高等数学同济第四版笔记.pdf

目 录 目 录 第一章 函数与极限 1 一 函数 1 1 1 注意以前所学习的一些概念 1 1 2 函数概念 1 1 3 函数的几种特性 1 1 4 反函数 1 1 5 几种特殊的函数 1 二 初等函数 2 2 1 基本初等函数 2 2 2 双曲函数 2 三 数列的极限 3 3 1 数列极限的定义 3 3 2 收敛数列的特性 3 四 函数的极限 4 4 1 定义 4 4 2 函数极限的特性 5 五 无穷小与无穷大 8 5 1 无穷小的定义 8 5 2 无穷大的定义 8 5 3 相关定理 8 六 极限的运算法则 9 极限的叠代求法 10 七 极限存在准则 两个重要极限 12 7 1 准则I 夹逼准则 12 7 2 准则II 单调有界数列必有极限 12 7 3 两个重要极限 12 八 无穷小的比较 15 8 1 无穷小的阶 15 8 2 等阶无穷小的性质 15 8 3 一些常用的等阶无穷小 15 九 函数的连续性与间断点 17 9 1 函数的连续性 17 9 2 函数的间断点 17 十 连续函数的运算与初等函数的连续性 18 10 1 连续函数的和 积及商的连续性 18 10 2 反函数与复合函数的连续性 18 10 3 初等函数的连续性 20 十一 闭区间上的连续函数的性质 21 11 1 最大值和最小值定理 21 11 2 介值定理 21 11 3 一致连续性 21 第二章 导数与微分 23 1 一 导数概念 23 1 1 导数定义 23 1 2 常用函数的导数 23 1 3 曲线的切线方程和法线方程 24 1 4 函数可导性与连续性的关系 24 二 函数的和差积商的求导法则 25 三 反函数的导数 复合函数的求导法则 26 3 1 反函数的导数 26 3 2 复合函数的求导法则 26 四 初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数 26 五 高阶导数 27 六 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 28 6 1 隐函数的导数 28 6 2 由参数方程确定的函数的导数 28 6 3 曲线的切线与切点和极点的连线间的夹角 28 6 4 相关变化率 29 七 函数的微分 30 7 1 微分的定义 30 7 2 微分的几何意义 30 7 3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 30 八 微分在近似计算中的应用 31 第三章 中值定理与导数的应用 32 一 中值定理 32 1 1 罗尔定理 32 1 2 拉格朗日中值定理 32 1 3 柯西中值定理 32 二 洛必达法则 33 三 泰勒 Taylor 公式 33 四 函数单调性的判定法 34 五 函数的极值及其求法 35 六 最大值 最小值问题 35 七 曲线的凹凸与拐点 36 八 函数图形的描绘 37 九 曲率 37 9 1 弧微分 37 9 2 曲率及其计算公式 37 9 3 曲率圆与曲率半径 38 9 4 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 38 十 方程的近似解 39 第四章 不定积分 40 一 不定积分的概念与性质 40 1 1 原函数与不定积分的概念 40 1 2 基本积分表 40 1 3 不定积分的性质 41 2 二 换元积分法 41 2 1 第一类换元法 41 2 2 第二类换元法 41 三 分部积分法 43 四 几种特殊类型函数的积分 43 4 1 有理函数的积分 43 4 2 三角函数有理式的积分 43 4 3 简单无理函数的积分 44 五 积分表的使用 44 第五章 定积分 45 一 定积分的概念 45 5 1 定积分问题举例 45 5 2 定积分定义 45 二 定积分的性质 46 三 微积分的基本公式 47 四 定积分的换元法 48 五 定积分的分部积分法 48 六 定积分的近似计算 48 七 广义积分 49 7 1 无穷限的广义积分 49 7 2 无界函数的广义积分 50 八 广义积分的审敛法 函数 51 8 1 无穷限的广义积分的审敛法 51 8 2 无界函数的广义积分的审敛法 52 8 3 函数 52 总习题 53 第六章 定积分的应用 57 一 定积分的元素法 57 二 平面图形的面积 57 三 体积 58 四 平面曲线的弧长 58 五 功 水压力和引力 58 六 平均值 59 第七章 空间解析几何与向量代数 60 一 空间直角坐标系 60 二 向量及其加减法 向量与数的乘法 60 2 1 向量的概念 60 2 2 向量的加减法 60 2 3 向量与数的乘法 60 三 向量在轴上投影 61 3 1 向量在轴上的投影 61 3 2 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 61 3 3 向量的模与方向余弦的坐标表达式 61 四 数量积 向量积 混合积 62 3 4 4 1 两向量的数量积 62 4 2 两向量的向量积 62 4 3 混合积 63 五 曲面及其方程 63 5 1 曲面方程的概念 63 5 2 旋转曲面 64 5 3 柱面 64 六 空间曲线及其方程 64 七 平面及其方程 65 八 空间直线及其方程 66 九 二次曲面 67 第一章 函数与极限第一章 函数与极限 一 函数一 函数 1 1 注意以前所学习的一些概念 注意以前所学习的一些概念 如集合 常量 变量 自然数 N 整数 Z 有理数 Q 实数 R 空集 开区间 闭区 间 半区间 有限区间 无限区间 邻域 邻域都是开区间 去心邻域等 注 自然数是没有负数的整数 