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1 第一章 静力学公理和物体的受力分析第一章 静力学公理和物体的受力分析 1 1 静力学公理静力学公理 一 公理 1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力 可以合成一个合力 合力的作用点在该点 合力的大小和方向 由这两个力为边构成的平行四边形的 对角线确定 或 合力矢等于这两个边矢的几何和 即 21R FFF 也可另作一三角形 求两汇交力合力的大小和方向 二 公理 2 二力平衡条件 作用在刚体上的两个力 如 1 F与 2 F 使刚体保持平衡的必要和充分条件是 这两个 力的大小相等 方向相反 且作用在同一直线上 三 公理 3 加减平衡力系原理 在已知力上加上或减去任意的平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用 四 两个推理 1 推理 1 力的可传性 1 内容 作用于刚体上的某点的力 可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点 并不改变该力 对刚体的作用 2 证明 用加减平衡力系原理先加一平衡力系 再减一平衡力系 3 说明的问题 作用于刚体上的力的三要素 力的大小 方向 作用线 作用于刚体上的力可以沿着作用线移动 滑动矢量 2 推理 2 三力平衡汇交定理 1 内容 作用于刚体上三个力相互平衡的力 若其中两个力的作用线汇交于一点 则此三力必 在同一平面内 且第三个力的作用线通过汇交点 2 证明 用力的可传性 平行四边形法则 二力平衡的条件证明 五 公理 4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在 两力的大小相等 方向相反 沿着同一直线 分别 作用在两个相互作用的物体上 FF 作用力与反作用力不能看成平衡力系 六 公理 5 刚化原理 1 内容 变形体在某一力系作用下处于平衡 如将此变形体刚化为刚体 其平衡状态保持不变 2 说明的问题 变形体看作刚体模型的条件 在某一力系作用下处于平衡 刚体平衡条件与变形体平衡条件的关系 刚体平衡是变形体平衡的必要条 件 而不是充分条件 2 1 2 约束和约束力 一 约束 1 自由体和非自由体 1 自由体 位移不受限制的物体 2 非自由体 位移受到限制的物体 2 约束 对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体 二 约束力 1 约束力的含义 约束对物体所施加的 阻碍物体位移的力 2 约束力的方向 与该约束所能阻碍的位移方向相反 利用这个准则可以确定约束力的方向或作用线的位置 3 约束力的大小 1 特点 约束力的大小是未知的 2 静力学中的求法 约束力与主动力组成平衡力系 用平衡条件求约束力 三 几种常见的约束及相应约束力的方向 1 具有光滑接触面的约束 1 约束的特点 不能限制物体沿约束表面切线的位移 只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束 内部的位移 2 约束力 作用在接触点处 方向沿接触表面的公法线 并指向被约束的物体 法向约束力 用 N F表示 2 由柔软的绳索 链条或胶带等构成的约束 1 绳索对物体的约束力 作用在接触点 方向沿着绳索背离物体 用F或 T F表示 2 绕在轮子上的链条或胶带对轮子的约束力沿轮缘的切线方向 3 光滑铰链约束 1 向心轴承 径向轴承 1 结构与简图 2 约束的特点 轴可在孔内任意转动 也可沿孔的中心线移动 轴承阻碍着轴沿径向向外的位移 3 约束力 作用位置与方向 作用在接触点 且沿公法线指向轴心 并且与轴线垂直 特点 主动力不同 轴和孔的接触点的位置不同 主动力不确定时 约束力的方 向预先不能确定 3 通常的处理 用通过轴收的两个大小未知的正交分力 Ax F Ay F表示 且 Ax F Ay F的方向暂可任意假定 2 圆柱铰链和固定铰链支座 1 一个示例 2 圆柱铰链 铰链 结构 由销钉将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成 简图 3 固定铰链支座 固定铰支 结构 铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座 简图 3 分析约束力时销钉的处理 铰链处约束力的分析 常将销钉固连在其中一个构件上 相互连接的两构件互为约束 固定铰链支座处的销钉 将销钉固连在支座上 说明 当需要分析销钉受力时 才将销钉分离出来单独研究 4 约束力的实质 约束的实质 轴与光滑孔的配合 约束力情况 与轴承具有同样的约束 即约束力的作用线不能预先定出 但约束力垂直并通过铰链中心 5 约束力分析图 3 光滑铰链约束的特点 只限制两物体径向的相对移动 而不限制两物体绕铰链中心的相对转动 及沿轴向的位移 4 其他约束 1 滚动支座 1 结构 在固定铰链支座与光滑支承面之间装有几个辊轴而构成 辊轴支座 4 2 约束特点 可以沿支承面移动 约束性质与光滑面约束相同 3 约束力 垂直支承面 且通过铰链中心 2 球铰链 1 结构 通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束 2 约束的特点 使构件的球心不能有任何位移 但构件可绕球心任意转动 3 约束力 通过接触点与球心 但方向不能预先确定的一个空间约束力 处理方法 用三个正交分力表示 3 止推轴承 1 约束特点 除了能限制轴的径向位移外 还能限制轴沿轴向的位移 2 约束力特点 有三个正交分量 3 简图与约束力 1 3 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 一 物体受力的类型 1 主动力 一般是已知的 2 被动力 约束对于物体的约束力 二 受力分析的要求 1 要将受力物分离出来 