集合的基本运算.ppt

1 1 3集合的基本运算 1 一般地 由所有属于集合A属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集 记作 用描述法表示为 1 设A 1 2 B 2 3 4 则A B 2 设A 1 2 B a 3 若A B 1 2 3 则a 若A B 1 2 3 4 则a 3 设A x x 2 则A B 5 设A x x1 则A B 或 A B x x A或x B 1 2 3 4 1或2 4 x x 1 R x x1 2 一般地 由所有属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集 记作 用描述法表示为 用Venn图表示为 1 设A 1 2 B 2 3 4 则A B 2 设A x x2 则A B 且 A B x x A且x B 2 D 4 设A 1 2 B a 3 若A B 1 则a 若A B 则a 5 设A x x 1 B x x 2 则A B 3 1 A A A A A A A BB A A BB A A B C A B C A B C A B C A B A A B B A A B B A B 1 1或2 A A A 2 A B A B A B A B A B AB A B A B 3 A B C A B A C A B C A B A C 4 设A 3 5 6 8 B 4 5 7 8 则A B A B 5 2010 湖南文 9 已知集合A 1 2 3 B 2 m 4 A B 2 3 则m 解析 由题意知m 3 答案 3 A B 5 8 3 4 5 6 7 8 6 09 上海文 已知集合A x x 1 B x x a 且A B R 则实数a的取值范围是 答案 a 1 解析 将集合A B分别表示在数轴上 如图所示 要使A B R 则a 1 7 你会求解下列问题吗 集合A x 2 xm A B 则m的取值范围是 2 若B x x m A B 则m的取值范围是 3 若B x x m 5且x 2m 1 A B 则m的取值范围是 m 2 m 1 1 m 3 本节重点 交集与并集的概念 本节难点 弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别 1 正确理解和区分集合的 交 并 运算 A与B的交集是由A与B的所有的公共元素组成的集合 当两个集合A与B无公共元素时 A B A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合 当两个集合有公共元素时 公共元素在A B中只能出现一次 要注意 且 与 或 的含义 注意 且 与 或 和 交 与 并 分别对应 2 利用数形结合的思想 将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来 从而求集合的交集 并集 这是既简单又直观且是最基本 最常见的方法 要注意灵活运用 3 集合元素的互异性在解决集合的相等关系 子集关系 交集等时常遇到 忽视它很多时候会造成结果失误 解题时要多留意 解决集合问题时 常常要分类讨论 要注意划分标准的掌握 做到不重 不漏 注意检验 若已知x A B 那么它包含三种情形 x A且x B x B且x A x A且x B 这在解决与并集有关问题时应引起注意 例1 1 若A 1 1 3 B 2 1 2 3 求A B 2 设A x 1 x 2 B x 1 x 3 求A B 分析 1 由并集的定义求解 2 结合数轴求解 解析 1 A B 2 1 1 2 3 2 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 1 已知集合A x x2 16 0 B x x2 x 12 0 则A B 2 设A x x是锐角三角形 B x x是钝角三角形 则A B 答案 1 3 4 4 2 x x是斜三角形 解析 1 A 4 4 B 3 4 A B 3 4 4 2 A B x x是锐角三角形 x x是钝角三角形 x x是斜三角形 在求A B时 只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可 反之 若已知a A B 那么就可以断定a A且a B 若A B 说明集合A与B没有公共元素 例2 09 全国 文 设集合M m Z 3 m 2 N n Z 1 n 3 则M N A 0 1 B 1 0 1 C 0 1 2 D 1 0 1 2 解析 M 2 1 0 1 N 1 0 1 2 3 M N 1 0 1 故选B 若集合A x 2 x 3 B x x4 则集合A B等于 A x x 3或x 4 B x 1 x 3 C x 3 x 4 D x 2 x 1 答案 D 解析 将集合A B表示在数轴上 由数轴可得A B x 2 x 1 故选D 例3 已知A x y 4x y 6 B x y 3x 2y 7 则A B 已知A x x是等腰三角形 B x x是直角三角形 则A B 答案 x x是等腰直角三角形 解析 A B x x是等腰三角形 x x是直角三角形 x x是等腰直角三角形 例4 已知集合A x 1 x 