维势阱的应用 了解氢原子的薛定谔方程 能量量子化 角动量量子化和空间量子化 了解施忒恩 盖拉赫实验及微观粒子的自旋 到十九世纪末期 物理学各个分支的发展都已日臻完善 并不断取得新的成就 首先在牛顿力学基础上 哈密顿和拉格朗日等人建立起来的分析力学 几乎达到无懈可击的地步 特别是十九世纪中期 海王星的发现充分表明了牛顿力学是完美无缺的 其次 通过克劳修斯 玻尔兹曼和吉布斯等人的巨大努力 建立了体系完整而又严密的热力学和统计力学 并且应用越来越广泛 由安培 法拉第和麦克斯韦等人对电磁现象进行的深入而系统的研究 为电动力学奠定了坚实的基础 特别是由麦克斯韦的电磁场方程组预言了电磁波的存在 随即被赫兹的实验所证实 后来又把牛顿 惠更斯和菲涅耳所建立的光学也纳入了电动力学的范畴 更是一项辉煌的成就 因此当时许多著名的物理学家都认为物理学的基本规律都已被发现 今后的任务只是把物理学的基本规律应用到各种具体问题上 并用来说明各种新的实验事实而已 就连当时赫赫有名对物理学各方面都做出过重要贡献的权威人物开尔文勋爵在一篇于1900年发表的瞻望二十世纪物理学发展的文章中也说 在已经基本建成的科学大厦中 后辈物理学家只需要做一些零星的修补工作就行了 不过他还不愧为一名确有远见卓识的物理学家 因为他接着又指出 但是在物理晴朗天空的远处 还有两朵小小令人不安的乌云 即运用当时的物理学理论所无法正确解释的两个实验现象 其一是否定绝对时空观的迈克尔逊 莫雷实验 其二是热辐射现象中的紫外灾难 正是这两朵小小的乌云 冲破了经典物理学的束缚 打消了当时绝大多数物理学家的盲目乐观情绪 为后来建立近代物理学的理论基础作出了贡献 事实上还有第三朵小小的乌云 这就是放射性现象的发现 它有力地表明了原子不是构成物质的基本单元 原子也是可以分割的 所有这些实验结果都是经典物理学无法解释的 它们使经典物理处于十分困难的境地 为摆脱这种困境 有一些思想敏锐而又不受旧观念束缚的物理学家纷纷重新思考研究 在二十世纪初期 建立起了近代物理的两大支柱 量子论和相对论 并在这个基础上又建立起以研究原子的结构 性质及其运动规律为目的的原子物理学 后来又进一步发展 相继建立起原子核物理学和基本粒子物理学 这些内容统称为量子物理学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科 它主要研究原子 分子 凝聚态物质 以及原子核和基本粒子的结构 性质的基础理论 它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础 量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一 而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用 15 1量子理论的诞生 一切物质中的原子 分子因热激发而向外辐射电磁波的现象 实验证明不同温度下物体能发出不同的电磁波 这种能量按频率的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射 15 1 1黑体辐射 1 热辐射现象 物体以电磁波的形式向外发射能量 辐射 物体向外辐射的能量 辐射能 由物体的温度所决定的辐射 热辐射 说明 任何物体在任何温度下都要辐射电磁波 热辐射具有 温度特性 频率特性 辐射和吸收达到平衡时 物体的温度不再变化 此时物体的热辐射称为平衡热辐射 物体辐射电磁波的同时 也吸收电磁波 物体辐射本领越大 其吸收本领也越大 室温 高温 吸收 辐射 白底黑花瓷片 2 黑体辐射 绝对黑体 黑体 能够全部吸收各种波长的辐射且不反射和透射的物体 黑体辐射的特点 与同温度其它物体的热辐射相比 黑体热辐射本领最强 煤烟 约99 黑体模型 物体热辐射 黑体热辐射 温度 材料性质 实验表明辐射能力越强的物体 其吸收能力也越强 黑体能完全吸收照射到它上面的各种频率的电磁辐射的物体称为黑体 黑体是理想模型 15 1 2黑体辐射规律 1 辐射能 温度为T的物体 在单位时间内 