利用数学工具巧解理综试题（发表在《高中生》05年10期）.doc

利用数学工具 巧解理综试题湖南省浏阳市第九中学 章高武 (430125)随着课程改革和高考改革的不断推进,以及教育教学改革的不断深入,各学科知识互相交叉、渗透、融合已成必然.其中数学与其它学科的联系越来越密切,各学科中以该学科知识为背景,应用数学知识解决的问题更广泛、深入.这就要求学生具有多角度应用数学知识分析、解决问题的能力.本文就近几年来高考理综试题及物理、化学教学中典型的数学知识跨学科应用的问题举例分析如下.一.应用方程的知识解题例1.(04年湖南卷理综11题)若1mol某气态烃完全燃烧,需用3mol,则： A). B).C). D).解析:根据烃燃烧的反应式,则有,且为正整数,故只有答案B符合条件.选B。例2.(02年全国卷13题)化合价为n的某元素的硝酸盐的式量为x,其氢氧化物的式量为y,则n的值是:A. B. C. D.解析: 设某元素R的原子量为M, 则的式量: . 的式量: . 得: 。选A例3.在一支长为15cm的粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片(体积不计),使蜡烛恰好能竖直地浮于水中,上端有1cm长露在水面上.已知蜡烛的比重为.当点燃的蜡烛被水淹灭时,它的长度为多少?解析：解此题的关键是运用物理中的阿基米德定律:浸在水中的蜡烛和金属片的重量=蜡烛排开水的重量,列出蜡烛燃烧时和淹没时的方程.设蜡烛底面面积为S,金属片的质量为m(g), 淹没时蜡烛长(cm).则有 解得: cm.二.应用函数知识解题例4.等质量的烃完全燃烧时,烃中含氢越多,消耗的的量越多.解析: 设m克烃完全燃烧,消耗氧气的物质的量为n. 则得 . 令中含H量为.即=. 得;.代入 得. 由此可知当增大时,亦随之增大.小结:本题实际上是以反应关系式为背景列出方程,再利用函数的单调性证明结论.例5.(04年全国卷21题)放在平面上的一物块,FN受到方向不变的水平推力F的作用, F的大24小与时间的关系和物块速度与时间的关系vms-1如图所示.取重力加速度由两3216otsts4264图可以求得物块的质量和物块与地面之间o2的摩擦因数分别为:A. B. C. D. 解析：由图1可得 . 由图2得: 由此得由牛顿定律得: .将时间两段的F与值代入方程组得. 解得: 小结:本题实际上是根据函数图象确定力F和速度,加速度关于时间的函数式.再根据牛顿定律列出方程组进行解答.三.应用三角的知识解题例6.(02年全国卷19题).为观察门外情况,有人在门上开一小圆孔,将一块圆柱形玻璃嵌入其中,圆柱体轴线与门面垂直.从圆柱体底面中心看出去可以看到门外入射光线与轴线间的最大夹角称为视场角.已知该玻璃的折射率为n ,圆柱体长为,底面半径为r,则视场角是:A. B. C. D. 解析:要使视场角最大,即从圆柱体的边缘r入射的光线通过玻璃折射后通过底面中心,如图设入射角为折射角为,图3书资料33, 而,则. 故选B.小结:本题实质上是以光线的折射为背景,应用三角知识, 解三角形和反三角函数的求值.四.应用立体几何知识解题例7.金刚石中的碳原子所构成的正四面体中,键角是多少?分析:本题实际上是立体几何中求空间两直线所成角的问题,即求正四面体ABCD的几何中心O与任意两个顶点所成的角.A解析:如图,设正四面体的中心为O,O1为O在底DO面BCD上的射影,设正四面体的棱长为1.在底图444444444444444EO1CB面BCD中,BC=1,BE=,故,.在直角三角形AO1C中,AO1=.由于AO=CO=DO,设AO=,则OO1=AO1AO=在直角三角形OO1C中,即.解得.在中,CO=DO=,CD=1,根据余弦定理解得.故其键角为.五.应用不等式的知识解题例8.有一台天平,两臂长度略有差异,其余均精确,现将一物体A放在左,右盘内称一次,称得结果分别为和克,关于物体A的重量,有下列说法正确的是:A. 物体A的重量是克; B.物体A的重量介于和之间;C. 物体A的重量大于克; D. 物体A的重量大于克.解析：设物体 A的重量为G ,天平左、右两臂长分别为L1、L2, L1G=L2. L2 G=L1.则,由均值不等式. . 当且仅当时,取等号.故B与D正确.小结:本题实际上是运用杠杆的原理列出方程,再应用均值不等式和不等式的性质求解.六.应用数列极限知识解题例9.在沥青气体中,存在稠密环芳烃,其中一些可视为萘(A),芘(B)和蒽并蒽(C)的同系物,按如下特点排列(如下图):图5CBA该系列谷物的通式_;该系列化合物中,碳元素的质量分数的最大值是_.解析:首先由芳香烃的结构特点及碳原子的化合价规律,可确定A,B,C的分子式依次为,根据等差数列的通项公式可得的通式为:.设为第种化合物中碳元素的质量分数,则： 随的增大 而增大.且.小结：本题实际上是一个数列、函数单调性和极限知识的综合问题.七.应用向量的知识解题O例10.(03年全国理综卷19题)如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O为其球心,O 碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨 图6在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与点O的连线与水平线的夹角为.两小球的质量比为:A). B). C). D).FF1T解析:小球m1所受的力为重力G=,小球m2对其拉力,碗壁对它支撑力F1, F1与T夹,它们的合力为GF与G的大小相等,方向相反.所以.图7故.例11.(03年高考题15题)如图,三个完全相同F2FbF3的金属小球位于等边三角形的三个顶点上.F4F1带正电,带负电,所带电量的大小比的小.图8Facc已知受到和的静电力的合力可用图中四条线段表示,它应是： A).F1 B).F2 C).F3 D).F4解析:c球受到a球的斥力Fa和b球的吸引力Fb(如图)，则合力应为F2 .八.应用排列组合的知识解题例12.由形成的水分子共有多少种?解析:一个水分子是由一个氧原子和两个氢原子构成.根据组合知识可知,水分子可分两类:一类水分子中只含时,这样的水分子的种数为种;当水