2014年中考二次函数综合压轴题.doc

2014年中考二次函数综合压轴题1（南充）如图，抛物线y=x+bx+c与直线y=x1交于A、B两点.点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，(3)是否存在点P,使PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.分析（1）由x=0时带入y=x1求出y的值求出B的坐标，当x=3时，代入y=x1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2SBPD建立方程求出其解即可（3）如图2，当APD=90时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由APDFCD就可与求出结论，如图3，当PAD=90时，作AEx轴于E，就有，可以表示出AD，再由PADFEA由相似三角形的性质就可以求出结论解：（1）y=x1，x=0时，y=1，B（0，1）当x=3时，y=4，A（3，4）y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点，抛物线的解析式为：y=x2+4x1；（2）P点横坐标是m（m0），P（m，m2+4m1），D（m，m1）如图1，作BEPC于E，BE=mCD=1m，OB=1，OC=m，CP=14mm2，PD=14mm21+m=3mm2，解得：m1=0（舍去），m2=2，m3=；如图1，作BEPC于E，BE=mPD=14mm2+1m=24mm2，解得：m=0（舍去）或m=3，m=，2或3时S四边形OBDC=2SBPD；（3）如图2，当APD=90时，设P（a，a2+4a1），则D（a，a1），AP=m+4，CD=1m，OC=m，CP=14mm2，DP=14mm21+m=3mm2在y=x1中，当y=0时，x=1，（1，0），OF=1，CF=1mAF=4PCx轴，PCF=90，PCF=APD，CFAP，APDFCD，解得：m=1舍去或m=2，P（2，5）如图3，当PAD=90时，作AEx轴于E，AEF=90CE=3m，EF=4，AF=4，PD=1m（14mm2）=3m+m2PCx轴，DCF=90，DCF=AEF，AECD，AD=（3m）PADFEA，m=2或m=3P（2，5）或（3，4）与点A重合，舍去，P（2，5）点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点2.（宜宾） 如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式；第24题图 (2)判断MAB的形状，并说明理由； (3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点， 连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由3（成都）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？4（重庆）25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PMy轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当BCM的面积最大时，求BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。5（南充）如图，抛物线y=x+bx+c与直线y=x1交于A、B两点.点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，(3)是否存在点P,使PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.APDBCOy（第25题图）x6.（浙江）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC轴，OA=OC=4，以直线为对称轴的抛物线过A，B，C三点。（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线的解析式为，它与轴交于点G，在梯形ABCD的一边上取点P。当时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH直线于点H，连结OP，试求OPH的面积；当时，过点P分别作轴，直线的垂线，垂足为E，F。是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。7.（浙江丽水）如图，二次函数的图象经过点（1，4），对称轴是直线，线段AD平行于轴，交抛物线于点D。在轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA， OB，OD，BD。（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使EODAOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将BPF沿边PF翻折，使BPF与DPF重叠部分的面积是BDP的面积的？8. （菏泽市）在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x2-2mx+m2-9(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；(2)该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OAOB，与y轴的交点坐标为（O，-5），求此抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MCx轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD,PD，作PEPD交x轴与点E,问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：(l)=(-2m)2 -4(m2 -9) =4m2-4m2+36 =36 0，所以无论m为何值，一元二次方程x2 -2mx+m2-9 =0总有两个不相等的实数根； 2分说明：指出抛物线开口向上，顶点在x轴下方，所以该 抛物线与x轴总有两交点 （亦可）(2) 抛物线y=x2-2mx+m2-9与y轴交点生标为（0，-5）， -5=m2-9解得m=t2. 抛物线y=x2-mx+m2-9与x轴交于A，B两点,点A在点B 的左侧，且0AOB21 m=2 抛物线的解析式为y =x2-4x-55分 (3)假设点E存在， MCEM，CDMC，EMP= PCD. PE PDEPM=PDC.PE= PDEPMPDC.PM=DC,EM=PD.该抛物线y=x2-4x-5的对称轴x=2，N(2，O)，A（一l，O），B(5，0)设C(x0 ,y0)，则D(4-x0，y0),P(x0, y0)(其中一lx02,y0=x02-4x0-5)由CD= PM 得4 - 2xo=一y0即4 - 2x0=一( x02-4x0-5).