从单位面积上所辐射出的 在波长 附近单位波长间隔内的能量 称为单色辐射出射度或单色辐出度 单位 单色功率面密度 T 温度为T的物体 在单位时间内 从单位面积上所辐射出的各种波长的电磁波的能量总和 称为辐射出射度或辐出度 单位 功率面密度 2 斯特藩 玻尔兹曼定律 该定律是斯特藩于1879年由实验发现的 1884年玻尔兹曼从经典热力学理论出发也导出同样的结论 该定律仅适用于黑体 称为斯特藩 玻尔兹曼恒量 黑体的辐出度与其绝对温度的四次方成正比 即 3 维恩位移定律 说明 该定律是从经典热力学得到的 上式在短波部分与实验曲线符合比较好 由此1911年获诺贝尔物理学奖 黑体温度升高时 曲线的峰值所对应的波长 m向短波方向移动 由维恩位移定律 太阳可近似看成一黑体 实验测得太阳单色辐出度的峰值波长为465nm 计算太阳的表面温度和单位面积上发射的功率 解 由斯特藩 玻尔兹曼定律 对宇宙中其他发光星体的表面温度也可用这种方法进行测定 例1 15 1 3能量子假设 问题的提出 19世纪末 许多物理学家企图用经典理论建立黑体辐射的单色辐出度随波长的变化规律 并对黑体辐射的实验曲线作出解释 但是都未能成功 其中较有影响的有两个 一个是1893年维恩用热力学理论给出的维恩曲线 维恩曲线在短波部分与实验曲线符合比较好 但长波部分有偏离 另一个是1900年由瑞利和金斯两人按照经典电磁理论和统计理论得出的瑞利 金斯曲线 该曲线在长波部分与实验曲线符合的很好 但在短波部分出现错误 这一错误被称为 紫外灾难 维恩曲线 瑞利 金斯曲线 1900年德国物理学家普朗克为了得到与实验曲线相一致的公式 在维恩公式和瑞利 金斯公式之间用内插法建立一个普遍公式 提出了一个与经典物理学概念截然不同的 能量子 假设 能量是分立的 不是连续的 普朗克 德 1858 1947 量子论的奠基人 1900年12月14日他在德国物理学会上 宣读了以 关于正常光谱中能量分布定律的理论 为题的论文 提出了能量的量子化假设 并导出黑体辐射的能量的分布公式 劳厄称这一天是 量子论的诞生日 1 普朗克量子假设 其中h为普朗克常数 构成黑体的分子 原子可看成是谐振子 谐振子可发射 吸收电磁波能量 谐振子的最小能量单元称为能量子 能量子的能量与振子的频率成正比 即 谐振子和周围电磁场交换能量时 辐射或吸收的能量也是量子化的 此时可认为谐振子是在上述能级之间跃迁 谐振子可能具有的能量是不连续的 只能取一些分立值 其量值是能量子的整数倍 即 其中n称为量子数 相应的能量称为谐振子的能级 谐振子的能量 谐振子和外界交换能量 根据经典统计理论和上述能量子假设 普朗克导出了温度为T的黑体的辐射公式 普朗克公式的理论曲线 实验值 普朗克在1900年10月19日的德国物理学会上说 即使这个辐射公式能证明是绝对精确的 但是如果仅仅是一个侥幸猜测出来的内插公式 那么它的价值也是有限的 普朗克由于提出了能量子假设和黑体辐射公式 为此获1918年诺贝尔物理学奖 普朗克量子假设不仅圆满地解释了黑体的辐射规律 也解决了在经典热力学中固体比热与实验不符的问题 普朗克提出的全新概念 能量量子化 已成为现代物理理论的重要概念 2 普朗克理论与经典理论不同 经典理论的基本观点 普朗克能量子假设 1 电磁波辐射来源于带电粒子的振动 电磁波频率与带电粒子振动频率相同 2 振子辐射电磁波含各种波长 是连续的 辐射能量也是连续的 3 温度升高 振子振动加强 辐射能量加大 对于频率为的振子 振子辐射的能量不是连续的 而是分立的 它的取值是某一最小能量的整数倍 设音叉尖端的质量为0 05kg 将其频率调到 480Hz 振幅A 1 0mm 求 1 尖端振动的量子数 2 当量子数由n增加到n 1时 振幅的变化是多少 解 由 2 由第一式 有 可见 在宏观领域量子化效应完全可忽略 即宏观物体的能量完全可认为是连续的 1 振动能量为 例2 将一块锌板和验电器相连 并用紫外光照射锌板 发现验电器的指针张开了一个角度 表明锌板带了电 经检验锌板带正电 说明锌板在紫外光的照射下释放出了电子 这种现象称为光电效应 15 2 1光电效应 1 