第7章 非线性回归.doc

7.4非线性回归分析7.4.1统计学上的定义及计算公式定义：研究在非线性相关条件下，自变量对因变量的数量变化关系，称为非线性回归分析。在实际问题中，变量之间的相关关系往往不是线性的，而是非线性的，因而不能用线性回归方程来描述它们之间的相关关系，而要采用适当的非线性回归分析。非线性回归问题大多数可以化为线性回归问题来求解，也就是通过对非线性回归模型进行适当的变量变换，使其化为线性模型来求解。一般步骤为：1,根据经验或者绘制散点图，选择适当的非线性回归方程；2,通过变量置换，把非线性回归方程化为线性回归；3,用线性回归分析中采用的方法来确定各回归系数的值；4,对各系数进行显著性检验。计算公式如下：在本届中介绍几种常见的非线性回归1,双曲线模型若因变量y随自变量x的增加（或减少），最初增加（或减少）很快，以后逐渐放慢并趋于稳定，则可以选用双曲线来拟合。双曲线模型形式是：线性化方法：令则转化为线性回归方程：2.幂函数模型幂函数模型的一般形式线性化方法：令则转化为线性回归方程：3.指数函数模型指数函数用于描述几何级数递增或递减的现象。一般的自然增长及大多数经济数列属于此类。指数函数模型为线性化方法：令则转化为线性回归方程：4.对数函数模型对数函数是指数函数的反函数，其方程形式为线性化方法：令则转化为线性回归方程：5.多项式模型多项式模型在非线性回归分析中占有重要的地位。因为根据级数展开的原理，任何曲线、曲面、超曲面的问题，在一定的范围内都能够用多项式任意逼近。所以，当因变量与自变量之间的确定关系未知时，可以用适当幂次的多项式来近似反应。当所涉及的自变量只有一个时，所采用的多项式方程称为一元多项式，其一般形式为线性化方法：利用最小二乘法确定系数 代入原方程即可。说明：最后，并不是所有的非线性模型都可以通过变换得到与原方程完全等价的线性模型。在遇到这种情况时，还需要利用其他一些方法如泰勒级数展开法等去进行估计。7.4.2SPSS实现过程研究问题研究民用汽车总量与国内生产总值的关系。数据如表7-3所示。（资料来源：中国统计年鉴2007，中国统计出版社，2007年）实现步骤步骤1 首先，绘制自变量x（国内生产总值）与因变量y（民用汽车总量）之间的散点图。把表7-3中的数据一一输入SPSS数据编辑窗口，并存为“多元线性回归分析.sav”文件，研究国内生产总值对民用汽车总量的影响。在“图形”菜单中“旧对话框”子菜单中选择“散点/点状”命令，弹出“散点/点状”对话框。在“散点/点状”对话框中选择“简单分布”，单击“定义”按钮，弹出“简单分布图”对话框。在“简单分布图”对话框中，把左侧的x,y这两个变量分别通过单击按钮使之添加到右侧的“X轴”和“Y轴”框中，表示散点图将分别把国内生产总值与民用汽车总量绘制在X轴和Y轴上。其他选项不改变，以SPSS默认的为准，如图7-9所示。步骤2 单击“”按钮，开始绘图。绘图结果如图7-10所示。从上面的散点图可以看出，民用汽车总量（y）随着国内生产总值（x）的提高而逐渐提高，而且当国内生产总值达到一定水平后，民用汽车总量的增幅更加明显。因此，用线性回归模型表示民用汽车总量（y）与国内生产总值（x）的关系是不恰当的。从上面散点图的形状特征，可以推断它与Cubic（三次函数）和Power（幂函数）两种曲线比较类似。但究竟这两种曲线中哪一种与样本观察值的拟合优度更高，还需作进一步判断。步骤3 为了进一步判断民用汽车总量与国内生产总值之间的关系，重新回到SPSS数据编辑窗口。在“分析”菜单的“回归”子菜单中选择“曲线估计”命令，弹出“曲线估计”对话框（一）。图7-9“曲线估计”对话框图表：图7-10 散点图在弹出的“曲线估计”对话框（一）中，从左侧的变量列表中选择y变量（民用汽车总量），单击按钮使之添加到“因变量”框中，表示该变量是因变量。选择x变量（国内生产总值），单击按钮使之添加到“变量”框中，表示其为自变量，如图7-11所示。“模型”框内列出了11种曲线模型。图7-11 “”对话框（一）“在等式中包含常量”框表示在输出结果中将列出常数项“b0”。“根据模型进行绘制”框表示将绘制观察值和预测值的对比图。“显示ANOVA表格”框表示作回归方程显著性检验，并输出相应的方差分析表。这里选择“模型”框内的“Cubic”（三次函数）和“Power”（幂函数）这两种曲线模型进行非线性回归分析估计：同时选择“在等式中包含常量”项和“根据模型进行绘制”项。步骤4 单击“确定”按钮，即可得到SPSS回归分析结果。7.4.3结果和讨论SPSS输出结果文件如下。（1） 第一部分输出相关统计量和参数的值，如下表所示。模型摘要和参数估算因变量: 民用汽车总值 方程式模型摘要参数估计值R 平方Fdf1df2显著性常量b1b2b3立方(U).9971290.705313.000526.423.0021.107E-7-2.426E-13幂.956324.417115.000.270.762自变量为 国内生产总值。从这部分结果可以看出，在所选的立方，幂这种曲线函数中，立方的拟合优度更高（其R2统计量的值为0.997），所以选择3次函数拟合国内生产总值和民用汽车总量之间的关系，下面还将进一步结合观察值和这两种函数模型预测值得对比图加以证实。（2） 第二部分输出的是观察值和立方，幂两种曲线预测值得对比图，如图7-12所示。从对比图可以看出立方曲线的拟合优度的确比幂曲线的要高。因此，决定在此研究问题中，选