第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程.ppt

第3章光波在非线性介质中传播的基本方程 3 1光波在各向异性晶体中的传播特性3 2介质损耗对光波传播的影响3 3非线性光学耦合波方程3 4非线性介质中的场能量3 5非线性光学相位匹配习题 3 1光波在各向异性晶体中的传播特性 3 1 1光波在晶体中传播特性的解析法描述1 晶体的介电常数张量由电磁场理论已知 介电常数是表征介质电学特性的参量 在各向同性介质中 电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系 D 0 rE 3 1 1 由于介电常数 0 r是标量 所以电位移矢量D与电场矢量E的方向相同 即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关 对于各向异性晶体 D和E间的关系为 3 1 2 介量常数 0 r是二阶张量 该关系的分量形式为 3 1 3 又由2 3节的讨论已知 1 是对称张量 因而晶体的相对介电张量 r是一个对称张量 因此它有六个独立分量 经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量 只有三个非零的对角元素 为 xx yy zz称为相对主介电常数 由麦克斯韦关系式 还可以相应地定义三个主折射率nx ny nz 在主轴坐标系中 3 1 3 式可表示为 i x y z 3 1 4 表3 1 1各晶系的相对介电常数张量矩阵 2 晶体光学的基本方程在均匀 不导电 非磁性的晶体中 若没有自由电荷存在 麦克斯韦方程组为 3 1 5 3 1 6 3 1 7 3 1 8 将 3 1 5 式和 3 1 6 式中的H消去 可以得到 3 1 9 式中 k为平面光波波法线方向的单位矢量 该式即为描述晶体光学性质的基本方程 3 1 9 式的分量形式为 i x y z 3 1 10 将Di Ei的关系 3 1 3 式代入 经过整理可得 3 1 11 3 光在晶体中的传播规律现将 3 1 11 式展开 可以得到一个关于n2的二次方程 即 3 1 22 图3 1 1与给定k相应的D E s方向 1 各向同性介质这是最简单的一种情况 对于各向同性介质有 xx yy zz r n20 代入 3 1 22 式后 得 3 1 23 由此可得 折射率n为 3 1 24 图3 1 2各向同性介质中E D k s的关系 2 单轴晶体对于这类晶体有 xx yy no zz ne 主轴x y的 3 1 29 式中 是z轴与k方向之间的夹角 将上述关系代入 3 1 22 式 得 3 1 30 由此可见 对于满足上式第一个因子等于零 即n2 的光波来说 其折射率与光波的传播方向无关 称为寻常光 o光 折射率为no 对于由上式第二个因子等于零所确定的光波 其折射率满足如下关系 3 1 31 图3 1 3单轴晶体中的本征矢E和D 3 双轴晶体介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴 称为双轴晶体 属于正交 单斜和三斜晶系的晶体都是双轴晶体 其中 正交晶体的对称性足够高 三个介电主轴方向都沿晶轴方向 单斜晶体只有一个主轴方向沿着晶轴 而三斜晶体的三个介电主轴都不沿晶轴 并且介电主轴相对晶轴的方向随频率而变 按习惯 主值是按 xx yy zz选取的 所谓光轴 就是两个传播模具有相同相速度的方向 由 3 1 11 式可以证明 双轴晶体的两个光轴都在xOz平面内 并且与z轴的夹角分别为 和 如图3 1 4所示 值由 3 1 39 图3 1 4双轴晶体中光轴的取向 图3 1 5双轴晶体中k方向的取向 由 3 1 11 式出发可以证明 若光波波法线方向与二光轴方向的夹角为 1和 2 图3 1 5 则相应的两个传播模的折射率满足下面关系 3 1 40 当 1 2 即当波法线方向k在二光轴角平分面内时 相应两个传播模的折射率为 3 1 41 3 1 42 双轴晶体传播模的本征矢可由 3 1 12 式和 3 1 19 式求得 其电场分量形式为 3 1 43 式中 3 1 44 相应的电位移矢量分量为 3 1 45 3 1 2光波在晶体中传播特性的几何法描述1 折射率椭球由光的电磁理论知道 在主轴坐标系中 晶体中的电能密度为 3 1 46 因而有 3 1 47 在给定电能密度we的情况下 该方程表示为D Dx Dy Dz 空间的椭球面 若用r2代替D2 2we 0 3 1 47 式可改写为 3 1 48 或 3 1 49 图3 1 6利用折射率椭球确定折射率和D振动方向图示 1 与波法线方向k相应的两个传播模的折射率n1和n2 