现象 光电子 从金属中逸出的电子 外光电效应 金属表面的电子吸收光的能量 克服金属的束缚而逸出金属表面的现象 内光电效应 半导体内的电子吸收光的能量 使其导电性能增强的现象 15 2光的波粒二象性 真空容器装有阴极K和阳极A 单色光照射阴极K 其释放出的光电子在加速电场作用下飞向阳极 在回路中形成了电流 称为光电流 电路中的电压表与电流表可测量加速电压与光电流的大小 从而得到光电效应的伏安曲线 2 实验装置 实验一 入射光的强度和频率不变 增加电压U 光电流随之增加 直至饱和 称为饱和光电流IH 电压U Ua时 光电流I 0 电压U 0时 光电流I 0 改变入射光的强度和频率 入射光频率不变 增加光强 饱和光电流IH随之增加 有 入射光强度不变 增大频率 遏止电压Ua增大 或 光强越大 光电子数越多 即 遏止电压 光电子的最大初动能 与入射光的频率有关 饱和光电流与入射光频率无关 Ua和EKm与入射光的强度无关 实验二 遏止频率 红限 实验指出 遏止电压与入射光的频率满足线性关系 式中 均为正数 为普适恒量 与金属的性质有关 称为光电效应的遏止频率 红限 3 实验结论 饱和光电流IH与入射光的强度成正比 或单位时间内被击出的光电子数n与入射光的强度成正比 入射光有一个极限频率 0 遏止频率 红限 当入射光频率 0时 才能产生光电效应 当 0 不论光的强度如何 照射时间多长 都无光电效应发生 当 0时 遏止电压 光电子的最大初动能 与入射光的频率成线性关系 而与光的强度无关 当 0时 即使光的强度很弱 光电效应是瞬时发生的 延迟时间小于10 9s 按照光的波动学说 当光波照射到金属表面后 金属中的自由电子在光矢量的作用下作受迫振动 根据受迫振动理论 光电子的最大速度 4 经典理论解释光电效应遇到的困难 按上述理论 无论何种频率的入射光 只要其强度足够大 就能使电子具有足够的能量逸出金属 不存在红限问题 与实验结果不符 按上述理论 如果入射光强很弱 则电子逸出金属所需的能量 需要有一定的时间来积累 与实验结果不符 即 光电子的最大初动能与入射光的强度成正比关系 而与光的频率无关 与实验结果不符 红限问题 驰豫时间 5 爱因斯坦的光子假说和光电效应方程 普朗克的能量子假说当时并未引起人们的广泛重视 人们把他的黑体辐射公式只看成一个与实验符合最好的经验或半经验公式 但是爱因斯坦却看到了能量子假说的重要性 光电效应用经典的光的波动理论是没办法解释的 只有用量子论才能解释 具有洞察力的爱因斯坦 为了解释光电效应 在普朗克能量子假说基础上提出了光量子假说 1905年爱因斯坦连续发表了三篇震憾世界的论文 其中 关于光的发生和转变的一个新观点 提出了光量子假设 成功地解释了光电效应 由此获得1921年诺贝尔物理学奖 光是一束以光速c运动的粒子流 这些粒子称为光子 1 爱因斯坦光子假设 光子的能量 光的强度 N为单位时间通过垂直光的传播方向单位面积的光子数 2 爱因斯坦光电效应方程 爱因斯坦认为 在光电效应中 金属中的电子吸收一个光子的能量h 一部分消耗在使金属中电子挣脱原子的束缚成为光电子所需作的功A 逸出功 另一部分变为光电子的初动能EKm 由能量守恒 爱因斯坦光电效应方程 饱和光电流IH与入射光的强度成正比 或单位时间内被击出的光电子数n与入射光的强度成正比 3 爱因斯坦对光电效应的解释 N为单位时间通过垂直光的传播方向单位面积的光子数 光强正比于单位时间通过单位面积的光子数N 光强越大 光子数越多 在发生光电效应的情况下 金属内电子吸收一个光子就释放一个光电子 光强越大 光电子越多 饱和光电流就越大 入射光有一个极限频率 0 截止频率 红限 当入射光频率 0时 才能产生光电效应 当 0 不论光的强度如何 照射时间多长 都无光电效应发生 截止频率 红限 当 0时 遏止电压 光电子的最大初动能 与入射光的频率成线性关系 而与光的强度无关 当 0时 即使光的强度很弱 光电效应是瞬时发生的 延迟时间小于10 9s 电子吸收光子的时间很短 几乎是瞬时的 自由电子与光子相遇 立刻会吸收光子的能量 只要光子频率大于截止频率 