不等式带详细解析).doc

不等式考点阐释不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.试题类编2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是解析：原不等式等价于： 0x15.（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是解析：3a+3b2=6，当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件11（1997全国，14）不等式组的解集是当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6即2x0 注意0x2，得0x2综上得0x，评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 . 解析一：令=t（t0）由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3.故ab9.解析二：由已知得abb=a+3，b（a1）=a+3，b=（a1）ab=a=（a1）+1=a+3+=a1+4+=a1+52+5=9.当且仅当a1=时取等号.即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是（9，+）.评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，求函数的值域.15.（1995全国理，16）不等式（）32x的解集是_.答案：x|2x4解析：将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4评述：此题考查指数不等式的解法.16.（1995上海，9）不等式1的解是 .答案：x3或x4解析：变形得0，即0，所以x3或x4图217.已知则的最小值是 .解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。18，在约束条件下，当时，目标函数C的最大值的变化范围是,解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）ax，其中a0（1）解不等式f（x）1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间0，）上是单调函数.（1）解法一：不等式f（x）1，即1ax，由此得11ax，即ax0，其中常数a0.所以，原不等式等价于即所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0x；当a1时，所给不等式的解集为x|x0.解法二：利用数形结合f（x）1即1ax图62设y，y2x21（y0）设yax1所研究的问题为直线l：yax1位于双曲线C：y2x21上半支上方时x的范围，如图62所示：当0a1时，直线l与双曲线C有两个交点，其对应横坐标分别为：x0，x0x当a1时，直线l与双曲线C只有（0，1）一个交点，只要x0，原不等式就成立综合，所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0x；当a1时，所给不等式的解集为x|x0（2）在区间0，上任取x1，x2，使得x1x2当a1时，a0，又x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.所以，当a1时，函数f（x）在区间0，）上是单调递减函数.当0a1时，在区间0，）上存在两点x10，x2，满足f（x1）1，f（x2）1，即f（x1）f（x2），所以函数f（x）在区间0，）上不是单调函数.综上，当且仅当a1时，函数f（x）在区间0，）上是单调函数.评述：本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.图6128（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0）得b=（0a30于是当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0）即a+2b+ab=30（a0，b0）a+2b2 2ab30当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.2b218解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）ax2bx+c（a0），方程f（x）x0的两根x1、x2满足0x1x2（）当x（0，x1）时，证明：xf（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0.证明：（1）令F（x）=f（x）x，由x1、x2是方程f（x）x=0的两根，有F（x）=a（xx1）（xx2）当x（0，x1）时，由x1x2，及a0，有F（x）=a（xx1）（xx2）0，即F（x）=f（x）x0，f（x）x又x1f（x）=x1xF（x）x1xa（xx1）（xx2）（x1x）1a（xx2）因为0xx1x2所以x1x0，1a（xx2）1axax21ax20得x1f（x），所以xf（x）x1.（2）依题意x0，因x1、x2是f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2（b1）x+c=0的根所以x1x2，因为ax21，即ax210，故x0评述：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查证明不等式的方法.33（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2bxc，g（x）=ax+b，当1x1时，|f（x）|1（）证明：|c|1；（）证明：当1x1时，|g（x）|2；（）设a0，当1x1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.（）证明：由条件当1x1时，|f（x）|1，取x=0，得|c|f（0）|1，即|c|1（）证明：当a0时，g（x）=ax+b在1，1上是增函数，所以g（1）g（x）g（1），因为|f（x）|1 （1x1），|c|1，所以g（1）=a+b=f（1）c 3 |f（1）|c|2，g（1）a+b=f（1）+c（|f（1）|c|）2，由此得|g（x）|2；当a0时，g（x）=ax+b在1，1上是减函数，所以g（1）g（x）g（1），因为|f（x）|1 （1x1），|c|1，所以g（1）=a+b=f（1）+c|f（1）|c|2，g（1）=a+b=f（1）c（|f（1）|c|）2，由此得|g（x）|2；当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c，因为1x1，所以|g（x）|=|f（1）c|f（1）|+|c|2；综上，得|g（x）|2；（）解：因为a0，g（x）在1，1上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g（1）=a+b=f（1）f（0）=2，因为1f（0）f（1）2121，所以c=f（0）=1.因为当1x1时，f（x）1，即f（x）f（0），据二次函数性质，直线x=0为二次函数f（x）的图象的对称轴，故有0，即b=0，a=2，所以f（x）=2x21评述：本题考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查特殊化思想、数形结合思想.34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a0，且a1），x0，+）.若x1，x20，+），判断f（x1）+f（x2）与f（）的大小，并加以证明.解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=logax1x2x10，