分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长 即 n1 k ra k n2 k rb k 2 与波法线方向k相应的两个传播模的D振动方向d1和d2 分别平行于ra和rb 即 这里 d是D振动方向上的单位矢量 1 各向同性介质或立方晶体在各向同性介质或立方晶体中 主介电常数 xx yy zz 相应的主折射率nx ny nz n0 折射率椭球方程为x2 y2 z2 n20 3 1 50 2 单轴晶体在单轴晶体中 xx yy zz 或nx ny no nz ne no 因此 折射率椭球方程为 3 1 51 现如图3 1 7所示 对于一个正单轴晶体的折射率椭球 光波k与z轴夹角为 由于单轴晶体折射率椭球是一个旋转椭球 所以不失普遍性 可以选择坐标使k在yOz平面内 由此作出的中心截面 k 与椭球的交线椭圆 其短半轴长度与k的方向无关 不管k方向如何 均为no 长半轴长度则随k的方向而定 并且可以证明 其折射率ne 满足如下关系 3 1 52 图3 1 7单轴晶体折射率椭球作图法 图3 1 8折射率椭球在xOz面上的截线 3 双轴晶体双轴晶体中 xx yy zz或nx ny nz 因此折射率椭球方程为 3 1 53 若约定nx ny nz 则折射率椭球与xOz平面的交线椭圆 见图3 1 8 方程为 3 1 54 图3 1 9双轴晶体双光轴示意图 椭圆上任一点矢径r与x轴的夹角为 长度为n 且n的大小在nx和nz间随 变化 由于nx ny nz 所以总可以找到某一矢径r0 其长度为n ny 设这个r0与x轴的夹角为 0 则由 3 1 54 式可以确定 0满足 3 1 55 图3 1 10D矢量振动面的确定 图3 1 11图3 1 10中的 平面 2 折射率曲面折射率椭球可以用来确定与波法线方向k相应的两个传播模的折射率 但需要通过一定的作图过程才能实现 为了更直接地确定出与每一个波法线方向k相应的两个折射率 人们引入了折射率曲面 折射率曲面的矢径为r nk 其方向平行于给定的波法线方向k 长度则等于与k相应的两个传播模的折射率 因此 折射率曲面必定是一个双壳层曲面 实际上 根据折射率曲面的意义 3 1 11 式就是它在主轴坐标系中的极坐标方程 其直角坐标方程为 n2xx2 n2yy2 n2zz2 x2 y2 z2 n2x n2y n2z x2 n2y n2z n2x y2 n2z n2x n2y z2 n2xn2yn2z 0 3 1 58 这是一个四次曲面方程 对于单轴晶体 nx ny no nz ne 将其代入 3 1 58 式 得 3 1 60 图3 1 12单轴晶体的折射率曲面 a 正单轴晶体 b 负单轴晶体 图3 1 13双轴晶体折射率曲面在三个主轴截面上的截线 图3 1 14双轴晶体折射率曲面在第一卦限中的示意图 3 2介质损耗对光波传播的影响 光在介质中的传播规律都是以D E为基础的 其中 是实数 表示介质是无损耗的 实际上介质总是有损耗的 在这种情况下 介电常数张量是复数 应表示为 i 3 2 1 因为通常所讨论的电介质的损耗很小 因而可以将 的影响视为一个微扰 令n和E分别表示在忽略介质损耗情况下所得到的折射率和光电场矢量 按 3 1 9 式有 3 2 2 如果考虑到损耗 的影响 并令考虑到微扰影响后的折射率和光电场矢量分别为n 和E 则按 3 1 9 式应有 3 2 3 或 3 2 4 若将E 点乘 3 2 2 式 E点乘 3 2 4 式 并将所得二式相减 得到 或 3 2 5 这里已利用了恒等式 E E E E 3 2 6 3 3非线性光学耦合波方程 1 线性介质中单色平面波的波动方程如果只考虑介质的线性响应 极化强度复振幅P r 只包含线性极化强度复振幅 3 3 5 将上式代入 3 3 4 式后 就得到熟知的线性介质中的波动方程 3 3 6 式中 n 0 1 1 n 3 3 7 是介电常数张量 3 3 6 式的解是一个平面波 具体形式可写为 3 3 8 2 稳态情况下的非线性耦合波方程现在进一步考虑介质对光电场的响应包含非线性效应的情况 此时 极化强度的复振幅P n r 为P n r PL n r PNL n r 3 3 15 式中 PNL n r 是非线性极化强度频率为 n的傅里叶分量 这时 在介质无耗的情况下 3 3 6 式变为 3 3 16 3 3 17 式中 3 一般情况下的耦合波方程如果对光电场的时间和空间都进行傅里叶变换 即 3 3 25 式中 k和 分别为空间和时间角频率 将该E z t 关系式代入波动方程 3 3 1 式中 假定 0 即可得到 4 3 3 26 4 准单色波的非线性耦合波方程上面讨论了单色平面波在稳态条件下的耦合波方程 现在讨论相互作用波的振幅不仅是坐标的函数 而且还是时间函数的情况 即讨论时变振幅波的传播方程 