电子就能立即逸出金属表面 几乎无需积累能量的时间 所以光的照射和光电子的产生几乎是同时的 6 光的波粒二象性 1 光子的能量 2 光子的动量 上两式左边的能量和动量说明光具有粒子性 右边的波长和频率说明光具有波动性 光的这种双重性质称为光的波粒二象性 普朗克常数h将光的粒子性与波动性联系了起来 光在传播过程中主要表现出波动性 如干涉 衍射 偏振现象 光在与物质发生作用时主要表现出粒子性 如光电效应 康普顿效应 7 光电效应的应用 1 光控继电器 可用于自动控制 自动计数 自动报警 自动跟踪等 2 光电倍增管 可对微弱光信号进行放大 可使光电流放大105 108倍 灵敏度高 用在工程 天文 科研 军事等方面 光电倍增管 波长为400nm的光照在金属铯上 问光电子的最大初速度为多少 铯的红限为4 8 1014Hz 解 由光电效应方程 例1 解 波长为的光照在某一光电管上 为阻止光电子到达阳极 需要的遏止电压为 如果用波长的光照射 需要的遏止电压为多少 由光电效应方程 例2 15 2 2康普顿效应 实验装置 x射线源发出单一波长的x光 通过光阑形成一束细光束 投射到石墨上发生散射 在散射的x射线中 不但存在与入射光波长相同的x射线 同时还存在波长大于入射光波长的x射线 这一现象称为康普顿效应 1 康普顿效应的实验现象 康普顿散射光波长中不仅有原入射 0波长 还有大于 0的射线 在散射光中 x光波长的改变量与散射角有关 随着散射角的增大 变大 同时原波长的谱线强度减小 新波长的谱线强度增大 在原子量小的散射物质中 康普顿散射强度较强 原子量较大的物质中 康普顿散射较弱 在同一散射角下 对于所有散射物质 波长的改变量都相同 2 康普顿效应的理论解释 根据经典电磁理论 当波长为 0的x光通过物质时 物质中带电粒子将作受迫振动 其振动频率等于入射光频率 则带电粒子向各个方向发射的散射光波长等于入射光波长 光的波动理论无法解释康普顿效应 光子理论认为康普顿效应是光子和自由电子作弹性碰撞的结果 具体解释如下 若光子和外层电子相碰撞 光子有一部分能量传给电子 散射光子的能量减少 于是散射光的波长大于入射光的波长 若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞 则相当于和整个原子碰撞 由于光子质量远小于原子质量 根据碰撞理论 碰撞前后光子能量几乎不变 波长不变 因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关 所以波长的改变量和散射角有关 对于轻原子 其中电子束缚较弱 则外层自由电子较多 x光多与此类电子碰撞 则产生较多新波长 对于重原子 外层自由电子较少 则新波长强度较小 3 康普顿效应的定量分析 1 物理模型 电子反冲速度很大 需要考虑相对论效应 入射光子 x射线 能量大 约为104 105eV 原子核对电子束缚较弱 几个eV 可视为自由电子 电子热运动的能量约为10 2eV 可近似为静止电子 碰撞过程遵守能量守恒定律和动量守恒定律 2 定量计算 由能量守恒 由动量守恒 康普顿公式 康普顿波长 波长改变量与散射物质无关 仅决定于散射角 波长改变量随散射角增大而增加 理论值与实验值符合得很好 说明 与散射物质无关 说明光子是和自由电子相互作用 若则 观察不到康普顿效应 只有当入射波长 0与 c可比拟时 康普顿效应才显著 因此要用x射线才能观察到 当 4 康普顿散射实验的意义 5 康普顿效应与光电效应的异同 都涉及光子与电子相互作用 光电效应中 入射光为可见光或紫外光 其光子能量为eV数量级 与原子中电子的束缚能相差不远 光子能量全部交给电子使之逸出 康普顿散射中 入射光为X射线或 射线 光子能量为eV量级 甚至更高 远大于原子中电子的束缚能 原子中的电子可视为自由电子 光子能量只被电子吸收一部分并发生散射 不同 相同 15 3实物粒子的波粒二象性 15 3 1德布罗意波 德布罗意 LouisVictordeBroglie1892 1987 法国物理学家 1913年大学毕业后到军队工作了六年 从事历史学的研究 