整数是小数位均为零的数 即能被 1 整除的数 有理数是只有有限位小数 小数可为零 或无限循环小数 无理数是无限不循环小数 实数相对于虚数而言 是有理数和无理数的总称 1 2 函数概念 函数概念 设 x 和 y 是两个变量 D 是一个给定的数集 如果对于每一个数 x D 变量 y 按照一 定的法则总有确定的数值和它对应 则称 y 是 x 的函数 记作 y f x 数集 D 叫做这个 函数的定义域 x 叫自变量 y 叫因变量 还要注意几个概念 如值域 单值函数 多值函数 分段函数等 1 3 函数的几种特性 函数的几种特性 有界性有界性 上界 下界 单调性单调性 单调递增 减 奇偶性奇偶性 奇函数 f x f x 偶函数 f x f x 周期性周期性 f x L f x 1 4 反函数 反函数 由直接函数 y f x 将 x 视为因变量 y 视为自变量而得出的新的函数 x y 称为反 函数 这两个函数关于直线 y x 对称 1 5 几种特殊的函数 几种特殊的函数 绝对值函数 y x 符号函数 y sgnx 取整函数 y x 1 二 初等函数二 初等函数 2 1 基本初等函数 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数以及反三角函数统称为基本初等函数 由 常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成 并可用一个 式子表示的函数 称为初等函数 2 2 双曲函数 双曲函数 双曲正弦 2 xx ee yshx 反双曲正弦 2 ln 1 yarshxxx 双曲余弦 2 xx ee ychx 反双曲余弦 2 ln 1 yarchxxx 双曲正切 xx xx ee ythx ee 反双曲正切 11 ln 21 x y x 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 43211234 arth x 1 2 ln 1 x 1 x arch x ln x x2 1 0 5 arch x ln x x2 1 0 5 arsh x ln x x2 1 0 5 g x 0 5 e x f x 0 5 ex th x ex e x ex e x ch x ex e x sh x ex e x 2 2 22 sin sin coscos sin sin sin coscos sin cos cos cossin sin cos cos cossin sin sh xyshxchychxshyxyxyxy sh xyshxchychxshyxyxyxy ch xychxchyshxshyxyxyxy ch xychxchyshxshyxyxyxy ch xsh 22 22222222 1sincos1 22sin22sin cos 21221cos2cossin12sin2cos1 xxx sh xshxchxxxx ch xch xsh xsh xch xxxxxx 2 三 数列的极限三 数列的极限 3 1 数列极限的定义 数列极限的定义 如果数列 xn 与常数 a 存在下列关系 对于任意给定的正数 无论多么小 总 存在正整数 N 使得对于 n N 时的一切 xn 不等式 xn a 都成立 则称常数 a 为 数列 xn 的极限 或者称数列 xn 收敛于 a 记为 axn n lim 或 n axn 3 2 收敛数列的特性 收敛数列的特性 1 极限的唯一性极限的唯一性 数列 xn 不能收敛于两个不同的极限 证明提示 设两个极限为 a 与 b 取 2 ba 按数列极限有定义 最后可以得出一 个互相矛盾的结论 及 2 ba xn 2 有界性有界性 如果数列 xn 收敛 那末数列 xn 一定有界 注意 数列有界是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 证明提示 还是根据极限定义 取1 12 max 1 N Mxxxa 可以证 明 xn M 3 收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系 如果数列 xn 收敛 那末它的任一子数列 k n x也 收敛 且极限为 a 证明提示 取 K N 当 k K 时 则 kKN nnnN k n xa 3 四 函数的极限四 函数的极限 4 1 定义 定义 设函数 f x在点 0 x的某一去心邻域内 或x大于某正数时 有定义 如果对于任 意给定的正数 无论它多么小 总存在正数 或正数X 使得对于适合于不等 式 0 0 xx xX的一切x 对应的函数值 f x都满足不等式 f xA 0 当 0 0 xx 时 有 f xA 根据函数极限定义 正数 是任意给定的 相对于 要找到一个正数 使得满 足不等式 0 0 xx 的任意x 其函数值均满足不等式 f xA 即要根据 f xA 0 0 lim xx xx 因为 0 0 00 0 xxx f xAxx x xxx 要使有 f xA 只要使 00 xxx 且即可 为什么要加上这个条件 因为对于 0 x 0 x 0 x f x是 没有意义的 而对于是可以用0 x 00 xxx 来保证的 因此取 00 min xx 4 时 适 合 不 等 式 0 0 xx 的 一 切x 其 函 数 值 均 满 足 不 等 式 0 f xAxx 对于任意给定的 0 存在 1 x 虽然 10 0 xx 求出满足两个不等式 10 0 xx 取 1 1 1n 1 1 1 x n 则 1 11 11 nn 00 x 所以 0 1 limsin1 x x 4 2 函数极限的特性 函数极限的特性 1 极限的局部保号性极限的局部保号性 如果Axf xn lim 0 