第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则.ppt

可以证明 对于一个给定的位移模式 其刚度系数的数值比精确值要大 所以 在给定的载荷之下 有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小 因而 当单元网格分得越来越细时 位移的近似解将由下方收敛于精确解 即得到真实解的下界 第七节收敛准则 对于一个数值计算方法 一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解 根据前面的分析 我们知道 在有限元分析中 一旦确定了单元的形状之后 位移模式的选择将是非常关键的 由于载荷的移置 应力矩阵和刚度矩阵的建立等等 都依赖于单元的位移模式 所以 如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别 那么就很难获得良好的数值解 第四章平面问题的有限单元法 位移模式必须能包含单元的常应变 每个单元的应变一般都是包含着两个部分 一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变 即所谓各点的变应变 另一部分是与位置坐标无关的应变 即所谓的常应变 从物理意义上看 为了保证解答的收敛性 要求位移模式必须满足以下三个条件 即 位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说 当节点位移是由某个刚体位移所引起时 弹性体内将不会产生应变 所以 位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力 例如 三角形三节点单元位移模式中 常数项 1 4就是用于提供刚体位移的 第四章平面问题的有限单元法 位移模式在单元内要连续 且在相邻单元之间的位移必须协调 当选择多项式来构成位移模式时 单元内的连续性要求总是得到满足的 单元间的位移协调性 就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象 通常 当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时 就可以保证位移的协调性 当单元尺寸无限缩小时 每个单元中的应变应该趋于常量 因此 在位移模式中必须包含有这些常应变 否则就不可能使数值解收敛于正确解 很显然 三角形三节点单元位移模式中 与 2 3 5 6有关的线性项就是提供单元中的常应变的 第四章平面问题的有限单元法 在有限单元法中 把能够满足条件1和2的单元 称为完备单元 满足条件3的单元 叫做协调单元或保续单元 前面讨论过的三角形单元和矩形单元 均能同时满足上述三个条件 因此都属于完备的协调单元 在某些梁 板及壳体分析中 要使单元满足条件3比较困难 所以实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元 其收敛性往往也能够令人满意特别是放松条件3的单元 即完备而不协调的单元 已获得了很多成功的应用 对于不协调单元 其主要的缺点是不能事先确定其刚度与真实刚度之间的大小关系 但值得指出的是 不协调单元一般不象协调单元那样刚硬 即比较柔软 因此有可能会比协调单元收敛得快 在选择多项式作为单元的位移模式时 其阶次的确定 要考虑解答的收敛性 即单元的完备性和协调性要求 实践证明 这两项确实是所要考虑的重要因素 但并不是唯一的 第四章平面问题的有限单元法 因素 选择多项式位移模式阶次时 需要考虑的另一个因素是 所选的模式应该与局部坐标系的方位无关 这一性质称为几何各向同性 对于线性多项式 各向同性的要求通常就等价于位移模式必须包含常应变状态 对于高次位移模式 就是不应该有一个偏惠的坐标方向 也就是位移形式不应该随局部坐标的更换而改变 经验证明 实现几何各向同性的一种有效方法是 根据如图所示的巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项 在二维多项式中 如果包含有对称轴一边的某一项 那么就必须同时包含有另一边的对称项 选择多项式位移模式时 还应该要考虑的一个因素 多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数 通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等 取过多的项数是不恰当的 第四章平面问题的有限单元法 第四章平面问题的有限单元法 第八节有限元分析的步骤 