某年工程硕士数学基础能力测试(pdf 13页).pdf

第二部分 第二部分 数学基础能力测试数学基础能力测试 25 题 每题 4 分 共 100 分 1 设 1 1234 1 n n Sn L 则 20042005 SS A 2 B 1 C 0 D 1 2 在一条长 3600 米的公路一边 从一端开始等距竖立电线杆 每隔 40 米原已挖好一个坑 现改为每隔 60 米立一根电线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 A 50 和 40 B 40 和 50 C 60 和 30 D 30 和 60 3 某校有若干女生住校 若每间房住 4 人 则还剩 20 人未住下 若每间住 8 人 则仅有一 间未住满 那么该校有女生宿舍的房间数为 A 4 B 5 C 6 D 7 4 甲 乙两种茶叶以 x y 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 50 元 乙种每 斤 40 元 现甲种茶价格上涨 10 乙种茶价格下降 10 后 成品茶的价格恰好仍保持不变 则 x y 等于 A 1 1 B 5 4 C 4 5 D 5 6 5 在一条公路上 汽车 A B C 分别以每小时 80 70 50 公里的速度匀速行驶 汽车 A 从甲站开向乙站 同时车 B 车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站 途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇 那么甲乙两站相距 A 2010 公里 B 2005 公里 C 1690 公里 D 1950 公里 6 设 a b c均为正数 若 cab abbcca 则 A cab B bca C abc D cba 7 实数 a b c在数轴上的位置如下图所示 图中O为原点 则代数式 abbaacc A 32 ac B 2 aabc C 2 ab D 3a 8 已知 1 ab 且满足 2 2200830 aa 和 2 3200820 bb 则 A 320 ab B 230 ab C 320 ab D 230 ab 9 arg z表示z 的幅角 今有 arg 2 i arg12i 则 sin A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 3 5 10 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 每格至多放一个球 则 3 个空格相连的概 率是 A 3 56 B 5 56 C 3 28 D 5 28 11 如图 直角 ABCC 中 为直角 点E 和D F 分别在直角边 AC 和斜边AB 上 且 AFFEEDDCCB 则 A B A 8 B 9 D C 10 D 11 F C E A 12 如图 长方形 ABCD 由四个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成 若长方形 ABCD 的面积为S 则正方形 EFGH 面积为 D E C A 8 S B 10 S H F C 12 S D 14 S G A B 13 在圆心为O 半径为 15 的圆内有一点P 若OP 12 则在过P 点的弦中 长度为整 数的有 A 14 条 B 13 条 C 12 条 D 11 条 14 直线l 与直线21 xy 关于直线 0 xy 对称 则直线l 的方程是 A 21 xy B 21 xy C 21 xy D 21 xy 15 ABC 中 AB 5 AC 3 A x 该三角形BC 边上的中线长是x的函数 yfx 则当x在 0 中变化时 函数 fx 取值的范围是 A 0 5 B 1 4 C 3 4 D 2 5 16 如图 fx g x 是两个逐段线性的连续函数 设 u xfg x 则 1 u 的值 为 A 3 4 B 3 4 C 1 12 D 1 12 17 过点 sin pp 作曲线 sin yx 的切线 设该曲线与切线及 y 轴所围成的面积为 1 S 曲线与直线xp 及x轴所围成的面积为 2 S 则 A 2 0 12 1 lim 3 p S SS B 2 0 12 1 lim 2 p S SS C 2 0 12 2 lim 3 p S SS D 2 0 12 lim1 p S SS 18 如下不等式成立的是 A 在 3 0 区间上 ln3ln 3 xx C 在 0 区间上 ln3ln 3 xx D 在 0 区间上 ln3ln 3 xx 与x 轴所构成的区域面积分 为 A S 与 B S 两部分 则 y 2 21 yx A AB SS A S B S x D A S 与 B S 的大小关系与b 的数值有关 o b 21 设 111213 212223 313233 0 aaa aaaM aaa 则行列式 111213 313233 212223 222 222 222 aaa aaa aaa A 8 M B 2M C 2M D 8M 22 设 100 020 003 A 110 122 013 B 1 CAB 则矩阵 1 C 中 第 3 行第 2 列的元素 是 A 1 3 B 1 2 C 1 D 3 2 23 若向量 线性无关 而向量 2 2 3 k 线性相关 则k A 3 B 2 C 2 D 3 24 设矩阵 122 26 306 Ax 三阶矩阵 0 B 且满足 0 AB 则 A 8 xB 的秩 1 B 8 xB 的秩 2 C 8 xB 的秩 1 D 8 xB 的秩 2 25 下列矩阵中 与对角矩阵 100 010 002 相似的矩阵是 A 101 021 001 B 110 021 001 C 101 010 002 D 110 010 002 第二部分 