而且 或0A 0A 或 f x0 在上面的证明中 取 2A 即可得出更强的结论 1 如果Axf xn lim 0 那末就存在着点0A 0 x的某一去心邻域 当x在该邻域 5 内时 就有 2f xA 2 如果在点 x0的某一去心邻域内函数 f x 0 或 f x 0 并且 则 A 0 或 A 0 Axf xx lim 0 证明提示 采用反证法 2 极限的唯一性极限的唯一性 如果 0 lim xx f x 存在 则此极限唯一 3 极限的局部有界性极限的局部有界性 如果 0 lim xx f x A 则存在正数M和 当 0 0 xx 0 0 n xx 所以 n f xA 0 x 虽然 0 0 xx 是可以任意取值的 我们取 1 2 n n 而对于每一个 总可以找到一个对应的 1 2 n x n 满足条件 0 0 n xx n 时 0 n f xA 则lim n n f xA 这些 n x构成一个含于 0 0 Ux 的数列 n x 并且由于 0 0 n xx n 的一切x 对应的函数值都满足不等式 x f0 x f x 0 lim 0 xf xn 0 lim xf n 5 2 无穷大的定义 无穷大的定义 设函数在点 xf 0 x的某一去心邻域内 或x大于某正数时 有定义 如果对于任 意给定的正数M 无论它多少大 总存在正数 或正数X 使得对于适合于不等 式 0 xx0 的一切x 对应的函数值都满足不等式 x f f xM 那末称函数当时为无穷大 记作 xf 0 xx x lim 0 xf xn limxf n 5 3 相关定理 相关定理 1 在自变量的同一变化过程同一变化过程中 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 反 之 如果函数可表示为常数与无穷小之和 那末该常数就是这个函数的极限 证明提示 f xA 利用函数极限定义和无穷小的定义即可得出 2 在自变量的同一变化过程同一变化过程中 如果为无穷大 则 xf 1 xf 为无穷小 反之 如果 为无穷小 且 0 则 xf xf x 1 f 为无穷大 证明提示 按无穷小和无穷大的定义来证明即可 8 六 极限的运算法则六 极限的运算法则 定理定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 证明提示 考虑两个无穷小之和 依据无穷小的定义 分取两个 2 来进行不等式运算 即可 定理定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小 证明提示 取两个邻域 分别依据有界性定义和无穷小定义 对两个不等式进行乘积运 算即可 推论推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理定理 3 如果 Axf limBxg lim 则 lim xgxf 存在 且有 lim lim lim xgxfBAxgxf 证明提示 依所函数与其极限加无穷小的关系式来证明 定理定理 4 如果 Axf limBxg lim 则 lim xgxf 存在 且有 lim lim lim xgxfABxgxf 证明提示 与定理 3 的证明类似 推论推论 1 如果存在 而 C 为常数 则 limxf lim lim xfCxCf 推论推论 2 如果存在 而为常数 则 limxfn nn xfxf lim lim 定理定理 5 如果 Axf limBxg lim 且0 B 则 lim xgxf 存在 且 有 lim lim lim xg xf B A xg xf 证明提示 假设一关系式 1 AB BBB A B A B A xg xf 证 明 为无穷小 先证明 1 BB 有界 其中需要用到函数极限性质中的保号性的推论 2 B g x 9 定理定理 6 设有数列和 如果 n x n yAxn n lim Byn n lim 那么 1 BAyx nn n lim 2 BAyx nn n lim 3 当 0 n y1 2 3 n 且0 B时 B A y x n n n lim 定理定理 7 如果 xx 而ax lim bx lim 那末 ba 定理定理 8 复合函数的极限运算法则 设函数 xu 当时的极限存在且等 于 即 0 xx aax xx lim 0 但在点的某去心邻域内 0 xax 又有 则 复合函数 Auf au lim xf 当的极限也存在 且 0 x x 0 lim xx lim ua fxf uA 其中可 由代替 a 证明提示 根据极限定义 一步步推导得证 总结 关于极限的求法 可以根据极限的定义 极限的性质 或者是定理来求证 方法 是多样的 要善于总结 求有理函数 多项式 或有理分式函数当的极限时 只要把代入函数中的 0 xx 0 xx 即可 但对于有理分式 要保证代入后分母不为零 否则就没有意义 还有一种常见的求极限情况 0 0 1 01 1 01 lim0 mm m nn x n a nm b a xa xa nm b xb xb nm 时 1n a 一定大于 又因为当时 根据数学归纳法得证 n a2n 2 a 1 a 下面证明数列 n a是有界的 因为 1 2 nn aa 所以 1 11 22 1 n n nn a a aa 所以 1 1 n a 时 有 xhxfxg 成立 且 那末存在 且等于 Axg x xx lim 0 Axh x xx lim 0 lim 0 xf x xx A 7 2 准则 准则II 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限 相应于数列极限的单调有界定理 关于函数的单侧极限也有相应的单调有界定理 设f为 定 义 在 0 0 Ux 