解得x0=1或x0=1l（舍去）M(1，O)，C（1，一8） P（1，一2） PC =6ME= PC=6 E(7，O)点E存在其坐标为(7，O)10分（泸州市）如图，已知一次函数的图象l与二次函数的图象都经过点B（0,1）和点C，且图象过点A（，0）.（1）求二次函数的最大值；（2）设使成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程的根，求a的值；（3）若点F、G在图象上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P 的坐标.（1）将A、B代入，解得m=4，b=1,即l：；： ，即; （2）由与联立 ，求得C（，）s=1+2+3=6，代入方程得解得a=;（3）作EHDG，作D关于x轴的对称点,连接交x轴于P，P即为所求坐标.由斜率得,又因DE=，故HE=2，四边形DEFG为梯形，要使面积最大，则GD+EF最大，设D(x，) ，则G(x，)，E，FGD+EF=-（）+-=当x=时，四边形DEFG面积最大；即D(,)、E(,)(,-)=令y=0，解得x=,P(，0)济宁市如图，抛物线与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线于点C；（1） 求该抛物线的解析式；（2） 求点A关于直线的对称点的坐标，判定点是否在抛物线上，并说明理由；（3） 点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明（第22 题）理由. 解：（1）与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点， 解得抛物线的解析式为.3分（2） 过点作x轴于E，AA/与OC交于点D，点C在直线y=2x上， C（5，10）点A和关于直线y=2x对称，OC，=AD.OA=5，AC=10,., .5分在和Rt中，+=90，ACD+=90， （第22题）=ACD.又=OAC=90，.即.=4，AE=8.OE=AEOA=3.点A/的坐标为（3,4）.7分当x=3时，.所以，点A/在该抛物线上.8分（3） 存在.理由：设直线的解析式为y=kx+b, 则，解得直线的解析式为.9分设点P的坐标为，则点M为.PMAC，要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方， . 解得（不合题意,舍去）当x=2时，.当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.11分福州市如图，抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标. 【答案】（1）顶点D的坐标为（3，-1）.令y=0，得(x-3)2-1=0，解得x1=3+，x2=3-.点A在点B的左侧，A点坐标(3-，0)，B点坐标（3+，0）.（2）过D作DGy轴，垂足为G.则G（0，-1），GD=3.令x=0，则y=，C点坐标为（0，）.GC=-(-1)=.设对称轴交x轴于点M.OECD，GCD+COH=90.MOE+COH=90，MOE=GCD.又CGD=OMN=90，DCGEOM.EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，AE2+AD2=6+3=9=ED2.AED是直角三角形，即DAE=90.设AE交CD于点F.ADC+AFD=90.又AEO+HFE=90，AFD=HFE，AEO=ADC.（3）由E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1.要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.y=(x-3)2-1，(x-3)2=2y+2.EP2=2y+2+y2-4y+4 =(y-1)2+5.当y=1时，EP2最小值为5.把y=1代入y=(x-3)2-1，得(x-3)2-1=1，解得x1=1，x2=5.又点P在对称轴右侧的抛物线上，x1=1舍去.点P坐标为(5，1).此时Q点坐标为（3，1）或(). （2014泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=x2+mx+b的图象C都经过点B（0，1）和点C，且图象C过点A（2，0）（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标分析：（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2y1成立的x的取值范围为0x，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标如答图2，作点D关于x轴的对称点D，连接DE，与x轴交于点P根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小利用待定系数法求出直线DE的解析式，进而求出点P的坐标解答：解：（1）二次函数y2=x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2，0），解得l：y1=x+1；C：y2=x2+4x+1y2=x2+4x+1=（x2）2+5，ymax=5；（2）联立y1与y2得：x+1=x2+4x+1，解得x=0或x=，当x=时，y1=+1=，C（，）使y2y1成立的x的取值范围为0x，s=1+2+3=6代入方程得解得a=；（3）点D、E在直线l：y1=x+1上，设D（p，p+1），E（q，q+1），其中qp0如答图1，过点E作EHDG于点H，则EH=qp，DH=（qp）在RtDEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（qp）2+（qp）2=（）2，解得qp=2，即q=p+2EH=2，E（p+2，p+2）当x=p时，y2=p2+4p+1，G（p，p2+4p+1），DG=（p2+4p+1）（p+1）=p2+p；当x=p+2时，y2=（p+2）2+4（p+2）+1=p2+5，F（p+2，p2+5）EF=（p2+5）（p+2）=p2p+3S四边形DEFG=（DG+EF）EH=（p2+p）+（p2p+3）2=2p2+3p+3当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，D（，）、E（，）如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D，则D（，）；连接DE，交x轴于点P，PD+PE=PD+PE=DE，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小设直线DE的解析式为：y=kx+b，则有，解得直线DE的解析式为：y=x令y=0，得x=，P（，0）（2014济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出对称点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A是否在抛物线上本问关键在于求出A的坐标如