第4章 矩阵的广义逆.ppt

第4章矩阵的广义逆 的形式 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广 这种推广的必要性 是线性方程组的求解问题的实际需要 设有线性方程组 1920年穆尔 Moore 首先提出了广义逆矩阵的概念 但其后的30年未引起人们的重视 直到1955年彭诺斯 Penrose 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期 其理论和应用得到了迅速发展 已成为矩阵论的一个重要分支 广义逆矩阵在数理统计 最优化理论 控制理论 系统识别 数字图象处理等许多领域都具有重要应用 1 第4章矩阵的广义逆 4 1Moore Penrose广义逆矩阵 4 2广义逆矩阵 4 3广义逆矩阵A 1 2 4 4广义逆矩阵A 1 3 4 5广义逆矩阵A 1 4 4 6M P广义逆矩阵 4 7广义逆在解线性方程组中的应用 4 8几种计算的直接方法 2 线性方程组一般理论复习 定理A 线性方程组Ax b A Cn n x b Cn对任意右端b都有唯一解的充要条件是A 1存在 证 必要性令Ax i ei i 1 n X x 1 x n Cn n其中ei为En的第i列 今后将常用此记号 则AX Ax 1 Ax n e1 en En A 1 X 充分性若A 1存在 则对任意右端bAx b x A 1b即x A 1b是线性方程组Ax b的唯一解 本章着重介绍广义逆矩阵的概念 性质 计算方法和应用 3 减号逆 若一般线性方程组Ax b A Cm n x Cn b Cm 1 对任意b R A 的解都可表示为x A b 则矩阵A Cn m称为A的一个减号逆 因为当A Cnn n时 1 的解都可表示为x A 1b 所以 在此情形下A有唯一减号逆 A A 1 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广 4 减号逆举例 例 A C2 3有下列两个实质不同的减号逆 A 或证 易见两种情形都有AA E2 从而 对任意b C2 AA b b Ax b有解x A b C2即对任意b R A C2 Ax b的解都可表示为x A b所以 这两个A 都是A的减号逆 注 此例说明减号逆一般不唯一 5 矩阵的单边逆 6 命题1 2 同理可证 7 推论 初等变换求左 右 逆矩阵 8 9 例1 解 10 例2 解 4 1Moore Penrose广义逆矩阵 4 1 1广义逆矩阵的基本概念 满足 1 2 3 4 定义1 11 4个方程的全部或一部分 则称G为A的一个广义逆矩阵 并把上面4个方程叫做穆尔 彭诺斯 M P 方程 进一步 如果G满足M P的4个方程式 则G称为A的穆尔 彭诺斯广义逆 记为 一般地 如果G满足4个M P方程式中的第个 则称G为A的一种弱逆 记为 12 2 满足方程 1 与 2 的广义逆矩阵类记为 其中任意一个确定的广义逆 称为自反减号逆 记为 3 满足方程 1 与 3 的广义逆矩阵类记为 其中任意一个确定的广义逆 称为最小范数广义逆 记为 4 满足方程 1 与 4 的广义逆矩阵类记为 其中任意一个确定的广义逆 称为最小二乘广义逆 记为 5 满足全部4个M P方程的广义逆矩阵类记为 下面分别介绍这5类广义逆矩阵 13 问题的引入 4 2广义逆矩阵 则一定是解 那么称是的一种广义逆 定理1 14 定理1 15 4 2 1广义逆的定义和构造 16 显然 减号广义逆不唯一 并且减号逆是普通逆矩阵的推广 17 所以 所以 反过来 对任意的 若满足 18 的任意矩阵 由于 19 故 所以 20 由例2可知 注意到 对矩阵 进行初等变换 E的位置记录了对A进行变换的过程 说明 1 式实际上是A的秩分解 2 定理2告诉我们的一般形式 从而告诉我们有解方程组AX b的一般解 21 22 23 24 的一个减号逆 25 定理3 定理4 4 2 2广义逆的性质 故 同理 32 4 3广义逆矩阵A 1 2 33 自反广义逆 4 3 1广义逆A 1 2 的定义及存在性 34 结论成立 4 3 2广义逆A 1 2 的性质 证明充分性法一 定理7 37 定理10 定理11 41 10 11 定理12 定义6 42 4 3 3广义逆A 1 2 的构造 定理13 43 44 45 46 解因为 47 解因为 48 解因为 49 故 50 4 4广义逆矩阵A 1 3 4 4 1广义逆A 1 4 的定义和构造 51 即得 52 从而 的最小二乘广义逆 其次证明对任意的最小二乘广义逆 所以 53 定理18 证明 7 54 55 56 4 5广义逆矩阵A 1 4 4 5 1广义逆A 1 4 的定义和构造 57 58 即 即 式 因为 59 60 61 从而 显然 最小范数广义逆不唯一 不同方法获得不同结果 就是解法一结果 62 定理21 证明 63 4 6 1M P广义逆存在及性质 4 6M P广义逆矩阵 64 定理22对任意A Cm n A 存在且唯一 证存在性 当A O时 显然存在 就是零矩阵 当A是非零矩阵时 设rankA r A的最大秩分解为A BC 则 说明和是满秩的r阶方阵 现在来证就是 事实上 65 广义逆矩阵的计算 可见 唯一性 设和均满足方程 1 4 66 则 证毕 67 定理23 证明 69 定理23的证明过程告诉我们若A Cm n rankA r A BC是A的最大秩分解 则 70 类似地 若rankA n 则 例10设 求 解因为而 特别地 若rankA m 则 因为此时A的最大秩分解为 因为此时A的最大秩分解为 72 所以 73 例11设 求 解 列数 74 例12设 求 解因为 所以 于是有 从而 75 76 定理24 证明 77 78 定理25 证明 79 4 6 2M P广义逆几种显示表示 是两个加号逆 于是 同理 所以 故加号逆是唯一的 80 定理27 证明 81 定理28 82 4 7广义逆在解线性方程组中的应用 83 4 7 1线性方程组求解问题的提法 84 85 86 4 7 2广义逆应用于解线性方程组 87 推论2 证明 定理29 证明 88 意向量 89 的通解 从而方程的任意一个解均可表示为 性方程组总是有解的 特别地 当时 为齐次线性方程组 而齐次线 90 解方程组的系数矩阵与常数列为 由于 所以方程组是相容的 并且有减号逆 故所求方程组的通解为 91 92 恒有 所以 是不相容方程组 的最小二乘解 4 7 3广义逆应用于解线性方程组 93 94 95 推论4 96 97 4 7 4广义逆应用于解线性方程组 引论1 证明 98 求得的最小范数解是唯一的 99 由于 而且 同理 所以 100 所以 方程组的最小范数解为 101 4 7 5M P广义逆用于解线性方程组 102 即可 事实上 引理 证明