根据前面的讨论 现以三角形常应变单元为例来说明应用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤 力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型 并按一定比例绘制结构图 注明尺寸 载荷和约束情况等 将计算对象进行离散化 即弹性体划分为许多三角形单元 并对节点进行编号 确定全部节点的坐标值 对单元进行编号 并列出各单元三个节点的节点号 计算载荷的等效节点力 要求的输入信息 由各单元的常数bi ci bj cj bm cm及行列式2 计算单元刚度矩阵 组集整体刚度矩阵 即形成总刚的非零子矩阵 处理约束 消除刚体位移 第四章平面问题的有限单元法 求解线性方程组 得到节点位移 计算应力矩阵 求得单元应力 并根据需要计算主应力和主方向 整理计算结果 后处理部分 为了提高有限元分析计算的效率 达到一定的精度 应该注意以下几个方面 一 对称性的利用 在划分单元之前 有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况 以便确定是取整个物体 还是部分物体作为计算模型 第四章平面问题的有限单元法 例如 图4 11 a 所示受纯弯曲的梁 其结构对于x y轴都是几何对称的 而所受的载荷则是对于x轴对称 对于x轴反对称 可知 梁的应力和变形也将具有同样的对称特性 所以只需取1 4梁进行计算即可 取分离体如图4 11 b 所示 对于其它部分结构对此分离体的影响 可以作相应的处理 即对处于y轴对称面内各节点的x方向位移都设置为零 而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都设置为零 这些条件就等价于在图4 11 b 中相应节点位置处施加约束 图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移 第四章平面问题的有限单元法 节点的布置是与单元的划分互相联系的 通常 集中载荷的作用点 分布载荷强度的突变点 分布载荷与自由边界的分界点 支承点等都应该取为节点 并且 当物体是由不 二 节点的选择及单元的划分 图4 11 第四章平面问题的有限单元法 节点的多少及其分布的疏密程度 即单元的大小 一般要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑 从计算结果的精度上讲 当然是单元越小越好 但计算所需要的时间也要大大增加 另外 在微机上进行有限元分析时 还要考虑计算机的容量 因此 在保证计算精度的前提下 应力求采用较少的单元 为了减少单元 a b 图4 12 同的材料组成时 厚度不同或材料不同的部分 也应该划分为不同的单元 第四章平面问题的有限单元法 在进行节点编号时 应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小 以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽 节省存储 提高计算效率 如前所述 平面问题的半带宽为B 2 d 1 在划分单元时 对于应力变化梯度较大的部位单元可小一些 而在应力变化比较平缓的区域可以划分得粗一些 还有一点值得注意的是 单元各边的长度不要相差太大 以免出现过大的计算误差或出现病态矩阵 例如 图4 12所示的 a b 两种单元划分 虽然都是同样的四个节点 但 a 的划分方式显然要比 b 的方式好 三 节点的编号 第四章平面问题的有限单元法 若采取带宽压缩存储 则整体刚度矩阵的存储量N最多为N 2nB 4n d 1 其中 d为相邻节点的最大差值 n为节点总数 例如在图4 13中 a 与 b 的单元划分相同 且节点总数都等于14 但两者的节点编号方式却完全不同 a 是按长边进行编号 d 7 N 488 而 b 是按短边进行编号 d 2 N 168 显然 b 的编号方式可比 a 的编号方式节省280个存储单元 a b 图4 13 第四章平面问题的有限单元法 四 单元节点i j m的次序 在前面章节中 我们曾指出 为了在计算中保证单元的面积 不会出现负值 节点i j m的编号次序必须是逆时针方向 事实上 节点i j m的编号次序是可以任意安排的 只要在计算刚度矩阵的各元素时 对 取绝对值 即可得到正确的计算结果 在实际计算时 应该注意所选有限元分析软件的使用要求 五 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时 已经提到 