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形RtAEARtOAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A的坐标；（3）本问为存在型问题解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解解答：解：（1）y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，解得抛物线的解析式为y=x2x（2）如答图所示，过点A作AEx轴于E，AA与OC交于点D，点C在直线y=2x上，C（5，10）点A和A关于直线y=2x对称，OCAA，AD=ADOA=5，AC=10，OC=SOAC=OCAD=OAAC，AD=AA=，在RtAEA和RtOAC中，AAE+AAC=90，ACD+AAC=90，AAE=ACD又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC，即AE=4，AE=8OE=AEOA=3点A的坐标为（3，4），当x=3时，y=（3）2+3=4所以，点A在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA的解析式为y=kx+b，则，解得直线CA的解析式为y=x+（9分）设点P的坐标为（x，x2x），则点M为（x，x+）PMAC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC又点M在点P的上方，（x+）（x2x）=10解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=当点P运动到（2，）时，四边形PACM是平行四边形点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度第（2）问的要点是求对称点A的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解（2014山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0m3）个单位，得到抛物线W和OABC，在向下平移的过程中，设OABC与OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标解答：解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax2+bx+c，抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（2，3）三点，解得：抛物线W的解析式为y=x2xy=x2x=（x2）21，顶点D的坐标为（2，1）（2）由OABC得，CBOA，CB=OA=4又C点坐标为（2，3），B点的坐标为（2，3）如答图2，过点B作BEx轴于点E，由平移可知，点C在BE上，且BC=mBE=3，OE=2，EA=OAOE=2CBx轴，BCGBEA，即，CG=m由平移知，OABC与OABC的重叠部分四边形CHAG是平行四边形S=CGCE=m（3m）=（x）2+，当m=时，S有最大值为（3）答：存在在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W，D（2，1），F（6，）；抛物线W的解析式为：y=（x6）2设M（t，0），以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若点N在x轴下方，如答题3所示：过点D作DPy轴，过点F作FPDP于点P，D（2，1），F（6，），DP=，FP=4；过点N作DQx轴于点Q，由四边形FDMN为平行四边形，易证DFPNMQ，MQ=FP=4，NQ=DP=，N（4+t，），将点N坐标代入抛物线W的解析式y=（x6）2，得：（t2）2=，解得：t=0或t=4，点M的坐标为（0，0）或（4，0）；若点N在x轴上方，（请自行作图）与同理，得N（4t，）将点N坐标代入抛物线W的解析式y=（x6）2，得：（t10）2=，解得：t=6或t=14，点M的坐标为（6，0）或（14，0）综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）点评：本题是二次函数压轴题，难度较大第（1）问考查了待定系数法及二次函数的性质；第（2）问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形；第（3）问考查了平行四边形、全等三角形、抛物线上点的坐标特征等知识点，解题关键是平行四边形的判定条件（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值考点：二次函数综合题.分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3设点M的横坐标为x，则求出MN=|x24x|；解方程|x24x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0t2），利用平移性质求出S的表达式：S=（t1）2+；当t=1时，s有最大值为解答：解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，直线OD解析式为y=x设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或（3）C（1，3），D（3，1）易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点C在线段CD上设OC与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F，与直线OD交于点Q设水平方向的平移距离为t（0t2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C（1+t，3t）设直线OC的解析式为y=3x+b，将C（1+t，3t）代入得：b=4t，直线OC的解析式为y=3x4tE（t，0）联立y=3x4t与y=x，解得x=t，P（t，t）过点P作PGx轴于点G，则PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+当t=1时，S有最大值为S的最大值为包头已知抛物线经过A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于N，与x轴相交于点D。（1） 求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2） 连接ON，AC证明NOB=ACB；（3） 点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4） 在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由。