数学基础能力测试 简答 1 设 n S n n 1 1 4 3 2 1 则 2005 2004 S S A 2 B 1 C 0 D 1 分析 由于 1002 2004 2003 4 3 2 1 2004 S 2005 2004 2005 S S 所以 1 2005 2 1002 2005 2004 S S 2 在一条长 3600 米的公路一边 从一端开始等距竖立电线杆 每隔 40 米原已挖好一个 坑 现改为每隔 60 米立一根电线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 04 A 50 和 40 B 40 和 50 C 60 和 30 D 30 和 60 分析 40 和 60 的最小公倍数是 120 在 120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑 故需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 60 3 某校有若干女生住校 若每间房住 4 人 则还剩 20 人未住下 若每间住 8 人 则仅有 间未住满 那么该校有女生宿舍的房间数为 A 4 B 5 C 6 D 7 分析 设女生宿舍的房间数为x 则 x x x 8 20 4 7 解得 6 x 4 甲 乙两种茶叶以 x y 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 50 元 乙种 每斤 40 元 现甲种茶价格上涨 10 乙种茶价格下降 10 后 成品茶的价格恰好仍保 持不变 则 y x 等于 04 A 1 1 B 5 4 C 4 5 D 5 6 分析 由于 y x y x 1 0 40 40 1 0 50 50 40 50 所以 5 4 y x 5 在一条公路上 汽车 A B C 分别以每小时 80 70 50 公里的速度匀 速行驶 汽车 A 从甲站开向乙站 同时车 B 车 C 从乙站出发与车 A 相向而行 开往甲站 途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇 那么甲乙两站相距 04 A 2010 公里 B 2005 公里 C 1690 公里 D 1950 公里 分析 设甲乙两站相距l公里 则 50 80 2 70 80 l l 解得 1950 l 6 设 c b a 均为正数 若 a c b c b a b a c 则 A b a c B a c b C c b a D a b c 分析 本题利用代入法最为简单 当 b a c 时 正分数 a c b c b a b a c 的分子依次 增大 分母依次减小 所以 a c b c b a b a c 7 实数 c b a 在数轴上的位置如下图表示 图中 O 为原点 则代数式 c c a a b b a A c a 2 3 B c ab a 2 C b a 2 D a 3 分析 因为 c a b 0 所以 c a c a c b a b a c c a a b b a 2 3 8 已知 1 ab 且满足 0 3 2008 2 2 a a 和 0 2 2008 3 2 b b 则 A 0 2 3 b a B 0 3 2 b a C 0 2 3 b a D 0 3 2 b a 分析 由于 6 24 2008 2008 4 24 2008 2008 2 2 b a 且 1 ab 所以 当 4 24 2008 2008 2 a 时 6 24 2008 2008 2 b 当 4 24 2008 2008 2 a 时 6 24 2008 2008 2 b 从而有 0 3 2 b a 或根据 0 3 2 2008 9 4 2 2 b a b a 也可以推出有 0 3 2 b a 9 z arg 表示z 的幅角 今又 2 1 arg 2 arg i i 则 sin A 5 4 B 5 3 C 5 4 D 5 3 分析 由于 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以 5 3 sin cos cos sin sin 10 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 每格至多放一个球 则 3 个空格相连的概 率是 A 56 3 B 56 5 C 28 3 D 28 5 b a O c 分析 将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中 共有 5 8 C 种放法 3 个空格相连的放法 有 6 种 所求概率为 28 3 6 5 8 C 11 如图 直角 ABC 中 C 为直角 点 E 和 D F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上 且 AF FE ED DC CB 则 A 04 A 8 B 9 C 10 D 12 分析 如图 根据条件可知 三角形 AFE FED DCB 都是等腰三角形 根据三角形的外角等于不 相临的两个内角和及对顶角相等 可知角 EFD 的大小为 2A 角 CED 的大小为 3A 角 BDC 的大小为 4A 所以角 A 和角 B 之和为 5A 从而 10 A 12 如图 长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成 若长方形 ABCD 的 面积为S 则正方形 EFGH 的面积为 04 A 8 S B 10 S C 12 S D 14 S A B C E D F 2A 3A 4A 4A A C B E D F 分析 设小正方形的边长是a 则 GC 的长度是 a 2 HB 的长度是 a 3 AD 的长度是 a 2 2 所以 2 2 