0 0 UUxU上 的 单 调 有 界 函 数 则 极 限 0 m xx li f x lim xfxf x lim 0 xx lim xf x 存在 数列单调有界是数列收敛的充分条件 但不是必要条件 其中有界这一条件对数列的收 敛性来说是必要的 数列收敛的充分必要条件是柯西极限 柯西极限 Cauchy 存在准则 存在准则 数列收敛的充分必要条件是 对于任意给定的正数 n x 存在着这样的正整数 使得当 时 就有 NN mNn 存在正数 使得对任何 0 0 Ux x x 有 f x f x 对任意 0 存在 0 0 x xUx 使得 0 f xf x 7 3 两个重要极限 两个重要极限 1 1 sin lim 0 x x x 变形 1 sin lim 0 例 kk kx kx x kx xx sin lim sin lim 00 2 e x x x 1 1 lim或ex x x 1 0 1 lim 12 例 1 求极限 0 11 lim tan x xx sintan 111 tansin 1111 0 tansintan 111 cos 0 tansin xxx xxx xxx x xxx x 又 2 2 1 cos 1 cos sinsin xx xx xx 1 当1p 时 设1 n n ph 其中是依赖于的正量 有 n hn 1 0 n nn n phn p h n h 当时 n 0 p n 所以 则0 n h 1 n p 2 当1p 时 1 n pn 3 当1p 时 1 n p 令 1 1 n n p h 其中是依赖于的正量 有 n hn 11 1 1 0 n nn n p hn h np kCC k 是关于 的阶无穷小 k e 1lim 是 的等阶无穷小 记作 8 2 等阶无穷小的性质 等阶无穷小的性质 性质 1 性质 2 若 则 limlim 还具有 a 自反性 b 对称性 则 c 传递性 则 8 3 一些常用的等阶无穷小 一些常用的等阶无穷小 当时 0 x sin tan arcsin arctan ln 1 1 x xxxxxxe 2 1 1 cos 2 xx 1 1 a xax 1 ln x x 1 证明 ln 1 0 xx x 证 11 000 ln 1 1 limlimln 1 limln 1 limln1 1 xx xxxue x xxuu xx x 2 证明 1 0 x ex x 15 证 00 1 ln 1 0 0 1 limlim1 ln 1 x x xu uexuxu eu xu 设则 3 证明 1 1 a xax 证 ln 1 1 1 1 0 0 uu aau aa uxxexexexu 设则 000 1 1111 limlimlim1 1 au u xuu a xe axaau a e u 4 证明1 ln x x 证 1 1lnln 1 0 0 xx uaauxauxu 设则 00 1 limlim1 lnln 1 x xu au xau 16 九 函数的连续性与间断点九 函数的连续性与间断点 9 1 函数的连续性 函数的连续性 函数的连续性有三个等价定义 分别是增量方式 极限方式及不等式方式 若函数在点的某一邻域内有意义 则在点处连续的条件为 xf 0 x xf 0 x 0 0 lim0lim 000 0 0 xfxfxxxfxfy xxx 时 有当 9 2 函数的间断点 函数的间断点 不连续的点叫做间断点 有三种可能的原因 1 在点处无定义 xf 0 x 2 在点有定义 但无极限 xf 0 x 3 在点有定义 且有极限 但 xf 0 x lim 0 0 xfxf xx 间断点的分类 1 第一类间断点 可去间断点 左右极限存在且相等 但在点处无定义 或者 0 x lim 0 0 xfxf xx 跳跃间断点 左右极限存在 但不相等 2 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 可能存在无穷间断点 或者振荡间断点 17 十 连续函数的运算与初等函数的连续性十 连续函数的运算与初等函数的连续性 10 1 连续函数的和 积及商的连续性 连续函数的和 积及商的连续性 定理定理 1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数 定理定理 2 有限个在某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数 定理定理 3 有限个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数 只要分母在该点不为 零 以上定理实际上表述了有限个连续函数的和 积和商的运算法则 10 2 反函数与复合函数的连续性 反函数与复合函数的连续性 定理定理 4 如果函数在区间 yf x x I上单调增加 或单调减少 且连续 那末它的反 函数 xy 也在对应的区间 yx Iy y f x xI 上单调增加 或单调减少 且连续 证 设函数在区间上单调增加 则其值域 yf x a b f af b即反函数的定义 域 任取 0 yf af b 设 00 xy 则 0 xa b 0 可在内在 a b 0 x两侧取异于 0 x的点 1 x 2 x 12 xx 使它们与 0 x的距离 小于 设与 1 x 2 x对应的函数值分别为 1 y 2 y 由 yf x 的单调增加性质可知 102 yy y 令 200 min 1 yyyy 则当 0 yU y 时 对应的 xy 的值都落在 1 x与 2 x之间 故有 00 yyxx 0 当 uU a 时 f uf a 当 0 0 xUx 时 xa 0 当 0 0 xUx 时 xU a 从而 fxf a 且 x aa 