后受其兄的影响改行研究物理 1924年在向巴黎大学提交的一篇博士论文中提出物质波学说 德布罗意波 时年30岁左右 1927年 戴维孙和革末用实验证实了电子具有波动性 此后 人们相继证实了原子 分子 中子等都具有波动性 德布罗意于1929年获得诺贝尔物理学奖 德布罗意认为 自然界在许多方面是对称的 一切实物粒子和光子一样 也具有波粒二象性 如同光子与电磁波联系一样 一切实物粒子 m0 0 也联系着一种波 德布罗意波或物质波 如同光子一样 物质波的波长 频率与物质粒子的能量 动量满足下列关系 15 3 2实验验证 1927年美国物理学家戴维孙和革末用电子衍射实验证实了电子具有波动性 获得1937年的诺贝尔物理学奖 如图所示 灯丝K发出的电子束通过狭缝后 垂直投射到镍单晶体上 在散射角不变时 测量在不同加速电压下晶体散射的电子束 电流 的强度 实验发现 当加速电压U 54V时 沿 50 的散射方向探测到电子束的强度出现一个明显的极大 1927年英国物理学家汤姆生也独立地完成了电子多晶体衍射实验 由此与戴维孙共获1937年的Nobel物理学奖 如图所示 灯丝K发出的电子束经加速后通过狭缝 垂直投射到多晶薄片上 穿过薄片后在底片上形成衍射图样 15 3 3电子显微镜 显微镜的分辨率与波长成反比 由于电子的德布罗意波长比可见光小得多 因此电子显微镜的分辨率比光学显微镜高得多 电子显微镜按结构和用途可分为透射式电子显微镜 扫描式电子显微镜 反射式电子显微镜和发射式电子显微镜等 透射式电子显微镜常用于观察那些用普通显微镜所不能分辨的细微物质结构 扫描式电子显微镜主要用于观察固体表面的形貌 物质成分分析 发射式电子显微镜用于自发射电子表面的研究 用电子显微镜观察一种小蜘蛛的头部 红细胞 植物花粉 15 3 4德布罗意波的统计解释 按经典理论 波的强度正比于波振幅的平方 按量子理论 电磁波的强度正比于光子数 电子衍射图样的形成是由于电子在各处出现的几率不同 德布罗意波的统计意义 某处物质波振幅的平方 物质波的强度 与粒子在该处附近出现的几率成正比 德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述 是一种几率波 电子通过加速电场而获得一定速度 试计算电子的德布罗意波长与加速电压的关系 解 当时 波长较小 原因 速度太大了 例1 15 4不确定关系 在经典力学中 对宏观物体的运动我们可以同时用确定的坐标和确定的动量来描述 1 问题的提出 那么 对具有波粒二象性的微观粒子 是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢 量子力学可严格证明 微观粒子坐标和动量的不确定度之积为 即 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述 这就是海森伯不确定度关系 测不准关系 海森伯简介 海森伯 W K Heisenberg 1901 1976 德国理论物理学家 他在1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献 于26岁时提出的不确定关系和物质波的几率解释 奠定了量子力学的基础 为此 他于1932年获诺贝尔物理学奖 2 电子的单缝衍射 设一电子束垂直入射缝宽为a的单缝 电子的动量为 考虑单缝衍射的中央零级条纹 有 如果仍用坐标和动量描述电子的运动 那么电子通过狭缝时 是从缝上的哪一点通过的呢 即电子通过狭缝的坐标x为多少 对此我们无法准确知道 但其位置的不确定量为 通过狭缝后 电子动量的大小不变 但由于衍射效应 电子动量的方向发生了变化 其改变量为 3 动量 坐标不确定关系 量子力学可严格证明 微观粒子坐标和动量的不确定度之积为 即 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述 这就是海森伯不确定度关系 测不准关系 坐标和动量不能同时具有确定的数值 坐标或动量越准确 则与之对应的量就越不确定 不确定度关系是由于微观粒子的本质特性 