3 B x x 2 试求A B和A B 分析 借助于数轴直观解题 解析 根据A B A B的定义 借助图形可知 A B x 2 x 3 A B x x 1 总结评述 要注意A B与A B的区别与联系 特别注意端点位置的数是否在其中 设集合A x 1 xa 1 若A B 则a的取值范围是 2 若A B 则a的取值范围是 3 若A B B 则a的取值范围是 4 求A B A 则a的取值范围是 答案 1 a 1 2 a 3 3 a 1 4 a 1 解析 借助数轴讨论 注意端点能否取到 例5 已知集合A 4 2a 1 a2 B a 5 1 a 9 分别求适合下列条件的a值 1 9 A B 2 9 A B 分析 9 A B与 9 A B意义不同 9 A B说明9是A与B的一个公共元素 但A与B中允许有其它公共元素 9 A B 说明A与B的公共元素有且只有一个9 解析 1 9 A B 9 A 2a 1 9或a2 9 a 5或a 3 检验知 a 5或a 3满足题意 2 9 A B 9 A B a 5或a 3 检验知 a 5时 A B 4 9 不合题意 a 3 总结评述 1 中检验的是集合A B中的元素是否是互异的 a 3时 B中元素a 5与1 a相同 所以a 3应舍去 2 中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素 a 5时 A 4 9 25 B 0 4 9 这时A B 4 9 9 所以a 5应舍去 已知 A x 2x2 ax b 0 B x bx2 a 2 x 5 b 0 且A B 求A B 例6 高一 3 班的学生中 参加语文课外小组的有20人 参加数学课外小组的有22人 既参加语文又参加数学小组的有10人 既未参加语文又未参加数学小组的有15人 问高一 3 班共有学生几人 分析 借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数 用card A 表示集合A中所含元素的个数 则计数公式card A B card A card B Card A B 解析 设U 高一 3 班学生 A 高一 3 班参加语文小组的学生 B 高一 3 班参加数学小组的学生 则A B 高一 3 班既参加语文小组又参加数学小组的学生 有card U 15 card A B 15 card A card B card A B 15 20 22 10 47 人 故高一 3 班有47名学生 50名学生报名参加A B两项课外活动小组 报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三 报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人 两组都没报名的人数比同时报名参加A B两组人数的三分之一多1人 求同时报名参加两组的人数 例7 设集合A y R y x2 1 x R B y R y x 1 x R 则A B A 0 1 1 2 B 0 1 C 1 2 D y R y 1 辨析 以上解法不对 集合A B应该结合代表元素从整体意义上把握 它们是当x取一切实数时所得的y的值的集合 在审题时必须首先弄清集合的本质含义 正解 A y R y 1 B R 故A B y R y 1 正确答案为D 一 选择题1 若集合M x y x y 0 P x y x y 2 则M P等于 A 1 1 B x 1或y 1 C 1 1 D 1 1 答案 D 2 设集合A x 1 x 2 集合B x x a 若A B 则实数a的取值集合为 A a a 2 B a a 1 C a a 1 D a 1 a 2 答案 C 解析 如图 要使A B 应有a 1 3 09 辽宁文 已知集合M x 35 则M N A x x 3 B x 55 答案 A 解析 在数轴上分别表示出集合A B 观察得出答案 4 09 广东理 已知全集U R 集合M x 2 x 1 2 和N x x 2k 1 k 1 2 的关系的韦恩 Venn 图如图所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 3个B 2个C 1个D 无穷多个 答案 B 解析 M x 1 x 3 N为正奇数集 M N 1 3 二 填空题5 A x N 4 x 8 B x x2 8x 15 0 则A B 答案 3 5 6 7 解析 解A 5 6 7 B 3 5 A B 3 5 6 7 6 若A x a x 1 则B x x b A B x 2 x 1 A B x x 2 则a b 答案 0 解析 由A B知a 2 由A B知b 2 a b 0 7 09 湖南文 某班共30人 其中15人喜爱篮球运动 10人喜爱乒乓球运动 8人对这两项运动都不喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 答案 12 解析 如图 全班同学组成集合U 喜欢篮球的组成集合A 喜欢乒乓球运动的组成集合B 则A B中人数为 15 10 8 30 3人 喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15