单调且连续 其反函数对数函数 在其定义域内 0log 0 x a a 1a且 单调且连续 幂函数x 定义域因 而定 在 0 内总有定义且连续 并且在其定义域内是连续 的 三角函数与反三角函数在其定义域内是连续的 20 十一 闭区间上的连续函数的性质十一 闭区间上的连续函数的性质 11 1 最大值和最小值定理 最大值和最小值定理 定理 1 最大值和最小值定理 维尔斯特拉斯极值定理 在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值和最小值 定理 2 有界性定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界 11 2 介值定理 介值定理 定理 3 零点定理 布尔查诺定理 B Bolzano 1781 1848 设函数 f x在闭区间 a b 上连续 且 f a与 f b异号 即 0f af b 那末在开区间 a b内至少有函数 f x的一个零点 即至少有一点 ab 使 0f 定理 4 介值定理 设函数 f x在闭区间 a b上连续 且在这区间的端点有不同的函 数值 f aA 及 f bB 那末 对于和AB之间的任意一个数C 在开区间 内至 少有一点 a b ab 使 fC 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 11 3 一致连续性 一致连续性 定义 设函数 f x在区间I上有定义 如果对于任意给定的正数 总存在正数 只 与 有关 与x的位置无关 即 使得对于区间I上的任意两点 1 2 x x 当 12 xx 时 就有 12 f xf x 当 121 x xI 122 在区间和 x xI 或 1 0 2 0 或 当 121 xx 212 xx 或时 有 12 f xf x 当 3 xc 时 有 2 f xf c 12 3 min 当 12 xx 时 分两种情况 取 1 如果 12 1 x xI 122 x xI 或 12 f xf x 成立 2 如果 12 x x分属 1 I和 2 I 不访设 11 xI 22 xI 则有 1121 xccxxx 3 则 1 2 f x f c 成立 同样 2 2 f xf c 成立 则 12 f xf x 且 4 1 log 0 1 ln x a aa xa 且 5 sincos cos sinxxx x 23 1 3 曲线的切线方程和法线方程 曲线的切线方程和法线方程 切线方程 00 yyfxxx 0 法线方程 00 0 1 yyx fx x 1 4 函数可导性与连续性的关系 函数可导性与连续性的关系 函数可导则必然连续函数可导则必然连续 但连续不一定可导 即可导性是连续性的充分条件 连续性是可 导性的必要条件 24 二 函数的和差积商的求导法则二 函数的和差积商的求导法则 1 和 差 uvuv uvuv 2 积 uvuvuv CuCu C 是常数 3 商 2 0 uuvuv v vv 2 1 0 v v vv 4 三角函数导数公式 2 tan secxx 2 cot cscxx secsec tanxxx csccsc cotxxx 25 三 反函数的导数 复合函数的求导法则三 反函数的导数 复合函数的求导法则 3 1 反函数的导数 反函数的导数 如果函数 xy 在某区间 y I内单调 可导且 0y 那末它的反函数在 对应的区间 yf x x I内也可导 且有 1 fx y 如 2 111 arcsin sin cos 1 x yy x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 cot 1 arcx x 3 2 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 如果 ux 在点 0 x可导 而 yf u 在点 0 ux0 处可导 则复合函数 在点 x yf 0 x可导 且其导数为 0 00 x x dy f ux dx i 根据上述法则 如果 ux 在开区间I内可导 yf u 在开区间 1 I内可导 且当 xI 时 对应的 1 uI 那末复合函数 x yf 在区间I内可导 且下式成立 dydy du dxdu dx i 四 初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数四 初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数 shxchx 2 1 1 arshx x chxshx 2 1 1 archx x 26 2 1 thx ch x 2 1 1 arthx x 五 高阶导数五 高阶导数 一般地 函数 yf x 的导数 yfx 的函数 我们把 yfx 仍然是x的导数叫 做函数y二阶导数 记作 f x 的y或 2 2 d y dx 即 yy 或 2 2 d yddy dxdx dx 相应地 把 yf x 的导数 fx叫做函数 yf x 的一阶导数 类似的 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般 的 阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 1n y 4 y n y 或 3 3 d y dx 4 4 d y dx n n d y dx 常用函数的阶导数 n xnx ee sin sin 2 n xxn i cos cos 2 n xxn i 1 1 ln 1 1 1 n n n n x x 1 2 1 n n xnx 莱布尼茨 Leibniz 公式 1 1 2 1 n n n kkkk