画出它的简图 取研究对象或分离体 2 画出物体所受的所有力 注意每个力的作用位置与作用方向 三 有用模型 二力构件 二力杆 只在两个力作用平衡的构件 两个力必沿两作用点的连线 且等值反向 5 第二章 平面汇交力系与平面力偶系第二章 平面汇交力系与平面力偶系 2 1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 一 平面汇交力系合成的几何法 多边形法则 1 平面汇交力系的含义 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系 2 平面汇交力系可合成 力的可传性 将各力沿作用线移至汇交点 平行四边形法则 所有的力可合成一个合力 3 平面汇交力系合成的几何法 平行四边形法则 多边形法则 4 结论 平面汇交力系可简化为一合力 其合力的大小与方向等于各分力的矢量和 几何和 合力的作用线通过汇交点 n 1i in21R FFFFF 二 平面汇交力系平衡的几何条件 1 平面汇交力系平衡的充要条件 该力系的合力等于零 0F n 1i i 2 平面汇交力系平衡的几何条件 该力系的力多边形自行封闭 3 求解平面汇交力系平衡问题的几何法 按比例先画出封闭的力多边形 量得所要求的未知量 根据图形的几何关系 用三角公式计算出所要求的未知量 2 2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 一 平面汇交力系合成的解析法 jiFFF yxRyRxR FF n 1i yiyny2y1y n 1i xixnx2x1x FFFFF FFFFF R yi R y R R xi R x R 2 yi 2 xi 2 y 2 xR F F F F cos F F F F cos FFFFF jFiF 二 平面汇交力系的平衡方程 1 平面汇交力系的平衡条件 各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于 0 2 平面汇交力系的平衡方程 0Fxi 0Fyi 6 2 3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算 一 力对点之矩 力矩 1 问题的提出 1 力对刚体的作用效果 使刚体的运动状态发生改变 2 刚体的运动状态 移动与转动 3 力对刚体的移动效应由力矢量度 2 力臂 某点 O 到力的作用线的垂直距离 h 称为力对 O 点的力臂 点 O 称为矩心 3 力对点之矩 力矩 1 含义 是一个代数量 力对点之矩的绝对值等于力的大小与力臂的乘积 力对点之矩的正负为 力使物体绕矩心逆时针转向时为正 反之为负 2 力矩的表达式 Fh MO F 3 力矩的单位 mN mkN mmN mmkN 4 力矩的物理意义 力矩表示力对刚体的转动效应 二 合力矩定理与力矩的解析表达式 1 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数 和 n 1i iORO M MFF 2 力矩的解析表达式 xyO yFxF M F n 1i xiiyiiRO FyFx MF 2 4 平面力偶平面力偶 一 力偶与力偶矩 1 力偶的定义 力偶 由两个大小相等 方向相反且不共线的平行力组成的力系 两力分别记作F F 力偶臂 力偶的两力之间的垂直距离 d 力偶的作用面 力偶所在的平面 2 力偶的作用效果 力偶的矢量和为零 力偶对刚体没有移动效应 力偶对各点的力矩不等于零 力偶改变刚体的转动状态 力与力偶是静力学中的两个基本要素 3 力偶矩 1 力偶对作用面内任意点的力矩的代数和 大小等于力与力偶臂的乘积 正负一定 大小 正负都与矩心位置无关 2 力偶矩的定义 力偶矩是一个代数量 其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积 正负号表示 力偶的转向 以逆时针转向为正 反之为负 FdM 7 力偶矩等于力偶中两个力对任意点的力矩的代数和 二 同平面内力偶的等效定理 1 定理 在同平面内的两个力偶 如果力偶矩相等 则两力偶彼此等效 理由 力偶只改变物体的转动状态 力偶对物体的转动效应由力偶矩度量 2 推论 任一力偶可以在它的作用面内任意移转 而不改变它对刚体的作用 力偶对刚体的作 用与力偶在其作用面内的位置无关 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的 长短 而不改变力偶对刚体的作用 3 结论 力偶矩是平面力偶作用的唯一量度 而力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量 三 平面力偶系的合成和平衡条件 1 平面力偶系的合成 在同一平面内的任意个力偶可合成一个合力偶 合力偶矩等于各个力偶矩 的代数和 n 1i i MM 推导过程 将各力偶在保持力偶矩不变的前提下同时改变力偶臂与力 的大小 使各力偶的力偶臂大小相等 在平面内将各偶移转 使它们的作用线重合 分别求两作用线上的合力 2 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是 所有各力偶矩的代数和等于零 0M n 1i i 第三章 平面任意力系第三章 平面任意力系 3 1 平面任意力系向作用面内一点简化 一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点 A 的力F平行移到任一点 B 但必须同时附加一个力 偶 这个力偶的矩等于原来的力对新作用点 B 的矩 证明过程 在 B 点加一对大小与F相等 方向与F平行的平衡力 其中与F 相反的力与F组成一个力偶 二 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 1 平面任意力系向作用面内一点简化 1 平移 力的平移定理 将作用在刚体上的平面任意力系 1 F 2 F n