2 2 2 4 2 9 2 2 1 a a a a a S 从而 S a 12 1 2 13 在圆心为 O 半径为 15 的圆内有一点 P 若 OP 12 则在过 P 点的弦中 长度为整数的 有 04 A 14 条 B 13 条 C 12 条 D 11 条 分析 如图 过 P 且与直径垂直的弦的长度是 18 12 15 2 2 2 这也是过 P 点的弦中长度最短 的 由于直径是过 P 点的弦中最长的一条 所以过 P 点的弦中长度为整数的有 13 17 30 条 注 按本题的问法 考虑到对称性 结果应为 24 条 但选项中没有这个选项 14 直线l与直线 1 2 y x 关于直线 0 y x 对称 则直线l的方程为 04 A x 2y 1 B x 2y 1 C 2x y 1 D 2x y 1 分析 O P A A B C G H D 如图 由于直线 1 2 y x 过点 0 2 1 1 0 这两点关于直线 0 y x 的对称点分别是 2 1 0 0 1 故直线l过点 2 1 0 0 1 所以其方程为 1 2 1 x y 15 ABC 中 AB 5 AC 3 x A 该三角形 BC 边上的中线长是x的函数 x f y 则当x在 0 中变化时 函数 x f 取值的范围是 04 A 0 5 B 1 4 C 3 4 D 2 5 分析 如图 当 x A 在 0 内变化时 BC 边上的中线长 f x 的变化范围是 4 1 16 如图 x g x f 是两个逐段线性的连续函数 设 x g f x u 则 1 u 的值为 A 4 3 B 4 3 C 12 1 D 12 1 A B C f x 3 5 x y 0 2x y 1 1 1 2 1 1 2 分析 由于 1 1 1 g g f u 4 1 3 1 3 1 3 1 f g f g g 所以 4 3 1 u 17 过点 sin p p 作曲线 x y sin 的切线 设该曲线与切线及 y 轴所围成的面积为 1 S 曲 线与直线 p x 及x轴所围成的面积为 2 S 则 A 3 1 lim 2 1 2 0 S S S p B 2 1 lim 2 1 2 0 S S S p C 3 2 lim 2 1 2 0 S S S p D 1 lim 2 1 2 0 S S S p 分析 由于 1 cos cos 2 1 sin sin cos sin 2 0 1 p p p p p dx x p x p p S p p xdx S p cos 1 sin 0 2 所以 1 sin 2 1 sin sin lim cos 2 1 sin cos 1 lim lim 2 0 2 0 2 1 2 0 p p p p p p p p p S S S p p p 18 如下不等式成立的是 A 在 0 3 区间上 3 ln 3 ln x x C 在 0 区间上 3 ln 3 ln x x 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 6 f x g x D 在 0 区间上 3 ln 3 ln x x x x x x x f 又 0 0 f 所以在 0 3 区间上 有 0 0 19 设 x f 为连续函数 且 1 sin sin 0 xdx x x f 则 0 cos sin xdx x x x f A 0 B 1 C 1 D 分析 因为 0 sin sin xdx x x f 0 cos sin xdx x x x f 0 sin sin 0 0 0 du u f x x d x x f 且 1 sin sin 0 xdx x x f 所以 1 cos sin 0 xdx x x x f 20 如图 抛物线 2 1 2 x y 把曲线 0 b x b x y 与x 轴所构成的区域面积分 为 A S 与 B S 两部分 则 A B A S S D A S 与 B S 的大小关系与b 的 数值有关 分析 解 1 2 2 x b x x 得 2 0 2 1 b x x 由于 3 2 0 2 12 1 1 2 b dx x x b x S b A 3 2 2 0 2 12 1 1 2 b dx x b x dx x S b b b B 所以 B A S S 21 设 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 M a a a a a a a a a 则行列式 23 22 21 33 32 31 13 12 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a A M 8 B M 2 C M 2 D M 8 分析 M a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 23 22 21 33 32 31 13 12 11 3 23 22 21 33 32 31 13 12 11 22 设 1 3 1 0 2 2 1 0 1 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 AB C B A 则矩阵 1 C 中 第 3 行第 2 列的元 素是 A 3 1 B 2 1 C 1 D 2 3 分析 因为 3 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 3 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 BA C 所以矩阵 1 C 中 第 3 行第 2 列的元 素是 2 1 0 2 1 0 23 若向量 线性无关 而向量 3 2 2 k 线性相关 则 k A 3 B 2 C 2 D 3 分析 因为向量 3 2 2 k 线性相关 所以存在不全为零的 3 2 1 k k k