（遵义）如图，二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0),与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动. （1）求该二次函数的解析式及点的坐标. （2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（解题用图见答题卡） （3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标. （解题用图见答题卡） 解法一： (解法二： 解得）（2）（4分）存在分三种情况讨论如下：以为圆心，为半径画弧，交轴于点,.=4，=3，=1，=3+4=7.,以为圆心，为半径画弧，交轴于,(与点重合，不合题意)过作轴于点,则轴， 即 ，,.作的中垂线交轴于点,垂足为,=,=.即，,综上，这样的点有四个，,，.（3）（6分）四边形是菱形. 解法一：过作轴于点,设运动的时间为秒，则 =. ,=,=. , , ,即， ，,， 点在抛物线上， 解得（舍去）， ，（解法二：过作轴于点,设运动的时间为秒，=. ,= 在中, ,， 即， ,. 以下同解法1.） （2014永州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当SMFQ：SMEB=1：3时，求点M的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出MFQ和MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（4，0），C（0，2），解得，y=x2+x+2，y=x2+x+2=（x3x+）+2=（x）2+，顶点坐标为（，）；（2）M（m，n），Q（0，n），E（3m，n），设直线BM的解析式为y=kx+b（k0），把B（4，0），M（m，n）代入得，解得，y=x+，令x=0，则y=，点F的坐标为（0，），MQ=|m|，FQ=|n|=|，ME=|3mm|=|32m|，SMFQ=MQFQ=|m|=|，SMEB=ME|n|=|32m|n|，SMFQ：SMEB=1：3，|3=|32m|n|，即|=|32m|，点M（m，n）在对称轴左侧，m，=32m，整理得，m2+11m12=0，解得m1=1，m2=12，当m1=1时，n1=12+1+2=3，当m2=12时，n2=（12）2+（12）+2=88，点M的坐标为（1，3）或（12，88）（2014乐山）如图，抛物线y=x22mx（m0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，m）作PMx轴与点M，交抛物线于点B点B关于抛物线对称轴的对称点为C（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m1，连接CA，若ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐标（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判断PE2是否等于PC2即可解答：解：（1）若m=2，抛物线y=x22mx=x24x，对称轴x=2，令y=0，则x24x=0，解得x=0，x=4，A（4，0），P（1，2），令x=1，则y=3，B（1，3），C（3，3）（2）抛物线y=x22mx（m0），A（2m，0）对称轴x=m，P（1，m）令x=1，则y=12m，B（1，12m），C（2m1，12m），PA2=（m）2+（2m1）2=5m24m+1，PC2=（2m2）2+（1m）2=5m210m+5AC2=1+（12m）2=24m+4m2，ACP为直角三角形，PA2=PC2+AC2，即5m24m+1=5m210m+5+24m+4m2，整理得：2m25m+6=0，解得：m=，m=1（舍去），故m=（3）P（1，m），C（2m1，12m），设直线PC的解析式为y=kx+b，解得：k=，PEPC，直线PE的斜率=2，设直线PE为y=2x+b，m=2+b，解得b=2m，直线PE：y=2x2m，令y=0，则x=1，E（1m，0），PE2=（m）2+（2m）2=PC2在x轴上不存在E点，令x=0，则y=2m，E（0，2m）PE2=（22m）2+12PC2，y轴上不存在E点，故坐标轴上不存在点E，使得PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形ABCDO临沂市如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)和点B(1，0)，直线与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.解：在中，令，得.ABCDOFEMC(0，-1)（1分）抛物线与x轴交于A(-1，0), B(1，0),C为抛物线的顶点.设抛物线的解析式为，将A(-1，0)代入，得 0=a-1.a=1.抛物线的解析式为.（3分）（2）（本小问5分）方法一：图1设直线与x轴交于E，则，0).（1分）,.（2分）连接AC，过A作AFCD，垂足为F，SCAE ，（4分）即，.（5分）方法二：由方法一知，AFE=90，.（2分）在COE与AFE中，COE=AFE=90，CEO=AEF，COEAFE .，（4分）即.（5分）（3）（本小问5分）由，得，.D(2，3).（1分）如图1，过D作y轴的垂线，垂足为M，由勾股定理，得.（2分）在抛物线的平移过程中，PQ=CD. （i）当PQ为斜边时，设PQ中点为N，G(0，b)，则GN=.GNC=EOC=90，GCN=ECO，QGNC EOCG，N，b=4.PG(0，4) . （3分）（ii）当P为直角顶点时，OE设G(0，b)，C图2则，同（i）可得b=9，则G(0，9) .（4分）（iii）当Q为直角顶点时，同（ii）可得G(0，9) .综上所述，符合条件的点G有两个，分别是(0，4)，(0，9).（5分）ECDOGQP图3EGQPOC图4哈尔滨市如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B且点B的横坐标为1 (1)求a，b的值； (2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PMOB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，过点P作PFMC于点F设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围)； (3)在(2)的条件下，当SACN=SPMN时，连接0N，点Q在线段BP上，过点Q作QRMN交ON于点R，连接MQ、BR，当MQR-BRN=450时,求点R的坐标日照市）已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；APBxyO（第24题图）（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由 张家界市)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线过过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，），以OB为