F中的各力向简化中心 O 平移 同时附加一个相应的力偶 平面任意力系等效为两个简单力系 平面汇交力系 1 F 2 F n F 和平面力偶系 1 M 2 M n M 8 ii FF MM iOi F 2 合成 1 主矢 将平面汇交力系 1 F 2 F n F 合成为一个通过简化中心的合力 R F 主矢 n 1i i n 1i iR FFF 2 主矩 将平面力偶系 1 M 2 M n M可合成为一个力偶 O M 主矩 n 1i iO n 1i ii MMMF 3 说明 主矢与简化中心无关 主矩与简化中心有关 3 结论 平面任意力系向作用面内任选一点简化 可得一个力和一个力偶 这个力等于该力系的 主矢 作用线通过简化中心 这个力偶的矩等于该力系对于简化中心的主矩 4 主矢与主矩的解析式 1 主矢 R y R R x R 2 y 2 xR yxRyRxR F F cos F F cos FFF FF jFiF jiFFF 2 n 1i xiiyii n 1i iOO FyFxMMF 2 固定端 或插入端 支座 1 约束力及其向一点的简化 一般情况下 A F的大小方向都未知 用 Ax F Ay F两个分力代替 2 与固定铰链支座区别 固定端支座除了限制物体在水平方向的铅直方向移动外 还能限制物 体在平面内转动 有约束力 A F与约束力偶 A M 三 平面任意力系的简化结果分析 1 平面任意力系简化为一个力偶的情形 9 1 情形 0 R F 0MO原力系合成为合力偶 2 主矩特点 主矩与简化中心的选择无关 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同 2 平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理 1 平面任意力系简化为一个合力的情形之一 情形 0 R F 0MO附加力偶互相平衡 只有一与原力系等效的力 R F 主矢的特点 主矢就是原力系的合力 且合力的作用线恰好通过选定的简化中心 2 平面任意力系简化一个合力的情形之二 情形 0 R F 0MO 简化 将矩 O M的力偶用 R F R F 表示 并令 RRR FFF 其中 R F 的作用点在简化 中心O R F的作用点在另一点 O 去掉一对平衡力 R F R F 作用于O点的力 R F 与力偶 R F R F 合成为作用于 O 的力 R F 力 R F的实质 原力系的合力 O 的位置需根据主矢 R F 主矩 O M的方向确定 3 平面任意力系的合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和 3 2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一 平面任意力系平衡的充要条件 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零 二 平面任意力系的平衡方程 1 两个投影方程一个力矩方程 0Fxi 0Fyi 0M iO F 2 一个投影方程两个力矩方程 0MA F 0MB F 0Fx x 轴不能垂直 AB 连线 理由 0MAF力系不能简化为一个力偶 可能简化为经过 A 点的一个力或 平衡 0MBF力系不能简化为一个力偶 可能简化为经过 AB 连线的一个合 力 10 0Fx刚体必平衡 3 三个力矩方程 0MA F 0MB F 0MC F A B C 三点不能共线 三 平面平行力系的平衡方程 力平行于 y 轴 1 投影方程与力矩方程 0 M 0F O y F 2 两个力矩方程 0 M 0 M B A F F 3 3 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题 一 静定问题 系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目 二 超静定问题 未知量的数目多于独立平衡方程的数目 超静定问题是材料力学和结构力学中研究的内容 3 4 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算 一 桁架介绍 1 桁架 是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构 它在受力后几何形状不变 桁架中杆 件的铰链接头称为节点 2 桁架的优点 杆件主要承受拉力或压力 可以充分发挥材料的作用 节约材料 减轻结构的重 量 3 理想桁架的几个假设 1 桁架的杆件都是直的 2 杆件用光滑的铰链连接 3 桁架所受的力 载荷 都作用在节点上 而且在桁架的平面内 4 桁架杆件的重量略去不计 或平均分配在杆件两端的节点上 二 计算桁架杆件内力的方法 1 节点法 逐个地取节点为研究对象 由已知力求出全部未知的杆件内力 2 截面法 适当地选取一截面将桁架截开 再考虑其中任一部分的平衡 求出这些被截杆件的内 力 11 第四章 空间力系第四章 空间力系 4 1 空间汇交力系空间汇交力系 一 力在直角坐标上的投影 1 直接投影法 Fcos FxiF Fcos FyjF Fcos FzkF 2 间接投影法 FcosF sinFsinF cosFsinF z y x 二 空间汇交力系的合力与平衡条件 1 空间汇交力系的合力 等于各分力的矢量和 合力的作用线通过汇交点 n 1i in21R FFFFF 或 n 1i zi n 1i yi n 1i xiR FFFkjiF 2 空间汇交力系平衡的充分必要条件 该力系的合力等于零 0 iR FF 3 空间汇交力系的平衡方程 0Fxi 0Fyi 0Fzi 4 2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 一 力对点的矩以矢量表示 力矩矢 1 力对点的矩矢的定义 力对点的矩矢等于矩心到该力的作用点的矢径与该力的矢量积 FrFM O 力矩矢量 O FM的大小和方向都与矩心 O 的位置有关 力矩矢的始 