nn k n nnnk uvC uvC k 27 六 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率六 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 6 1 隐函数的导数 隐函数的导数 隐函数即由方程所确定的函数 0F x y yf x 其中f可能写不出来 即隐函数 不一定总能显化 这时可用隐函数求导法隐函数求导法去求 y 即对方程 F x 0y 两边同时对x求导 再解出 y 应注意对变元Fy求导时 根据连锁规则 应乘以 y 当函数式较复杂 含乘 除 乘方 开方 幂指函数等 时 可先取对数再求导解出 y 这就是对数求导法对数求导法 也可利用对数恒等式将函数写成复合指数函数再求导 这是对数求导法 的另一书写形式 例如对于 v yu 求导 有 ln ln 1 ln ln ln vvuvu vv yueevu u u vuvuuvuvu u i 6 2 由参数方程确定的函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 由参数方程 xt yt 确定的函数 yf x 其求导公式为 1 dydy dtdyt dx dxdt dxdtt dt ii 2 32 d ydytdttttt dxdttdx t i 6 3 曲线的切线与切点和极点的连线间的夹角 曲线的切线与切点和极点的连线间的夹角 曲线的极坐标方程为 rr 则曲线的参数方程为 cos sin xr yr 则曲线的切线的斜率为 sincostan tan cossintan dydxrrrr y ddrrrr 是切线与横坐标的夹角 28 曲线的切线与切点和极点的连线的夹角为 则有 0 则有 tan tantan 1tan yr yr 6 4 相关变化率 相关变化率 设 xx t 及 yy t 都是可导函数 而变量x与y间存在某种关系 从而变化率 dx dt 与 dy dt 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率 我们常建立x与的某个等式 然后都对第三个变量 求导 以便从已知的一个变化率 去求出另外的一个变化率 yt 29 七 函数的微分七 函数的微分 7 1 微分的定义 微分的定义 设函数在某区间内有定义 yf x 0 x及 0 xx 在这区间内 如果函数的增量 00 yf xxf x 可表示为 yA xox 其中A是不依赖于x 的常数 而 ox 是比x 高阶的无穷小 那末称函数 在点 yf x 0 x是可微的 可叫做函数A x yf x 在点 0 x相应于自变量增量x 的微分 记作 即 dy dyA x 函数在点函数在点 yf x 0 x可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数 f x在点在点 0 x可导可导 且当 f x在点 0 x可微时 其微分一定是 0 dyfxx 当时 0 x y 与是等阶无穷小 有 dy ydyo dy 当时 是 0 0fx dyy 的线性主部线性主部 当0 x 7 2 微分的几何意义 微分的几何意义 当是曲线y yf x 上点的纵坐标的增量时 就是曲线的切线上的点的纵坐标的 相应增量 dy 7 3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 30 八 微分在近似计算中的应用八 微分在近似计算中的应用 如果点 yf x 0 x处的导数 0 0fx 且x 很小时 我们有 0 ydyfxx 00 0 f xxf xfxx 00 0 f xf xfxxx 这种近似计算的实质是用x的线性函数 00 0 f xfxxx 来近似表达函数 f x 从导数的几何意义可知 这也就是用曲线 yf x 在点 00 xf x处的切线来近 似代替该曲线 就切点邻近部分来说 在生产实践中 有些数据无法直接测量 需要通过测量其他相关数据后 再根据公式计 算出所需的数据 而由于测量仪器的精度 测量条件和测量方法等各种因素的影响 测得的 数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得出的结果也会有误差 我们把它叫做间 接测量误差 间 接测量误差 如果某个量的精确值为 它的近似值为 那末AaAa 叫做的绝对误差绝对误差 而绝对 误差与 a a的比值 Aa a 叫做的相对误差相对误差 a 实际上 某个量的精确值A是无法确知的 但根据测量仪器的精度等因素 有时能够 确定误差在某一个范围内 即可知 A Aa A 叫做测量的绝对误差限绝对误差限 而A A a 叫做 测量A的相对误差限相对误差限 一般地 根据直接测量的x值按公式 yf x 计算值时 如果已知测量yx的绝对误 差限是 x 即 x x 那末当 0y 时 y的绝对误差 x ydyyxy ii 即y的绝对误差限约为 yx y i y的相对误差限约为 y x y yy i 以后常把绝对 误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 31 第三章 中值定理与导数的应用第三章 中值定理与导数的应用 一 中值定理一 中值定理 1 1 罗尔定理 罗尔定理 如果函数如果函数 f x在闭区间在闭区间 a b上连续 在开区间上连续 在开区间 a b内可导 且在区间端点的函数 值相等 即 内可导 且在区间端点的函数 值相等 即 f af b 那末在 那末在 a b内至少有一点内至少有一点 a b 使得函数 使得函数 f x在该 点的导数等于零 在该 点的导数等于零 0f 定理的证明 求最大值 或最小值 