波粒二象性决定的 并非由于实验仪器 实验技术和方法的不精确所致 即使是无误差的理想实验 也不能排除量子体系这一固有的特性 由单缝衍射理论可知 当缝宽缩小时 电子位置坐标的确定度提高 但通过狭缝后的电子动量的不确定度变大 与之联系的是单缝衍射效应明显 对宏观粒子 因h很小 所以 可视为位置和动量能同时准确测量 4 能量 时间不确定关系 反映了原子能级宽度 E和原子在该能级的平均寿命 t之间的关系 基态 辐射光谱线固有宽度 激发态 E 基态 寿命 t 光辐射 能级宽度 平均寿命 t 10 8s 平均寿命 t 能级宽度 E 0 例2 试根据海森伯不确定度关系推导能量与时间之间的不确定度关系 位置与波长之间的不确定度关系 解 由粒子的动能 由不确定度关系 由粒子的动量 科学家首次拍摄到电子运动系列照片 15 5波函数薛定谔方程 德布罗意公式指出了实物粒子与波的联系 但没有给出描述德布罗意波的函数及其意义 不了解波函数本身及其变化规律 就不能预言粒子 波 的运动情况 问题的提出 薛定谔方程 薛定谔解决了这一问题 其给出的薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态的基本定律 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用 薛定谔方程在量子力学中的地位 相当于牛顿运动方程在经典力学中的地位 波函数是描述微观粒子运动状态的量 15 5 1实物粒子波函数 1 波函数的定义 机械波 由欧拉公式可将上两式写成复数形式 2 经典力学中平面波的波函数 电磁波 取其实部就是经典力学中的波函数 3 量子力学中平面波的波函数 一个能量为E 动量为p的自由粒子 由德布罗意假设 其物质波的波长和频率为 若粒子的能量E 动量p为定值 则物质波的波长和频率也为定值 从波动的观点来看 这表示一列单色平面波 其波动方程为 一般地 15 5 2薛定谔方程 1 薛定谔简介 薛定谔 ErwinSchrodinger 1887 1961 奥地利著名的理论物理学家 量子力学的重要奠基人之一 同时在固体的比热 统计热力学 原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就 薛定谔的波动力学 是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的 他把物质波表示成数学形式 1926年建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著 因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖 已知能量为E 动量为p的自由粒子的波函数为 如果粒子的速度远小于光速 则不必考虑相对论效应 粒子的动能可用下式表示 2 薛定谔方程 对波函数求x的二阶导数 对波函数求t的一阶导数 由于粒子是自由的 则有 讨论 这就是一维自由粒子的薛定谔方程 如果是三维情况 则上式推广为 这就是一般的薛定谔方程 哈密顿算符 如果势能函数与时间无关 这样的问题称为定态问题 薛定谔方程的意义在于 要想知道微观粒子的运动状态 即它的波函数 只要告诉粒子的质量及其在势场中的势能函数即可 剩下的就是根据初始和边界条件求解方程 令 上式左边是空间坐标的函数 右边只是时间的函数 要使等式成立 只有两边都等于一个常数 上式称为定态薛定谔方程 如果方程可解 则波函数可知 则粒子在空间分布的几率密度为 可见几率密度与时间无关 由于这个性质 将此类问题称为定态问题 处理定态问题的关键和核心是求解定态薛定谔方程 15 5 3波函数的物理意义 几率密度 对于机械波 表示物体的位移 对于电磁波 表示电场强度矢量 对于物质波 无直接的物理意义 有意义的是 振幅的平方 能流密度 德布罗意波的统计意义 某处物质波振幅的平方 物质波的强度 与粒子在该处附近出现的几率成正比 几率密度 由于在整个空间 粒子出现的几率为1 则有 称为波函数的归一化条件 由于在一定时刻 粒子在空间某点出现的几率是惟一的 