端必须在矩心 不可任意挪动 定位矢量 2 力矩矢的投影 以矩心为坐标原点 作用点的坐标为 zy x 则有 12 kji kji FrFM yFxF xFzF zFyF FFF zyx xyzxyz zyx O xy x O zx y O yz x O yFxF xFzF zFyF FM FM FM 二 力对轴的矩 1 力对轴的矩的定义 力对轴的矩是力使刚体绕轴转动效果的度量 是一个代数量 其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴 的交点的矩 其正负号为 从 z 轴正端来看 若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转 动 则取正号 反之为负号 当力与轴在同一平面时 力对该轴的矩等于零 2 力对轴的矩的解析式 xyz zxy yzx yFxF xFzF zFyF FM FM FM 三 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 力对点的矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩 4 3 空间力偶空间力偶 一 力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 1 力偶矩矢的定义 力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和 FrM BA A 是力偶中一力F的作用点 B 是力偶中另一力 F 的作用点 力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关 M无需确定矢的初端位置 自由矢量 力偶矩矢度量空间力偶对刚体的作用效应 2 力偶矩矢的特点 矢量的模 即力偶矩大小为力与偶臂的乘积 矢量的方向与力偶作用面相垂直 矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则 二 空间力偶等效定理 13 1 定理 作用在同一刚体上两个空间力偶 如果其力偶矩矢相等 则它们彼此等效 2 说明问题 空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效 果 同时改变力与力偶臂的大小或将力偶在其作用面力任意转移 只要力偶矩矢的大 小 方向不变 其作用效果就不变 三 空间力偶系的合成与平衡条件 1 空间力偶系的合成 1 空间力偶系的合成 任意个空间分布的力偶可合成一个合力偶 合力偶矩矢等于各分力偶矩 矢的矢量和 n 1i in21 MMMMM 证明过程 在 1 M 2 M的作用面的交线上任取线段 d 将两力偶在各自的作用面内等效转移 与变换即可 2 合力偶矩矢的解析式 kjiM zyx MMM n 1i iznz2z1zz n 1i iyny2y1yy n 1i ixnx2x1xx MMMMM MMMMM MMMMM 2 空间力偶系平衡的条件 1 必要和充分条件 该力偶系的合力偶矩等于零 0 n 1i i M 2 空间力偶系的平衡方程 0M n 1i ix 0M n 1i iy 0M n 1i iz 14 4 4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩 一 空间任意力系向一点的简化 1 平移 力的平移定理 将作用在刚体的空间任意力系 1 F 2 F n F中的各力平移至简化中 心 O 同时附加一个相应的力偶 原空间任意力系被空间汇交力系 1 F 2 F n F 和空 间力偶系 1 M 2 M n M等效替换 ii FF iOi FMM 2 合成 1 作用于 O 点的空间汇交力系合成一力 R F 此力的作用线通过点 O 大小和方向等 于力系的主矢 n 1i zi n 1i yi n 1i xi n 1i iR FFFkjiFF 2 空间分布的力偶系合成为一力偶 力偶矩矢等于原力系对点 O 的主矩 n 1i ii n 1i iO n 1i iO FrFMMM 3 结论 空间任意力系向任一点 O 简化 可得一力和一力偶 这个力的大小和方向等于该力系的主矢 作用线通过简化中心 O 这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心主矩 4 主矢与主矩的特点 主矢与简化中心的位置无关 主矩一般与简化中心的位置有关 5 空间任意力系简化的实际意义 二 空间任意力系的简化结果分析 1 空间任意力系简化为一合力偶的情形 1 情形 0 R F 0 O M与原力系等效的合力偶 2 主矩特点 与简化中心位置无关 2 空间任意力系简化为一合力的情形 1 空间任意力系简化为一合力的情形之一 15 情形 0 R F 0 O M与原力系等效的合力 合力特点 合力的作用线通过简化中心 O 合力的大小和方向等于原力系的主矢 2 空间任意力系简化为一合力的情形之二 情形 0 R F 0 O M OR MF力 R F 与力偶 R F R F 进一步合成为作 用于点 O 的一个力 R F 力 R F的实质 原力系的合力 大小和方向等于原力系的主矢 作用线离简化中心 O 的距 离为 R O F d M 3 空间任意力系简化为力螺旋的情形 1 力螺旋 力螺旋的含义 由一力和一力偶组成的力系 其中的力垂直于力偶的作用面 力螺旋是同静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的 力系 不能进一步合成 力螺旋的类型 右螺旋 力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则 左螺旋 力偶的转向和力的指向与右手法则相反 力螺旋的中心轴 力螺旋的力作用线 2 空间任意力系简化为力螺旋情形之一 情形 0 R F 0 O M OR M F 中心轴 通过简化中心 3 空间任意力系简化为力螺旋情形之二 情形 