拓扑学第2章拓扑空间连续映射.doc

第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。 2-1 数学分析中对连续性的刻画 由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设是一个函数，则在处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列收敛于，则序列收敛于；（2）语言对于，总可以找到，使当时，有 （3）邻域语言若是包含的邻域（开集），则存在包含的邻域，使得。解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述； 所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。 2-2 拓扑空间的定义一、拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设是一非空集，的一个子集族称为的一个拓扑，若它满足（1）；（2）中任意多个元素（即的子集）的并仍属于；(3) 中有限多个元素的交仍属于。集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。 先解释拓扑定义的理由: 从语言看：和分别为上的开区间； 从邻域语言看：是邻域，而是的邻域，连续的条件是，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，是的内点，有内点构成的集合为开集。 在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。 解释为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：回顾一下度量空间中开机的定义。在度量空间中，开机的定义：“由内点组成的集合”。即，若是开集，则，一定存在的邻域。这也是开集的判定条件。例1 上的开区间都是开集。而都不是开集，因为存在边界点或，它们不存在球形邻域含于集合之中。例2 任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如中开集 ， 前面给出的是拓扑的结构性的表述，下面给出代数性质的（逻辑的）表述，最终将其作为拓扑的公理化定义。性质： 度量空间中开集具有下述性质（1）与是开集；（2）是开集是开集（或有限多个交）；（3）（任何指标集），若是开集是开集。 证明：（1）由于中每一点的邻域必然包含于中(是整个空间，没有以外的元素)，故满足开集条件；其次，中没有任何元素，可以自然认为是开集。1A1A22x（2）设是上的开集。若，则必有且(核心说明中的点是内点)。于是，存在的球形邻域及.取，则是的球形邻域，且有，于是故是开集。 （3）设，于是存在某个，使；由于是开集，则存在. 故是开集。 解释利用开集刻画邻域的“完备性”我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下好的性质： ，至少有一个邻域，使属于该邻域； 对于的任意两个邻域，存在的另一邻域，使得(对于闭集不成立) 若的邻域中还有点，则存在的邻域含于的邻域中(分析中最有用的性质)。VU1U2xxy 这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛性质。二、拓扑空间的例子 判断是否为拓扑，主要检查是否满足三条公理：1、与是否在其中；2、对于有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。例1 设，在上可以构造29个拓扑，如 （共29个，其他的有同学自己列举） 例2 设，下列哪些是拓扑，哪些不是。如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。 解：是；不是，须添加；不是，须添加;不是，须添加。 例3 若和都是上的拓扑，则是上的拓扑吗？解： 不一定。如设，则，都是上的拓扑，而不是上的拓扑，因为. 例4 若和都是上的拓扑，则是上的拓扑吗？解： 是。（1）；（因为同属于和）（2）若 ； （3）将（2）中改为，仍成立。 下面给出几个常见的重要拓扑的例子。1 离散拓扑 非空集合的所有子集构成的集族（包括）。2 平庸（平凡）拓扑 是非空集合，。3 余有限拓扑 设是无穷集，称 是的有限集为上的余有限拓扑。4 余可数拓扑 设是不可数无穷集，称 是的可数子集为上的余可数拓扑。5 欧氏拓扑 是全体实数集合，称 是若干个开区间的并为上的欧氏拓扑。(注：“若干”可表示无穷，有穷或零个，故均含于其中) 严格讲，上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明3(余有限拓扑)证明：（1） 因为是有限集，而，则； 又由定义，在中，即。 （2） 设，若中有一个是，则自然有； 若均非空，则存在的有限子集，使得（有限集），于是， 由于为有限集，则仍是有限集，则是有限集的余，则.（3） 设（指标集），且存在，使非空。又设, 这里是上的有限集，于是 （根据摩根律）因为是有限集，则也是有限集，而是有限集的余，故.利用类似的方法，可以证明上面的所有例子。作为本节的一个知识要求：能够证明一个集族是拓扑。三、度量拓扑利用集合上定义的度量，可以在上定义邻域，即可以在上导出一个拓扑。这意味着，每个度量空间也都是拓扑空间。设为一度量空间，称集合 为以为中心的，为半径的球形邻域。引理： 度量空间的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。xx1x21- d (x, x1)d (x, x1)d (x, x2)U证明：如右图所示，设 ，则有记 则知，于是 证毕。 利用上述引理，我们可以在度量空间上构造一个拓扑。定理： 设(度量空间)的子集族 是若干个球形邻域的并集则是上的一个拓扑。 