微分中值定理的推广及应用论文精选 (滇池学院贡献).docx

微分中值定理的推广及应用摘 要 本文讲述了微分中值定理的定义及其证明方法,讨论了四大微分中值定理之间的关系,并对中值定理进行了适当的推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用. 关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理；考研；The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationAbstract This paper describes the definition of differential mean value theorem and its proof method, discusses the relationship between the three differential mean value theorem, and the mean value theorem in the proper promotion, at the same time, the specific analysis of the differential mean value theorem in proving the equality, inequality and discuss the root of equation in some aspects. Key words: Differential mean value theorem; new method; generalized Fermats theorem; examination;目 录1 引言2 微分中值定理的定义3 微分中值定理及其证明方法3.1费马引理3.2 罗尔中值定理3.3 拉格朗日中值定理3.4 柯西中值定理3.5 泰勒中值定理4 微分中值定理的推广4.1 罗尔中值定理的推广4.2 拉格朗日中值定理的推广4.3 柯西中值定理的推广4.4 泰勒中值定理的推广5 微分中值定理的应用5.1 利用微分中值定理证明等式5.2 利用微分中值定理证明不等式5.3 讨论方程根的存在性 5.4. 考研微分中值定理的运用 结束语参考文献致谢1引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.2 微分中值定理的定义 微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (函数单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增(严格单调递增).当时,有定义2 (极限的局部保号性) 若,则存在任意使得.,则称单调递减(严格单调递减). 定义3 (最小值或最大值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点). 定义4 (极小值或极大值) 设在任意上有定义,若存在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点).定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义6(凹性) 若的一阶导数在上单调递增(或递减),则称在是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).3 微分中值定理证明方法3.1 费马引理定理内容：设函数在点x0 的某邻域Ux0内有定义，并且在x0处可导，如果对于任意的Ux0， 都有 (或),那 费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明 为的极值点.设为极小值点,则存在任意,有,若,则 ;若,则 ;取极限与分别为、,由于在处可导,则=由极限的局部保号性有, .故 =.所以有 , 即.3.2 罗尔中值定理 定理内容：如果函数满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即，那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得 ()=0.罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图), 其中,.证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕.3.3 拉格朗日中值定理 定理3 如果函数满足(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使等式.证法 利用罗尔中值定理.证明（方法一） 引进辅助函数,显然,在上连续, 在内可导,且,由罗尔定理可知,存在一点 使得 即.证明（方法二）（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得 成立，即证,存在使得 (1) 成立.亦即 (2)记,则由满足罗尔定理的条件知,存在使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.4 柯西中值定理 定理4 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一点使得.证明（方法一） 由定理条件可知,则任意都有,因此,只需证 ,为此,构造函数,显然,在上连续,在内可导,且,根据罗尔定理,存在,使得,即, 所以.2.1 泰勒中值定理定理5 若函数在内存在阶导数，函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且，则与之间至少存在一点，使 其中.证明 的泰勒多项式.我们记,则 .可以看出函数与在闭区间连续，在其开区间可导，且可以看出.应用柯西中值定理有：与之间至少存在一点，使 ,其中.4微分中值定理的推广 微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.4.1 罗尔定理中值的推广 定理5 设在内可导,且,其中,则存在使得.