0 R F 0 O M 且两者不平行也不垂直 再简化 将 O M分解为平行 R F 的 O M 和垂直于 R F 的 O M O M 与 R F 合成为作用于 O 的 R F 力螺旋 4 结论 一般情况下空间任意力系可合成为力螺旋 4 空间任意力系简化为平衡的情形 空间任意力系向任一点简化时 0 R F 0 O M 16 4 5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 一 空间任意力系的平衡方程 1 空间任意力系平衡的充分必要条件 该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零 0 R F 0 O M 2 空间任意力系的平衡方程 0 M0 M0 M 0F0F0F zyx zyx FFF 二 空间约束的类型举例 17 三 空间力系平衡问题举例 4 6 重 心重 心 一 平行力系中心 1 平行力系中心的含义 平行力系合力作用点 2 平行力系中心的计算 1 合力作用点位矢 i ii R ii C 0 ii 0 RC 0 ii 0 RR iiRC F F F F FF F F rr rFrFr FFFF FrFr i r是力 i F作用点的位矢 2 合力作用点的坐标 i ii C F xF x i ii C F yF y i ii C F zF z 3 平行力系中心位置的决定因素 仅与各平行力的大小和作用点的位置有关 而与各平行力的方 向无关 与平行力各力间方向关系有关 二 重心 1 一般情况 18 i ii C P xP x i ii C P yP y i ii C P zP z i P为第 i 部分的重力 z y x iii 第 i 部分的重心位置 2 均质物体 V xdV x V C V ydV y V C V zdV z V C 三 确定物体重心的方法 1 简单几何形状物体的重心 19 2 用组合法求重心 1 分割法 2 负面积法 负体积法 3 用实验方法测定重心的位置 第五章 摩 擦第五章 摩 擦 5 1 滑动摩擦滑动摩擦 一 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 1 静滑动摩擦力的特点 1 与一般约束力相同的性质 随主动力的情况而变 2 与一般约束力不同的性质 有最大值 最大静滑动摩擦力 最大静 摩擦力 静摩擦力用 s F表示 2 静摩擦定律 库仑摩擦定律 最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力 即法向约束力 成 正比 Nsmax FFf s f 静摩擦因数 是量纲一的量 静摩擦因数 s f由实验测定 与接触物体的材料和表面情况 如 粗糙度 温度和湿度等 有关 与接触面积的大小无关 二 动滑动摩擦力 1 大小规律 动摩擦力的大小与接触物体间正压力成正比 20 N FFf f 动摩擦因数 与接触物体的材料和表面情况有关 一般情况下 s ff 2 动摩擦因数与接触物体间相对滑动的速度大小的关系 不同材料的物体 动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律不同 多数情况下 动摩擦因数随相对滑动速度大小的增大而稍减小 相对滑动速度不大时 动摩擦因数可近似地认为是常数 5 2 摩擦角和自销现象摩擦角和自销现象 一 摩擦角 1 全约束力 支承面对平衡物体的法向约束力 N F和切向约束力 s F 静摩擦力 的几何和 2 摩擦角 全约束力与法线间的夹角的最大值 i s N max i F F tanf 摩擦角与摩擦因数一样都是表示材料的表面性质的量 3 摩擦锥 当物块的滑动趋势方向改变时 全约束力作用线的方位也随之改变 临界状态下 全约束力的作用线画出的锥面称为摩擦锥 若物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同 摩擦锥是一个顶角为 i 2 的圆锥 二 自锁现象 1 自锁现象 作用于物块的合部主动力的合力 R F的作用线在摩擦角 i 之内 无论主动力多大 物块都处于静止状态 自锁现象 2 自锁现象的不发生 作用于物块的合部主动力的合力 R F的作用线在摩擦角 i 之外 无论主动 力多小 物块一定滑动 3 自锁现象的应用 螺纹 千斤顶 5 3 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 21 一 平衡问题的特点 1 分析物体受力时 必须考虑接触面间切向的摩擦力 s F 通常增加了未 知量的数目 2 为确定这些新增加的未知量 还需列出补充方程 即 Nss FFf 补 充方程的数目与摩擦力的数目相同 3 由于物体平衡时摩擦力有一定范围 所以有摩擦时平衡问题的解亦有 一定的范围 而不是一个确定的值 二 临界状态下求解有摩擦力的平衡问题的注意点 max F的方向不能假定 必须按真实方向给出 5 4 滚动摩擦滚动摩擦 一 滚动摩擦的来源 外力作用 滚子与支承物都变形 两者有一个接触面 支承物对滚子的作用力沿接触面分布 作用力向 A 点简化 得一个力 R F和一个力偶 力偶矩为 f M R F可分解为摩擦力 s F和法向约束力 N F 矩为 f M的力偶称为滚动摩阻力偶 简称滚阻力偶 二 滚动摩阻力偶矩 f M 1 特点 随着主动力的增加而增大 滚子处于将滚动未滚的临界平衡状态时 滚动摩阻力偶矩达最大值 最大滚动摩阻力 偶矩 最大滚动摩阻力偶矩用 max M表示 滚动过程中受到的滚动摩阻可以认为是 max M 2 滚动摩阻定律 最大滚动摩阻力偶矩 max M与滚子半径无关 而与支承面的正压力 法向约束 力 N F的大小成正比 22 Nmax FM 滚动摩阻系数 滚阻系数 长度量纲 单位一般用 mm 3 滚动摩阻系数 1 决定因素 滚动摩阻系数与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关 由实验测定 2 物理意义 分析 