22函数的性质与反函数.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编第二章 函数二 函数的性质与反函数【考点阐述】函数的单调性.奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系【考试要求】（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数【考题分类】（一）选择题（共21题）1.（安徽卷理9）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（ ） A B CD解：由题知则，选D。2.（安徽卷理11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）A BC D解： 用代换x得： ，解得：，而单调递增且大于等于0，选D。3.（安徽卷文6）函数的反函数为A B C D 解：由原函数定义域是反函数的值域，排除B,D两个；又原函数不能取1， 不能取1，故反函数定义域不包括1，选C .(直接求解也容易)4.（北京卷文5）函数的反函数为（ ）ABCD【答案】B【解析】 所以反函数为5.（福建卷理4文4）函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2解：为奇函数，又故即.6.（湖北卷文6）已知在R上是奇函数，且 A.-2 B.2 C.-98 D.98解：由题设7.（湖南卷文4）函数的反函数是( ) 【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。8.（辽宁卷理12）设是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）A B C D答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，另一种情形是，即，得，满足的所有之和为9.（辽宁卷文2）若函数为偶函数，则a=（ ）A B C D答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。10.（全国卷理6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）A B C D解析：B.由11.（全国卷文8）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）A B C D12.（全国卷理3文4）函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称【答案】C【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质13.（山东卷理4）设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1解：、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关于 对称，因此点、关于对称，所以（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）14.（陕西卷理7文7）已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）A B1 C4 D10解：于是15.（四川卷理11文9）设定义在上的函数满足，若，则( )（） （） （） （）【解】：且 ， ， 故选C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；16.（四川卷文）函数的反函数是( )（） （）（）（）【解】：由反解得 从而淘汰（）、（）又原函数定义域为 反函数值域为 故选C；【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性；【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰；17.（天津卷理7）设函数的反函数为，则(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) 在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) 在其定义域上是减函数且最大值为1(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调递增，排除B、C；又的值域为的定义域，所以最小值为018.（天津卷文3）函数的反函数是（ ）A BC D解析：当时，解得，选A19.（重庆卷理6）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是（ ）(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数解：令，得，所以,即，所以 为奇函数,选C20.（重庆卷文6）函数y=10x2-1 (0x1的反函数是（ ）(A) (B)(x) (C) (x (D) (x【答案】D【解析】本小题主要考查反函数的求法。由得：，即。又因为时，从而有，即原函数值域为。所以原函数的反函数为，故选D。21.（四川延考理11文11）设函数的图象关于直线及直线对称，且时，则（ ） （A） （B） （C） （D）解：（二）填空题（共8题）1.（湖南卷理13）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 .【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点2.（湖南卷理14）已知函数（1）若a0,则的定义域是 ;(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .【答案】 , 【解析】（1）当a0时，由得,所以的定义域是; (2) 当a1时，由题意知;当0a1时，为增函数,不合; 当a0时，在区间上是减函数.故填.3.（辽宁卷理13）函数的反函数是_答案：解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。4.（辽宁卷文13）函数的反函数是 答案：解析：本小题主要考查反函数问题。 所以反函数是5.（上海卷理4）若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0），则f(4) 【答案】【解析】令.6.（上海卷文4）若函数f(x)的反函数为，则 【答案】【解析】令则且7.（上海卷文9）若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 【答案】【解析】是偶函数，则其图象关于y轴对称, 且值域为， 8（四川延考理13文13）函数 的反函数为 。解：，所以反函数，（三）解答题（共1题）1.（江苏卷20）若为常数，且（I）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当时，由（1）知（对所有实数）Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(