有限的 并且随着位置的变化 几率的变化应当连续 所以波函数必须是空间的单值 有限 连续的函数 这一条件称为波函数的标准化条件 波函数描述的即不是机械波 也不是电磁波 而是几率波 虽无实际意义 但其模方具有几率密度的意义 中国科大 学术猫 走红听量子大腕潘建伟作报告 薛定谔的猫 是量子理论著名的理想实验 潘建伟院士是中科大研究量子的 大腕 11月12日上午 中科大一个会场上 一只牛气冲天的 学术猫 跟潘建伟抢镜 难道打算谈谈它对量子理论的高见 薛定谔就在1935年编出了这个佯谬 以引起注意 薛定谔想要借此阐述的物理问题是 宏观世界是否也遵从适用于微观尺度的量子叠加原理 薛定谔的猫 佯谬巧妙地把微观放射源和宏观的猫联系起来 旨在否定宏观世界存在量子叠加态 是薛定谔试图证明量子力学在宏观条件下的不完备性而提出的一个思想实验 哥本哈根学派说 没有测量之前 一个粒子的状态模糊不清 处于各种可能性的混合叠加 比如一个放射性原子 它何时衰变是完全概率性的 只要没有观察 它便处于衰变 不衰变的叠加状态中 只有确实地测量了 它才会随机地选择一种状态而出现 那么让我们把这个原子放在一个不透明的箱子中让它保持这种叠加状态 薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置 每当原子衰变而放出一个中子 它就激发一连串连锁反应 最终结果是打破箱子里的一个毒气瓶 而同时在箱子里的还有一只可怜的猫 事情很明显 如果原子衰变了 那么毒气瓶就被打破 猫就被毒死 要是原子没有衰变 那么猫就好好地活着 薛定谔挖苦说 按照量子力学的解释 箱中之猫处于 死 活叠加态 既死了又活着 要等到打开箱子看猫一眼才决定其生死 请注意 不是发现而是决定 仅仅看一眼就足以致命 15 6一维无限深势阱和势垒 15 6 1一维无限深势阱1 模型 一维无限深势阱是实际情况的一种抽象 是一种理想化的模型 如电子在原子中运动时 其势能曲线的形状就像陷阱一样 故称为势阱 设质量为m的粒子只能在0 x a的势阱中运动 其势能函数为 2 一维无限深势阱中粒子的波函数 由于势能U x 与时间无关 则此问题属于定态问题 且属于一维情况 则由定态薛定谔方程 表明粒子不可能在势阱外出现 令 则方程的解为 由于波函数必须满足单值 连续的条件 则有 又因为波函数需满足归一化条件 有 则一维无限深势阱中粒子的波函数为 上式给出了粒子在势阱中的运动状态 则定态薛定谔方程的解为 3 粒子在势阱中的波函数曲线和几率密度分布曲线 取波函数的实部 有 这是一驻波方程 取波函数的模方 得粒子的几率密度分布 驻波方程 几率密度 4 粒子能量的量子化 由 可见 粒子在势阱中的能量是量子化的 n称为能量量子数 En称为此问题中能量E的本征值 相应的波函数称为本征解或本征函数 能量的量子化在量子力学中是自然的结果 并不需要人为的假设 称为粒子的基态能 零点能 经典理论中 处于无限深势阱中的粒子能量为连续值 粒子在阱内运动不受限制 在各处出现的几率相等 而在量子力学中 粒子的能量是量子化的 粒子在阱内各处出现的几率不等 当n很大时 相邻波腹靠得很近 接近于经典力学的粒子在各处几率相同 例 作一维运动的粒子被束缚在0 x a的范围内 已知其波函数为 求 1 常数A 2 粒子在0到a 2区域内出现的概率 3 粒子在何处出现的概率最大 解 1 由归一化条件 解得 2 粒子的概率密度为 粒子在0到a 2区域内出现的概率 3 概率最大的位置应该满足 即当 时 粒子出现的概率最大 因为0 x a 故得x a 2 此处粒子出现的概率最大 15 6 2一维方势垒 隧道效应 1 一维方势垒 设质量为m的粒子在如图所示的势场中沿x方向运动 其势能函数分布为 2 隧道效应 设粒子在xa的区域 但在量子力学中 粒子在势垒内和势垒右侧区域的波函数都不为0 粒子的能量虽不足以超越势垒 但在势垒中似乎有一个隧道 能使少量粒子穿过势垒而进入势垒右侧的区域 所以人们形象地称之为隧道效应 3 隧道效应本质及应用 隧道效应的本质 来源于微观粒子的波粒二象性 