滚子在临界平衡状态时 将法向约束力 N F与最大滚动摩阻力偶 max M合成一个力 N F 且 NN FF 力 N F 的作用线距中心线的距离 N max F M d 结论 滚动摩阻系数 可看成在即将滚动时 法向约束力 N F 离中心线的最远距离 也就是最 大滚动阻力偶 N F P 的臂 第六章 点的运动学第六章 点的运动学 6 1 矢量法矢量法 一 点的位置 1 矢径 自坐标原点 O 向动点 M 作的矢量r称为点 M 相对原点 O 的位置矢量 简称矢径 矢径是表示了质点的位置 2 运动方程 动点 M 运动时 矢径r随时间变化的函数称为以矢量表示的点的运动方程 t rr 运动方程就是表示质点的位置随时间变化的函数 3 矢端曲线 动点 M 运动过程中 其矢径r的末端描绘出的一条曲线称为矢端曲线 矢端曲线就是动点 M 的运动轨迹 二 速度矢 dt dr v 或rv 速度矢的方向沿矢径r的矢端曲线的切线 三 加速度矢 2 2 dt d dt drv a 或rva 23 如将不同瞬时动点的速度矢平行移到同一点 O 连接各速度矢的端点 速度矢 端曲线 动点加速度矢的方向与速度矢端曲线的切线方向平行 6 2 直角坐标法直角坐标法 一 动点的位置 1 位置表示 用三个直角坐标 x y z 表示 2 与矢径关系 kjirzyx 3 运动方程 t x 1 f t y 2 f t z 3 f 消去 t 可得动点轨迹方程 二 速度矢 kjikjirv zyx vvvzyx xvx yvy zvz 三 加速度矢 kjikjira zyx aaazyx xax yay zaz 6 3 自然法自然法 一 自然坐标系 1 弧坐标 在曲线上任选一点 O 为参考点 并设 O 点的某一侧为正方向 将弧长看成代数量 曲线上各点的位置可以用该点与 O 点之间的弧长为表示 表示曲线上各点位置的弧长称为该点的弧坐标 2 自然轴系 1 密切面 由曲线上某点 M 的切线和与该点无限接近的点的 切线组成的极限平面称为点 M 的密切面 2 法平面 过曲线上某点M并与该点的切线垂直的平面称为 M 点的法平面 3 主法线 法平面与密切面的交线 密切面内与切线垂直的直 线 称为主法线 主法线的单位矢量为n 指向曲线内凹一侧 4 副法线 过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线 副法线的单位矢量为b 指向与 n构成右手关系 即n b 5 自然坐标轴 以点M为原点 以切线 主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲 线在点M的自然坐标系 这三个轴称为自然轴 点M在轨迹上运动 n b的方向不断变动 自然坐标系是沿曲线而变 动的游动坐标系 24 3 曲率与曲率半径 曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲率 曲率的倒数称为曲率半 径 ds d s lim 1 0s 4 几个有用的关系 n dd rdsd 二 自然法对点运动的描述 1 位置的表示与运动方程 1 位置表示 用弧坐标表示动点的位置 2 运动方程 t sf 2 点的速度 r vv dt ds dt d 3 点的加速度 1 点的加速度 dt d v dt dv dt d v a 2 加速度的组成部分讨论 1 切向加速度 表达式 av dt dv t svat 物理意义 反映点的速度值对时间的变化率 2 法向加速度 表达式 nnn a 2 n v dt ds ds d v dt d v dt d v v a 2 n 物理意义 反映点的速度方向随时间变化的快慢 3 全加速度 组成 n aaa ntnt aa dt dv at v a 2 n 0 b a t a n a在密切面内 全加速度a在密切面内 0 b a 大小 2 n 2 t aaa 方向 与法线间的夹角 n t a a tan a与切向单位矢量 夹角为锐角时 为正 为钝角时 为负 4 曲线运动举例 1 曲线匀变速运动 特征 t a恒量 规律 tavv t0 2 t00 ta 2 1 tvss 2 曲线匀速运动 特征 0at 25 规律 vtss 0 6 4 点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影 一 柱坐标 00 dd 00 dd 0d k 二 运动描述 1 矢径 k rz 0 2 速度 k r v dt dz dt d dt d dt d 00 dt d v dt d v dt dz vz 3 加速度 k v a 2 2 0 2 2 0 2 2 2 dt zd dt d dt d dt d 2 dt d dt d dt d 2 2 2 dt d dt d a 2 2 dt d dt d dt d 2a 2 2 z dt zd a 6 5 点的速度和加速度在球坐标中的投影点的速度和加速度在球坐标中的投影 一 球坐标 000 dsindd r 000 dcosdd r 000 dcosdsind r 二 运动描述 1 矢径 0 rrr 2 速度 000 dt d sinr dt d r dt dr dt d r r v dt dr vr dt d rv dt d sinrv 3 加速度 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 dt d cossinr dt d r dt d dt dr 2 dt d sinr dt d r dt rd dt d r v a 0 2 2 dt d sinr dt d dt d cosr2 dt d dt dr sin2 26 2 2 2 2 2 n dt d sinr dt d r dt rd a 2 2 2 2 dt d cossinr dt d r dt d dt dr 2a 2 2 dt d sinr dt d dt d cosr2 dt d dt dr sin2a 第七章 刚体的简单运动第七章 