处的导数 并证明该导数为零 1 2 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数如果函数 f x在闭区间在闭区间 a b上连续 在开区间上连续 在开区间 内可导 那末在内可导 那末在 内至少 有一点 内至少 有一点b a b a b a 使等式 使等式 f bf afba 成立 成立 定理的证明 构造辅助函数 f bf a L xf axa ba 根据拉格朗日中值定理 我们可以推断出下式 0yfxxx 时 时 fx及都存在且 及都存在且 F x 0F x 3 lim xa x fx F x 存在或为无穷大 存在或为无穷大 那末那末 limlim xaxa xx f xf F xF x x 洛必达法则是用来求未定式 0 0 0 0 1 0 0 i 的一种有效方法 三 泰勒 三 泰勒 Taylor 公式 公式 泰勒 泰勒 Taylor 中值定理 如果函数 中值定理 如果函数 f x在含有在含有 0 x的某个开区间的某个开区间 内具有直到 阶的导数 则当 内具有直到 阶的导数 则当 a b 1n x在内时 在内时 a b f x可以表示为可以表示为 0 xx 的一个的一个n次多项式与一 个余项 次多项式与一 个余项 n R x之和 之和 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 其中其中 1 1 0 1 n n n f R xxx n 这里这里 是是 0 x与与x之间的某个值 之间的某个值 上式中的n次多项式 n px 2 00 0000 2 n n n fxfx 0 pxf xfxxxxxxx n 欲证明泰勒中值定理 即要求出 nn R xf xpx 的表达式即可 应用柯西中值定 理一步步推导即可求出 n R x称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 33 当以多项式 n px近似表示 f x时 存在误差 n R x 当取时 泰勒公式变成麦克劳林 Maclaurin 公式 0 0 x 1 21 0 0 0 0 01 2 1 nn nn fffx f xffxxxx nn 注 一般在用泰勒公式或麦克劳林公式计算近似值时 计算产生的误差不仅要考虑拉 格朗日型余项大小 还要考虑多项式中分数化小数时的精度造成的舍入误差 如有三项多 项式 每一项多项式精度取 注 一般在用泰勒公式或麦克劳林公式计算近似值时 计算产生的误差不仅要考虑拉 格朗日型余项大小 还要考虑多项式中分数化小数时的精度造成的舍入误差 如有三项多 项式 每一项多项式精度取 0 001 则三项的舍入误差 则三项的舍入误差3 0 5 0 001 yf x 在在 a b上单调增加 上单调增加 2 如果在 如果在 内 那末函数内 那末函数 a b 0fx yf x 在在 a b上单调减少 上单调减少 该判定法可由拉格朗日中值定理进行推定 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在点外导数存在且连续 那末只要用 方程的根及 0fx fx不存在点来划分函数 f x的定义区间 就能保证 fx在各个 部分区间内保持固定符号 因而函数 f x在每个区间上单调 单调性判别法可推广到下列情况 在运用时更方便 设 yf x 在 a b上连续 在 内可导 且 或 又 a b 0fx 0 0fx 在点x是孤立的 即不构成一段从而构 成小区间 则 yf x 在 a b上单调增加 或单调减小 若 f x在 a b上连续 在 内可导 则 a b f x在 a b上非严格非严格单调增加 减少 指 12 xx 时 1 2 f xf x 的充分必要条件是 0 0 fxx a b 34 五 函数的极值及其求法五 函数的极值及其求法 极值定义 设函数 f x在区间 a b内有定义 0 x是 内的一个点 如果存在 0 a b点 x的一个去心邻域 对于这去心邻域内的任何点x 0 f xfx均成立 则称 0 f x是函数 f x的一个极小值 注意 有些点属于间断点 但只要符合上面的定义 均为极值点 函数取得极值的必要条件和充分条件 注意以下定理中的一个必要条件 即可导 如不 可导 以下定理不适用 需根据极值定义来判断 见总习题三第 11 题 定理 1 必要条件 设函数 f x在点 0 x处可导 且在 0 x处取得极值 那末这函数在 0 x处的导数为零 即 0 0fx 定理 2 第一种充分条件 设函数 f x在点 0 x的一个邻域内可导且 0 0fx 1 如果当x取 0 x左侧邻近的值时 0 fx恒为正 如果当x取 0 x右侧邻近的值时 0 fx恒为负 那末函数 f x在 0 x处取得极大值 2 如果当x取 0 x左侧邻近的值时 0 fx恒为负 如果当x取 0 x右侧邻近的值时 0 fx恒为正 那末函数 f x在 0 x处取得极小值 3 如果当x取 0 x左右两侧邻近的值时 0 fx恒为正或恒为负 那末函数 f x在 0 x 处没有极值 定量 3 第二种充分条件 设函数 f x在点 0 x处具有二阶导数且 那末 0 0fx 0 0fx 1 当 0 0fx f x在点 0 x取得极小值 六 最大值 最小值问题六 最大值 最小值问题 35 七 曲线的凹凸与拐点七 曲线的凹凸与拐点 定义 设定义 设 f x在区间在区间I上连续 如果对上连续 如果对I的任意两点的任意两点 1 x 2 x 恒有 恒有 12 12 22 f xf xxx f 那末称那末称 f x在在I上的图形是 向上 凸的 或凸弧 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 曲线凹凸性判断定理 