证明 由于在内可导,则必有在上连续,又有. (1)当时,对在两点进行连续延拓,使得,则有在上连续,在内可导且有,所以,满足罗尔定理的条件,存在使得.(2)当时,由于,故存在,使得,所以在上连续,在内可导,满足罗尔定理,即存在使得.综上所述,存在使得.3.2.2拉格朗日中值定理的推广 定理6(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得.证明 作辅助函数,很明显在连续,在内可导,且,则根据罗尔定理有,存在使得,命题得证.定理7(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得.证明 （1）当时,由定理5可知,结论成立.（2）当时,作辅助函数,由在内可导知,在内也可导,又因为;,根据定理5可知,至少存在一点使得.进而有,即.综上所述,存在一点使得.4.2.3柯西定理的推广 (洛必达法则一) 若函数f(x)与满足下列条件：1) 在a的某去心领域可导，且；2) 与；3) .则. 证法 证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与在a满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数在a的极限与函数f(x)与在a的函数值无关.证明 将函数f(x)与在a作连续延拓，即设 .在以x与a为端点的区间上函数与满足满足柯西中值定理的条件，则在x与a之间至少存在一点c，使.已知=0，有与，.从而，=.因为c在x与a之间，所以当时，有，有条件3），有=.5 微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.5.1 利用微分中值定理证明等式例1 设函数在上连续,在内可导.证明存在使得,.证明 利用柯西中值定理 令,显然,在上连续,在内可导,且,所以,存在使得 ,所以.证毕.例2 设函数在上连续,在内可导,且.证明对任意常数,存在,有.证明 利用罗尔定理,构造函数,由于在上连续, 在内可导,且，所以,且在上连续,在内可导，所以,存在使得,即.例3 设满足:(1) 在上连续;(2) 在内可导,证明存在,使得.证明 证法同例2,令即可证得.小结 如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例4 设,在上连续,在内可导, .则有使得.证明 由于,且在上连续在内可导，所以,必存在使得,根据罗尔定理,存在使得 .例5 证明恒等式:. 证明 令,则,所以,在为常函数.又有，所以,即成立.例6 设且在上连续,在内可导.则存在使得.证明 变换待证等式为 其中,显然,利用罗尔定理即可得.例7 设,在内可导,则存在,使得.证明 变换待证等式为,其中.由于,所以,其中,于是,在上满足罗尔定理,从而有结论.若待证等式明显可表示为的形式,则很可能就是,因而,可以利用柯西定理证明.例8 设,在连续可导,则存在使得.证明 令则,且,在上连续在内可导,根据柯西定理,存在使得,即.5.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为 的形式,且满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的有,最后利用中值定理证明.例9 证明对任何正数、有 .证明 令,.则在上连续,在内可导,根据拉格朗日中值定理,存在使得 ,由于,所以,即有 .例10 设为非线性函数,且在上连续,在内可导,则存在使得 .证明 变换待证不等式为 ,其中,若结论不成立,则,因而单调递减.但是,故,必有,从而与已知矛盾,所以结论成立.即成立.例11 设函数在上连续,在内可导,则存在,使得 .证明 若不存在,则,从而单调递增，又由于满足罗尔定理,则存在使得,又有,所以,非单调递增.上下矛盾.因而,存在使得 .例12 设,对任意.证明.证明 当时,结论显然成立.当时,取或,在该区间上,设,根据柯西定理,有,或,即;当时,，即;又有,所以.当时, ,所以,.由此,不等式得证.5.3 讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,这样就可以利用中值定理讨论方程的根的存在性.例13 设为任意个实数,证明函数在必有零点.证明 作辅助函数,则,容易验证在上连续,在可导,且 ,所以存在使得,即.所以,在必存在零点. 例14 设函数在区间上可导,则的两个零点间一定存在的零点. 证明 (采用罗尔定理)任取的两个零点.不妨设.作辅助函数,则在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的两个零点间一定存在的零点.例15 证明:若,则多项式在内至少有一个实根.证明 令则,又有在连续可导,且,满足罗尔定理的条件,故存在使得即,结论得证.例16 若函数在上非负,且三阶可导,方程在内有两个不同的实根.证明存在使得.证明 因为方程在内有两个不同的实根,设其分别为所以,又由于非负，根据极值定义可以知道为的两个极值点,所以有又因为满足罗尔定理，所以存在使得 ,又三阶可导，所以满足罗尔定理,即存在,使得 ,同样满足罗尔定理,则存在使得.证毕.例17 设,则方程在内有解.证明 将待证问题转化为中值问题:存在使得,即,根据柯西中值定理直接得证,即方程在内有解.例18 若函数在可导,对与之间的任意数,则在内至少存在一点,使得.证明 不妨设.则.作辅助函数 ,有.显然, 与,即与 .由极限保号性,存在,使得,从而,.存在,使得 ,从而, .于是,在内至少存在一个极小值点.根据费马定理,有,即.结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论. 深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.参考文献1 同济大学数学系编.高等数学第六版 高等教育出版社 20072 华东师范大学数学系编.数学分析 北京：高等教育出版社,20013 童蓓蕾;胡燕. 微分中值定理证法的改进. 科技创新导报.20114 张勇.微分中值定理的认识及推广J.消费导刊时空教育 . 20095 徐辰.上海工业大