刚体的简单运动 7 1 刚体的平行移动刚体的平行移动 一 刚体的平行移动 如果在物体内任取一直线 在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置 平行 这种运动称为平行移动 简称平移 二 刚体平行移动的研究方法 1 刚体平行移动的特点 刚体上各点的轨迹形状相同 在每一瞬时的速度相同 加速度相同 各点的轨迹可以是直线 也可以是曲线 2 刚体平行移动的研究方法 研究刚体上任一点的运动 7 2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动 一 刚体绕定轴的转动 刚体在运动时 其上或其扩展部分有两点保持不动 则这种运动称为刚 体绕定轴的转动 简称刚体的转动 通过两个固定点的一条不动的直线称为刚体的转轴或轴线简称轴 二 绕定轴转动的刚体的位置 1 建立确定的方法 取转轴为 z 轴 通过直线作固定平面 A 通过轴线作动平面 B 其与刚体固 结 随刚体一起转动 2 转角 动平面 B 与固定平面 A 之间的夹角 称为刚体的转角 转角是一个代数量 正转向与 z 轴正方向满足右手定则关系 转角表示刚体的位置 3 刚体绕定轴转动的运动方程 t f 三 角速度 dt d 角速度表征刚体转动的快慢 角速度是代数量 正转向角速度与 z 轴正方向满足右手定则关系 27 四 角加速度 2 2 dt d dt d 角加速度表征角速度变化的快慢 角加速度是代数量 如果 与 同向 则转动是加速的 五 两种典型情况 1 匀速转动 1 特征 常量 2 规律 t 0 2 匀变速转动 1 特征 常量 2 规律 t 0 2 00 t 2 1 t 7 3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 一 弧坐标 Rs 是刚体上某点 M 到转轴的距离 二 速度 R dt d R dt ds v 三 加速度 R dt d R dt sd dt dv a 2 2 2 2 t 2 22 n R Rv a 2 n 2 t aaa 2 n t a a tan 7 4 轮系的传动比轮系的传动比 一 传动比 主动轮 和从动轮 的角速度的比值称为传动比 2 1 12 i 二 齿轮传动 1 传动比 1 2 1 2 2 1 12 z z R R i 1 R 2 R主动轮与从动轮的半径 1 z 2 z主动轮与从动轮的齿数 公式适用圆柱齿轮 也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动 摩擦轮传动 2 表示各轮转向的传动比 传动比为代数值 1 2 1 2 2 1 12 z z R R i 28 各轮都规定了统一的转动正向 正号表示主动与从动轮转向相同 负号表示转向相反 二 带轮传动 1 2 2 1 12 r r i 7 5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积以矢量表示角速度和角加速度 以矢积 表示点的速度和加速度表示点的速度和加速度 一 角速度矢 1 角速度矢的大小 dt d 2 角速度矢的方向 1 指向 从角速度矢的末端向始端看 刚体作逆时针转向的转动 符合右 手螺旋规则 2 起点 可在轴线上任意选取 角速度是滑动矢量 3 角速度矢的表示 取转轴为 z 轴 单位矢为k k 二 角加速度矢 dt d dt d dt d kkk 角加速度矢也是一个滑动矢量 三 点的速度和加速度 1 速度 r v 2 加速度 v r r r v a dt d dt d dt d r a t v a n 3 说明 r刚体上 M 点对原点 轴线上任取一点 O 为原点 位移 第八章 点的合成运动第八章 点的合成运动 8 1 相对运动 牵连运动 绝对运动相对运动 牵连运动 绝对运动 一 两个参考系 1 定参考系 定系 固定在地球上的坐标系称为定参考系 简称定系 以Oxyz坐标系表示 29 2 动参考系 动系 固定在其他相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系 简称动系 以zyxO 坐标系表示 二 三种运动 1 绝对运动 动点相对于定参考系的运动 2 相对运动 动点相对于动参考系的运动 3 牵连运动 动参考系相对于定参考系的运动 绝对运动 相对运动是动点的运动 可能是直线运动也可能是曲线运动 牵连运动是参考体的运动 实际上是刚体的运动 可能是平移 转动或其他复杂 的运动 三 与三种运动对应的轨迹 速度 加速度 1 相对轨迹 相对速度 相对加速度 动点在相对运动中的轨迹 速度 加速度 2 绝对轨迹 绝对速度 绝对加速度 动点在绝对运动中的轨迹 速度 加速度 3 牵连速度 牵连加速度 在动参考系上与动点相重合的那一点 牵连点 的速度和加速度 动参考系中各点的速度与加速度一般不同 不同时刻的牵连速度 牵连加速度一般 不同 r v r a 相对速度 相对加速度 a v a a 绝对速度 绝对加速度 e v e a 牵连速度 牵连加速度 8 2 点的速度合成定理点的速度合成定理 一 推导 1 模型 动系坐标原点 O 在定系中的矢径为 O r 动系三个单位矢分别为 i j k 动点 M 在定系中的矢径为 M r 在动系中的矢径为 r 动系上与动点重合的点 牵连点 M 在定系中的矢径为 M r 2 矢径关系 rrr OM kjir zyx rrrr OMM 3 相对速度 分析 相对速度是动点相对于动参考系的速度 求导时应将动系的三个单位矢 量 i j k 视为常矢量 相对导数 求解 kji r v zyx dt d r 4 牵连速度 分析 牵连速度是牵连点 M 的速度 该点是动系上的点 因此 x y z 是 常量 30 求解 kjir r v zyx dt d O M e 5 绝对速度 绝对速度是动点相对定系的速度 动点在动系中的三个坐标 x y z 是时 间的函数 同时由于动系在运动 动系的三个单位矢量的方向也在变化 求解 kjikjir r