扫描隧道显微镜亦称是一种利用量子理论中的隧道效应探测物质表面结构的仪器 它于1981年由格尔德 宾宁及海因里希 罗雷尔在IBM位于瑞士苏黎世的苏黎世实验室发明 两位发明者因此与恩斯特 鲁斯卡分享了1986年诺贝尔物理学奖 STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质 在表面科学 材料科学 生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景 被国际科学界公认为20世纪80年代世界十大科技成就之一 扫描隧道显微镜 下拍摄的 血细胞 扫描出的纳米级图像 量子围栏 1 氢原子的量子力学简介 19世纪末期以前 人们一直认为原子是组成物质的 不可分割的最小单元 但是19世纪末的一些重大发现 如电子 x射线和放射性元素的发现等 打破了这样的认识 使人们逐渐认识到原子也是可分的 1897年 汤姆生发现电子以后 人们就断定原子中除有电子以外 一定还存在着带正电的部分 而且原子内正 负电荷相等 电子和正电荷是如何分布的呢 原子是怎样组成的 原子的运动规律如何 对这些问题的研究形成了原子的量子理论 粒子散射实验肯定了原子的核式结构模型 但它对核外电子的分布并没有提供什么信息 原子的发光光谱则提供了这方面的信息 每种原子的发光光谱有其固定分布 可根据光谱分析物质元素的组成 氢原子作为最简单的原子理所当然成为人们研究的对象 15 7 1氢原子的光谱 1885年 瑞士物理学家巴耳末首先发现氢原子的可见光部分的谱线 巴耳末公式 称为里德伯常量 则巴耳末公式写成 令 称为波数 通过实验又进一步发现氢光谱的其他谱线系 可用推广的巴耳末公式来表示 称为广义巴耳末公式 或里德伯方程 当时 相应的谱线系称为 赖曼系 紫外区 巴耳末系 可见光 帕邢系 红外区 布拉开系 红外区 普丰德系 红外区 哈弗莱系 红外区 赖曼系 巴耳末系 帕邢系 由里德伯方程可得 令 称为光谱项 称为里兹并合原理 即谱线的波数可以表示为两光谱项之差 这一原理对碱金属原子的发光也是适用的 氢原子光谱的规律 氢原子光谱是分立的线状光谱 各条谱线具有明确的波长 每一谱线的波数都可表示为两个光谱项之差 k变化形成不同的谱线系 n变化形成不同的谱线 原子结构的两种模型 1 汤姆生的枣糕模型 1903年 汤姆生提出 原子中的正电荷和原子质量均匀地分布在半径为10 10m的球体内 而电子则一粒粒地分布在原子内不同位置 称为 枣糕模型 卢瑟福是汤姆生的学生 为了验证老师的模型而提出原子的核式结构模型 原子中心有一个原子核 它集中了原子的全部正电荷和几乎所有的质量 而且核的体积 10 14 10 15m 与原子 10 10m 相比很小 原子中的电子则围绕原子核旋转 2 卢瑟福的核式结构模型 1911 经典核模型的困难 根据经典电磁理论 电子绕核作匀速圆周运动 作加速运动的电子将不断向外辐射电磁波 由于原子核的质量比电子大得多 可以认为原子核不动 电子绕核运动 电子的电势能为 15 7 2氢原子的薛定谔方程 1 氢原子模型 2 氢原子的定态薛定谔方程 由于电子的电势能与时间无关 则氢原子问题属于定态问题 相应的定态薛定谔方程为 考虑到氢原子系统具有球对称性 所以采用球坐标比较简单 其中 代入上边的定态薛定谔方程 有 采用分离变量法 设 其中 ml和 l l 1 是引入的常数 ml称为磁量子数 l称为角量子数 求解上述三个方程 并考虑到波函数应满足的标准化条件 即可得到波函数 代入整理可得三个独立的方程 求解方程 1 时 为了使R r 满足标准化条件 氢原子的能量必须满足量子化条件 氢原子的基态能量 称为主量子数 上述结果和玻尔理论一致 但在这里是自然而然的 不需人为的假设 求解方程 2 和 3 时 要使方程有确定解 电子的角动量必须满足量子化条件 称为角量子数或副量子数 求解方程 3 时 还要求电子角动量的空间取向必须是量子化的 则其在z轴的投影也是量子化的 由计算可知 m称为磁量子数 对于给定的角量子数l ml可取 2l 1 个值 这表明角动量在空间的取向有 2l 1 种可能 这种现象