假设所讨论光波是沿z方向传播的准单色波 其光电场为 3 3 27 则在 0时 该波满足的波动方程为 3 3 28 3 3 29 如果将E z t 用傅里叶积分表示为 则有 于是 3 3 28 式右边第一项因子可表示为 3 3 30 式中 vg dk d 1是群速度 将 3 3 29 式和 3 3 30 式代入 3 3 28 式 并利用 可以得到 3 3 31 3 3 32 该方程即是光电场的时间和空间变量都满足慢变化条件的准单色波的耦合波方程 3 4非线性介质中的场能量 1 瞬时电磁能密度由麦克斯韦方程组可以导出如下的电磁能量关系 3 4 1 式中 E H 是玻印亭 Poynting 矢量 利用D 0E P和B 0H关系 可将 3 4 1 式改写为 3 4 2 该式表明 单位时间流出单位体积的电磁能量等于电磁储能密度的减少率 如果介质的色散可以忽略不计 极化强度P可以写为 3 4 3 3 4 2 式可以简化为 3 4 4 式中 3 4 5 2 平均电磁能密度1 线性响应情况假定所讨论的光波是准单色波 其光电场表示式为 3 4 6 将表示成傅里叶积分 就有 3 4 7 相应的线性极化强度为 3 4 8 因此有 3 4 9 2 非线性响应情况如果进一步考虑到非线性响应 在能量关系中还应包含非线性附加项 例如 考虑介质中通过 2 进行的三波作用 这三个光波满足关系式 1 2 3 k1 k2 k3则利用 2 的完全对易对称性 可以得到由此过程引入的附加平均储能密度 3 4 13 该附加平均储能密度是由 得到的 当时 3 4 13 式简化为 3 4 14 3 5非线性光学相位匹配 3 5 1相位匹配的概念假定频率为 的基波射入非线性介质 由于二次非线性效应 将产生频率为2 的二阶非线性极化强度 该极化强度作为一个激励源将产生频率为2 的二次谐波辐射 并由介质输出 这就是二次谐波产生过程 或倍频过程 设介质对基波和二次谐波辐射的折射率为n1和n2 又设基波光电场表示式为 式中 3 5 1 则由二次非线性效应产生的频率为2 的极化强度表示式为 3 5 2 在写出第二个等式时 已利用了在介质无耗区内极化率张量的时间反演对称性 图3 5 1二次谐波产生过程示意图 3 5 2相位匹配方法1 晶体中的相位匹配1 角度相位匹配 临界相位匹配 1 角度相位匹配的概念 图3 5 2是负单轴晶体KDP中寻常光和非常光的色散曲线 可以看出 随着光波长的增长 折射率将减小 图3 5 2 KDP晶体的色散曲线 图3 5 3KDP晶体折射率曲面通过光轴的截面 图3 5 4石英晶体的色散曲线 图3 5 5石英晶体折射率曲面通过光轴的截面 2 相位匹配角的计算 共线相位匹配 首先讨论单轴晶体的相位匹配角的计算 按照入射基波的不同偏振方式 可将角度相位匹配分为两类 一类是入射的基波取单一的线偏振光 如寻常光 产生的二次谐波取另一种状态的线偏振光 如非常光 这种方式通常称为第 类相位匹配方式 表3 5 1单轴晶体的相位匹配条件 图3 5 6双轴晶体相位匹配方向示意图 非共线相位匹配 利用晶体的双折射特性实现共线相位匹配普遍地应用于可见光和近红外区域的二次谐波产生及和频 差频等过程 只有比较少的双折射晶体适合于远红外差频的产生 但有一些立方晶系的非线性半导体如 InSb GaAs CdTe 等 可以利用 CO2 激光产生远红外差频 图3 5 7非共线相位匹配波矢方向图 2 温度相位匹配 非临界相位匹配由上所述 角度相位匹配是简易可行的相位匹配方法 在二次谐波产生及其它混频过程中已被广泛地采用 但是 在应用角度相位匹配方法时 还存在着下面所述的一些问题 1 走离效应 通过调整光传播方向的角度实现相位匹配时 参与非线性作用的光束选取不同的偏振态 就使得有限孔径内的光束之间发生分离 例如 在二次谐波产生过程中 当晶体内光传播方向与光轴夹角 m时 寻常光的波法线方向与光线方向一致 而对于非常光 其波法线方向与光线方向不一致 在整个晶体长度中 使得不同偏振态的基波与二次谐波的光线方向逐渐分离 从而使转换效率下降 这就是走离效应 图3 5 8走离效应 2 输入光发散引起相位失配 实际上的光束都不是理想均匀平面波 而是具有一定的发散角 根据傅里叶光学 任一非理想的平面波光束都可视为具有不同方向波矢的均匀平面光波的叠加 而具有不同波矢方向的平面波不可能在同一相位匹配角 m方向达到相位匹配 3 输入光束的谱线宽度引起相位失配 混频或二次谐波产生过程的相位匹配角随着波长的不同而发生变化 实际上 任何一束光都是具有一定谱线宽度的非理想单色波 所有频率分量不可能在同一个匹配角下达到相位匹配 同样 可以根据 3 5 34 式定义一个二次谐波接受线宽 3 5 36 图3 5 990 相位匹配时的折射率曲面 图3 5 10LiNbO3晶体在匹配温度下的色散曲线 2 气态工作物