v zyxzyx dt d O M a 6 关系 ea vvv 二 点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量 和 三 解题步骤 1 选取动点 动参考系和定参考系 所选的参考系应能将动点的运动分成为相对运动的牵连运动 因此 动点和动参考系不能选在同一个物体上 一般应使相对运动易于看清 2 分析三种运动和三种速度 分析三种运动各是什么运动 三种运动的速度大小方向如何 3 应用速度合成定理作速度平行四边形 4 利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数 8 3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理 一 动系为定轴转动情况 设动系zyxO 以角速度 e 绕定系的 z 轴转动 1 动系单位矢量 i j k 对时间的导数 动系原点的速度 Oe O O dt d r r v k 的矢端点 A 的矢径为 A r A 点的速度 Ae A A dt d r r v krr OA dt d dt d Oe O kr kr k k e dt d 同理 i i e dt d j j e dt d 理解 动系中各点的运动可以看成随原点 O 的平动与绕过 O 平行 z 轴的转动 平动不会 造成 i j k 的变化 只有转动才会造成 i j k 的变化 31 2 相对加速度 kji r a zyx dt d 2 2 r 3 牵连加速度 kjir r a zyx dt d O 2 M 2 e 4 绝对加速度 zyx 2 zyx zyx dt d O 2 M 2 a kjikjikjir r a 5 科氏加速度 z y x2 zyx 2 eeec k j i kjia zyx 2 e kji re 2v 科氏加速度是由于动系为转动时 牵连运动与相对运动相互影响而产生的 6 点的加速度合成定理 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度 相对加速度与 科氏加速度的矢量和 cera aaaa 二 牵连运动为任意运动情况 点的加速度合成定理仍成立 三 科氏加速度说明 1 牵连运动对相对运动的影响 若杆不转动 相对速度由 r v变成 r2 v 相对加速度 r a是动 系上观察的 它只反映由 r v到 r2 v的变化 而由 r2 v到 r v 的 变化由科氏加速度一部分反映 2 相对运动对牵连运动的影响 若没相对运动 牵连速度由 e v变成 M1 v 牵连加速度 e a是 动系上 M 的加速度 它只反映由 e v到 M1 v的变化 而 M1 v到 e v 的变化由科氏加速度的一 部分反映 3 两个等式 rer r dt d v a v rer e dt d v a v 第九章 刚体的平面运动第九章 刚体的平面运动 9 1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 一 刚体平面运动的含义 在运动中 刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离 平面运动时刚体上的各点都在平行某一固定平面的平面内运动 32 二 刚体平面运动的特点与简化 1 特点 用平行于固定平面的平面截刚体 截面是一平面图形 平面图形内各点都在自身平面内运动 平面图形内的点的运动与通过该点且垂直平面图形的直线上的各点 运动完全相同 平面图形内各点的运动可以代表刚体内所有点的运 动 2 刚体平面运动的简化 平面图形在其自身平面内的运动 三 平面图形运动的分解 1 平面图形运动方程 1 平面图形位置确定方法 平面图形位置 平面图形内任一线段M O 的位置 O 的位置及式 M O 相对固定坐标轴Ox的夹角 2 平面图形运动方程 t x 1O f t y 2O f t 3 f 2 平面图形运动的分解 平面图形按点 O 运动方程的t x 1O f t y 2O f 的平移 平面图形绕点 O 转角为t 3 f 的转动 四 平面图形运动的研究方法 在平面图形上任取一点 O 称为基点 在基点假想地安上一个平移参考系yxO 平面图形运动时 动坐标轴方向始终保持不变 平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点的转动两部分运动的合成 五 几点说明 1 分解中总是以选定的基点为原点建立一个平移的动参考系 所谓的绕基点的转动 是指相对 于这个平移参考系的转动 2 可以选择不同的点作为基点 3 选择不同的基点 其动参考系的平移不一样 其速度和加速度也不相同 平移的速度与加速 度与基点的选择有关 4 平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关 9 2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 一 基点法 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和 二 平面图形内任意两点的速度的关系 1 关系 BAAB vvv ABvBA BA v B 点相对 A 点的速度 2 速度投影定理 同一平面图形内上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等 三 解题步骤 1 分析题中各物体的运动 哪些物体作平移 哪些物体作转动 哪些物体作平面运动 2 研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小和方向是已知的 哪一点的速度的某一要素 一 33 般是速度方向 是已知的 3 选定基点 设为 A 而另一点 设为 B 可应用 BAAB vvv 作速度平行四边形 9 3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法