证明：（先明确“若干个”的含义，可以是无穷，有穷或零个） （1）由于球形邻域是开集，于是可以表示为无穷个球形邻域的并，表示为零个球形邻域的并，故拓扑公理1成立；（2）又由的定义知，任意多个邻域的并必属于，则公理2成立；（3）下面证明拓扑公理3成立。设，记 则 （由分配率） 由引理，一定满足的条件，即属于，故是若干个球形邻域的并，即. 证毕。综上定理，我们称为上由度量决定的度量拓扑（即，由若干个球形邻域之并构成的集族）。于是，每个度量空间（包括）都可以自然地看成为具有度量拓扑的拓扑空间。同时看出：三条拓扑公理正是度量空间开集具有性质的抽象。 23 拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念一、度量空间中的几个基本概念 球形邻域（开球），（前面已介绍，略）下面给出一个度量空间球形邻域的例子。例 表示区间上的连续函数全体，定义两个函数和的距离（） 令，则关于的球形邻域如下图所示。KK+K- a0bXY 内点 设是的一个子集，若且存在点的一个邻域，则称是的一个内点。说明：内点是这样的点，它自身属于，并且它“近旁”的一切点都属于。 外点 若，且存在一个邻域，则称是的一个外点。说明：外点是这样的点，它自身不属于，而且它的近旁的一切带内也不属于。A外点边界点内点 边界点 若,既非的内点，也非的外点。或者说，对于任何，与和的交均非空，则称是的一个边界点。 内部 中所有内点的全体称为的内部，记为或。 外部 的外点全体。 边界 的所有边界点全体，记为或。 开集 如果中的每一点都是的内点，即 。例如：开区间一定是中的一个开集；开圆盘一定是中的一个开集；一般的，任意n维开球一定是中的开集（但开集未必是开球）。此外，整个当然是中的开集约定：空集也是开集。 闭集 若是中的开集，则称是中的闭集。 聚点 设是的一个子集，若，有 则称是的一个聚点（或极限点）。说明： 如果是的一个聚点，那么必存在一列（n = 1，2，），使，这表明在内存在一列点积聚在周围，即谓之“聚”也。 注意，聚点本身可能属于，亦可能不属于。 的内点一定是的聚点，的外点一定不是聚点。问题：的边界点是不是的聚点呢？（不一定，有可能是孤立点） 导集 的所有聚点全体之集合，称为的导集，记为。 闭包 称为的闭包。例如：直线上的闭包是。 稠密子集 若，则称为的稠密子集，或称在中是稠密的。 疏子集(疏朗集) 若，称为的疏子集。 孤立点 若不是的聚点，即存在使得 则称是的孤立点。思考：1），也不是的聚点，是的什么点？2）孤立点与边界点关系？ 完全集 若是无孤立点的闭集，则称为的完全集。二、拓扑空间中的相关概念的定义我们在邻域概念中回避半径（度量），将含点的集合称为的邻域。于是有如下定义：设为拓扑空间，有（1）邻域 为的子集。若存在一个包含的开集（注：是中的元素），且，则称为的邻域。注：由定义知，开集本身也是所含元素的邻域。 邻域可以不是开集，但它是由开集来定义的，即邻域可以不再拓扑中。 凡是包含的开集（中的元素）均为的邻域，称为点的开邻域。 点的所有邻域构成的子集族，称为点的邻域系。（2）开集 在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑中的元素称为开集，这是公理性定义。定理： 拓扑空间的子集是开集为其每一点的邻域。即，则为的邻域。证明： （必要性）由邻域的定义，这是显然的。 （充分性）设为其每一点的邻域，于是，存在开集使得。 (注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明是开集) 由，有。因为是开集，故是开集.重点理解该定理的意义：对于中的子集，有 是非空开集是其每一点的邻域下面的结论是明显的（不加以证明）是拓扑空间，为的邻域系： ； 若，则； 若，则； （由开集的代数性质可得） 若，且，则； 若，则存在满足： 对于任一 （由邻域的定义及定理可得）（3）闭集 拓扑空间的一个子集称为闭集，若是开集。注释：、由于，则也是闭集； 平凡拓扑空间也是闭集构成的。、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。（4）内点 是的子集，若存在开集（即中元素）使得，则称是的一个内点。（5）内部 的所有内点的集合，记为或。（6）聚点 是的子集，若的每一邻域中都含有中的点， 则称是的一个聚点（或极限点）。（注：用的邻域而不是开集）（7）导集 的所有聚点的集合，称为的导集，记为或。（8）闭包 称为的闭包。（9）稠密集 若，则称关于是稠密的。 如果有可数的稠密子集，称是可分的拓扑空间。思考题： 余有限拓扑是可分的。 余可数拓扑是不可分的。三、拓扑空间上集合的一些重要性质性质1（关于闭集的性质） 拓扑空间的闭集满足（1） 与是闭集；（2） 任意多个闭集的交是闭集；（3） 有限多个闭集的并是闭集。 证明： （1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。性质2（关于内点的性质） 设是拓扑空间的子集，有 若，则； 是包含在中的所有开集的并集，因此，是包含在中的最大开集； 是开集； ； .证明： (提示：只要证明的内点一定是的内点) 设是的内点，则存在开集，使得；又,则必有，于是，也是的内点。故 ; 设是包含在中的所有开集构成的子集族。提示：我们只要证明 即可 首先， ，于是，对于，是的内点，即中所有点均是的内点。故有, 于是.又，若，则必有一个开集，使得.故对中的所有，有。所以，有。(并且是开集) 根据，任意开集的并是开集，则是开集。 又，设是开集，由知，是包含在自身内的最大开集，于是有.( 是中开集并) 一方面，由于，根据，有 ； 又 ，则有 ，故得到 。另一方面，由 且 ，则有,而 所以，有 。 因为 且 ，则有.根据，是包含在中的最大开集，故有 。 性质3（关于闭包的性质） 设是拓扑空间的两个子集，有（1）若，则；（2）是所有包含的闭集的交集，故是包含的最小闭集；（3）是闭集；（4）；（5）；（6）与互余，则与互余。（即）证明：（1）（5）留给同学们作为作业，可仿性质2的证明。下面仅证明（6）。（思路： 即） ，意味着的任一邻域与都有交点，于是 有邻域与不相交 有邻域包含于中 （因为是的余）是的内点。上式说明：中的点都是