整体刚度矩阵的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移 以达到求解的目的 第四章平面问题的有限单元法 一般情况下 求解的问题 其边界往往已有一点的位移约束条件 本身已排除了刚体运动的可能性 否则的话 就必须适当指定某些节点的位移值 以避免出现刚体位移 这里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法 这两种方法都可保持原 K 矩阵的稀疏 带状和对称等特性 下面我们来实际考察一个只有四个方程的简单例子 保持方程组为2n 2n系统 仅对 K 和 R 进行修正 例如 若指定节点i在方向y的位移为vi 则令 K 中的元素k2i 2i为1 而第2i行和第2i列的其余元素都为零 R 中的第2i个元素则用位移vi的已知值代入 R 中的其它各行元素均减去已知节点位移的指定值和原来 K 中该行的相应列元素的乘积 第四章平面问题的有限单元法 假定该系统中节点位移u1和u2分别被指定为 当引入这些节点的已知位移之后 方程 a 就变成 然后 就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移 显然 其解答仍为原方程 a 的解答 u1 1 u2 2 第四章平面问题的有限单元法 将 K 中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个大数 如1015 同时将 R 中的对应元素换成指定的节点位移值与该大数的乘积 实际上 这种方法就是使 K 中相应行的修正项远大于非修正项 若把此方法用于上面的例子 则方程 a 就变成 事实上 该方程组的第一个方程为 第四章平面问题的有限单元法 第九节计算实例 图4 14所示为一厚度t 1cm的均质正方形薄板 上下受均匀拉力q 106N m 材料弹性模量为E 泊松比 不记自重 试用有限元法求其应力分量 例1 第四章平面问题的有限单元法 解 力学模型的确定 结构离散 由于此结构长 宽远大于厚度 而载荷作用于板平面内 且沿板厚均匀分布 故可按平面应力问题处理 考虑到结构和载荷的对称性 可取结构的1 4来研究 该1 4结构被离散为两个三角形单元 节点编号 单元划分及取坐标如图4 15所示 其各节点的坐标值见表4 1 求单元的刚度矩阵 计算单元的节点坐标差及单元面积单元 i j m1 2 3 第四章平面问题的有限单元法 计算各单元的刚度矩阵先计算用到的常数 代入可得 第四章平面问题的有限单元法 所以单元1的刚度矩阵为 1 2 3 1 2 3 第四章平面问题的有限单元法 由于单元2若按3 4 1对应单元1的1 2 3排码时 则这两个单元刚度矩阵内容完全一样 故有 3 4 1 3 4 1 第四章平面问题的有限单元法 组集整体刚度矩阵 由于 Krs Ksr T 又单元1和单元2的节点号按1 2 3对应3 4 1 则可得 按刚度集成法可得整体刚度矩阵为 第四章平面问题的有限单元法 第四章平面问题的有限单元法 所以组集的整体刚度矩阵为 第四章平面问题的有限单元法 先求出各单元的应力矩阵 S 1 S 2 然后再求得各单元的应力分量 6 计算各单元应力矩阵 求出各单元应力 单元应力可看作是单元形心处的应力值 第四章平面问题的有限单元法 7 引入约束条件 修改刚度方程并求解 根据约束条件 u1 v1 0 v2 0 u4 0和等效节点力列阵 并代入刚度方程 划去 K 中与0位移相对应的1 2 4 7的行和列 则刚度方程变为 求解上面方程组可得出节点位移为 所以 第四章平面问题的有限单元法 例2 图4 16所示为一平面应力问题离散化以后的结构图 其中图 a 为离散化后的总体结构 图 b 为单元1 2 3 4的结构 图 c 为单元3的结构 用有限元法计算节点位移 单元应变及单元应力 为简便起见 取泊松比 单元厚度t 1 图4 16计算实例2的结构图 第四章平面问题的有限单元法 首先求确定各单元刚度所需的系数及面积A 对于单元1 2 4有 解 对于单元3有 第四章平面问题的有限单元法 其次 求出各单元的单元刚度矩阵 对于1 2 4单元 其单元刚度矩阵为 i j m i j m 第四章平面问题的有限单元法 各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关系见表4 2 对于单元3 其单元刚度矩阵为 i j m i j m 第四章平面问题的有限单元法 表4 2 第四章平面问题的有限单元法 将各单元刚度矩阵按节点总数及相应的节点号关系扩充成12 12矩阵 分别如下 第四章平面问题的有限单元法 第四章平面问题的有限单元法 第四章平面问题的有限单元法