设曲线凹凸性判断定理 设 f x在在 a b上连续 在内具有一阶和二阶导数 换成 无穷区间也成立 上连续 在内具有一阶和二阶导数 换成 无穷区间也成立 a b 1 如果在 如果在 内 那末内 那末 a b 0fx f x在在 a b上的图形是凹的 上的图形是凹的 2 如果在 如果在 内 那末内 那末 a b 0fx f x在在 a b上的图形是凸的 上的图形是凸的 以上定理可用拉格朗日中值定理进行推导 设 12 0 2 xx x 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 判断曲线 yf x 拐点的一般方法 1 求 fx 2 令 0fx 解出这方程在区间 a b内的实根 3 对应于解出的每一个实根 0 x 检查 fx在 0 x左右两侧邻近的符号 如果是异 号 则点 00 xf x是拐点 如果是同号 则 0 0 xf x不是拐点 另外 如果在某点 0 x处 fx不存在 但其左右两侧 fx异号 则点 00 xf x 也 是 拐 点 但 曲 线 的 端 点 不 是 拐 点 比 较 函 数 3 yx 与 参 数 方 程 表 示 曲 线 23 3xtytt 例 设 yf x 在 0 xx 处的某邻域内具有三阶连续导数 如果 而 0 0fx 0 0fx 0 fx0 试问 0 xx 是否为极值点 或者为拐点 为什么 36 结论 0 xx 是拐点 不是极值点 证明方法使用函数的单调性判断方法 八 函数图形的描绘八 函数图形的描绘 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下 一 确定函数 yf x 的定义域 并求出函数的一阶导数 fx和二阶导数 fx 二 求出方程和 0fx 0fx 在函数定义域内的全部实根 用这些根把函数的 定义域划分成几个部分区间 另外 函数的间断点或导数不存在点也要作为分点 三 确定在这些部分区间内 fx和 fx的符号 并由此确定函数图形的升降和凹 凸 极值点和拐点 四 确定函数图形的水平 铅直渐近线以及其他变化趋势 五 算出方程和 0fx 0fx 的根所对应的函数值 写出图形上相应的点 为 了把图形描得准确些 有时还需要补充一些点 然后结合第三 四步中得出的结果 联结这 些点画出 yf x的图形 九 曲率九 曲率 9 1 弧微分 弧微分 弧微分公式 2 1 dsy dx 9 2 曲率及其计算公式 曲率及其计算公式 曲率概念 设曲线是光滑的 在曲线C上选定一点C 0 M作为度量弧的基点 曲线上 点 s M对应于弧 在点sM处切线的倾角为 曲线上另外一点 M对应于弧 在点s s M处切线的倾角为 那末 弧段 MM的长度为s 当动点从M移动到 M时切 线转过的角度为 我们用比值 s 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表示弧段 MM的平均弯曲程度 把这比值叫做弧段 MM的平均曲率 并记作K 即 K s 类似于从平均速度引进瞬时速度的方法 当0s 即 MM 时 上述平均曲率 37 的极限叫做曲线C在点M处的曲率 记作 即 K 0 mli s d K sds 直线的曲率为 0 半径为的曲率为a 1 a 直角坐标系方程为 yf x 的曲线 f x具有二阶导数 其曲率公式为 2 3 2 1 y K y 2 sec dd dx 2 tan 1 y yy dxy xt yt 表示的曲线 其曲率公式为 22 3 2 tttt K tt 由参数方程 9 3 曲率圆与曲率半径 曲率圆与曲率半径 设曲线 yf x 在点 M x y处的曲率为 0K K 在点M处的曲线的法线上 在 凹的一侧取一点 使D 1 DM K 以为圆心 D 为半径作圆 这个圆叫做曲线在 点M处的曲率圆 曲率圆的圆心叫做曲线在点DM处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做 曲线在点M处的曲率半径 9 4 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 D 表达式为 曲率中心 3 2 1 yy x y y y y x f x当点沿曲线移动时 相应的曲率中心的轨迹曲线G称为曲线的渐屈 线 而曲线C称为曲线G的渐伸线 曲线 CDC yf x 的渐屈线的参数方程即为曲率圆中心的 表达式 38 十 方程的近似解十 方程的近似解 求高次方程的根的准确值比较困难 于是我们设法求其近似值 常用如下方法 首先 将根隔离 即求根的隔离区间 a b 然后用二分法或 牛顿 切线法逐步逼迫根 求出其 达到指定精确度的近似值 1 二分法 取 1 2 ab 将 a b一分为二 若 1 a 为隔离区间 再取 1 2 2 a 如此 继续下去 将 n 作为根的近似值 其误差 2nba n 2 切线法 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧 从而求出根的近似值 这种方法叫做切线法 取 0 xa 或b 其逐次逼近公式为 1 1 1 n nn n f x xx fx 39 第四章 不定积分第四章 不定积分 一 不定积分的概念与性质一 不定积分的概念与性质 1 1 原函数与不定积分的概念 原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间I上 可导函数的导函数为 F x f x 即对任一xI 都有 Fxf x 或 dF xf x dx 那末函数就称为 F x f x 或 f x dx 在区间I上的原函数 的函数图形称 为 F x f x的积分曲线 原函数存在原理原函数存在原理 如果函数 f x在区间I上连续 那末在区间I上