数列部分在高考中的通通法.doc

数列部分在高考中的通性通法 数列部分在高考试题中所占的分值为17分左右，除了选择题和填空题以外，在近几年高考的全国卷和各个省市卷中大部分都有一到解答题是数列题，而且很多试卷是把数列题作为压轴题。在高考试题中数列有关的问题，抛开一些其它知识的“包装”，就数列本身而言，考查的能力点主要有以下四个方面：第一是求通项公式问题；第二是求和问题；第三是数列性质应用问题；第四是求数列极限问题。本文根据近几年高考中出现的数列有关问题题，对前两个方面的通性通法进行归纳并列举其应用。一、求通项公式的通性通法解答求数列通项公式的通法主要分三大类：第一类是已知数列的特征（等差数列、等比数列），求通项公式；第二类是已知数列的前项和，求这个数列的通项公式，第三类是已知递推公式，求通项公式。第一类是直接运用有关知识点解决的问题，所以在这里不再叙述，本文只介绍后两类有关的问题。（一）已知数列的前项和，求数列的通项公式给出数列的前项和，求数列的通项公式的方法只有一种，即利用数列的性质：例1 已知数列前项和，求数列的通项公式。解：因为，所以，又因为也符合，所以数列的通项公式为。评注：在利用数列的性质求通项公式时，一定要注意首项与第二项起的通项公式之间的关系，如果出现“不一致”的情况，必须分段表示。例如：例1中的前项和变为，则数列的通项公式为。例2 已知数列前项和，求数列的前项和分析：表面上看，这个题目是求和问题，但实际是求通项公式问题。因为，所以只要求出数列的通项公式，就知道数列的符号情况，进而可求。解：又因为也符合，所以数列的通项公式为。由数列的通项公式易知，当时，当时，。所以（1）当时，；（2）当时， 。综上所述，评注：数列的有关问题中，数列的性质是解决问题的非常重要的依据，除了直接用来求通项公式以外，还可以利用性质构造递推公式，这方面的应用在下面有专门的介绍。（二）、利用递推公式求通项公式在高考中有关数列求通项公式的试题中，主要是以给出递推公式求通项公式的问题，所以作为要参加高考的学生来说，这个部分是在数列有关的问题中需要重点掌握的内容。到2006年为止，在高考试题中出现的利用递推公式求通项公式的问题，通法归纳起来主要有以下三种方法。构造新数列法：将递推公式经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式）。猜想归纳法：利用递推公式先求出前几项，根据前几项猜想出通项公式，然后用数学归纳法证明其正确性。迭代法：根据递推公式循环代入，一直代入到首项为止。 需要说明的是：以上三种通法对于有些数列求通项公式问题是都适用，但根据递推公式结构的不同，三种方法体现着不同的局限性。一般情况下，如果递推公式结构比较复杂，而且很难构造新数列时，一般采用“猜想归纳法”，除此以外，另两种方法要根据递推公式的具体结构再做选择。例3（06年福建卷）已知数列满足 （）求数列的通项公式。（解法一）分析：根据条件中的递推关系的结构看，可以想到：先求前几项观察以下有什么规律性，由此可以猜想到这个数列的通项公式，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。解法一（猜想归纳法）：由此猜想，下面用数学归纳法证明其正确性：（证明部分略）评注：运用“猜想归纳法”求数列通项公式时，关键在于根据观察前几项的特征猜想出其蕴涵的一般规律性，即猜想出通项公式。因为数列的通项公式体现的是数列的项数与项之间的内在联系，也就是两者之间的函数关系，所以要多从项数与项之间找到相互的关联性。但这种方法的难点就是开始求的过程中怎样去发现特殊的结构，比如怎么能想到这个题目中的，从中也说明了这种方法的局限性，所以需要考虑另找其他的通法。（解法二）分析：如果关于的方程有解，那么可以构造新数列求通项公式。根据已知条件求这个方程方程的解得，这样把求的通项公式的问题转化为求新数列的通项公式的问题。解法二（构造新数列法）：数列是公比为的等比数列所以数列的通项公式是评注：1）这种方法虽然是非常简捷，但如果观察不到结构的特殊性，就想不到构造新数列，所以仔细观察题目中的结构特征是运用这种方法解决求通项公式的问题的关键所在。 2）我们根据这种方法求通项公式时需要构造的新数列一般都是等差数列、等比数列或常数列，或构造可求和的新数列的和的形式（如：给出前两项，再给出或等）。（解法三）分析：递推公式体现的是任意连续两项之间的关系，所以如果从第项依次代入到首项为止，就可求出通项公式。解法三（迭代法）：所以数列的通项公式是评注：如果递推公式结构不是很复杂的时，一般情况下可用“迭代法”。以上三种方法针对例3都适用是由于递推公式的结构相对简单，但一般情况下，给出的递推关系要根据结构特点适当地选择通法才能比较顺利地求出其通项公式。看下面的三个例题。例4 （06年江西卷）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；分析：从这个题目的递推关系：，首先能发现这样的特殊性，即把右边的除到右边后，左右两边项与对应的项数在分子和分母所处的“地位”是等同的，但还不是数列的递推关系的结构，看到右边分母的结构，可以想到把等式两边化成原来的倒数，然后就会发现的递推关系！这种递推关系是属于比较容易求通项公式的结构，这样就可以运用“构造新数列”方法去求这个数列的通项公式。解：所以数列公比为的等比数列，又因为a1 数列an的通项公式是：评注：根据给出的递推公式，也可以用“归纳猜想法”，但难度很大，而“迭代法”几乎“不可能”用，即使能用，难度更大，所以此例选用最佳的通法还是“构造新数列法”。例5 （05年江西卷）已知数列的各项都是正数，且满足：。求数列的通项公式。分析：从所给的递推关系的结构特征（左边是一次结构，右边是二次的结构，这样和的“地位”不同），容易看出很难构造新数列，所以想到运用“迭代法”。解：所以，令，则又，所以注：此题从解法的核心步骤看是运用“迭代法”。虽然前面也用构造“新数列”了，但构造新数列并没有达到直接求通项公式的结构，而是化成了迭代的结构而已。例6 （06全国卷II）设数列的前项和为，且方程有一个根为，（I）求，；（II）求的通项公式。分析：本题条件中有关于的方程，通过、求解、，利用得到关于与的关系，结合本题条件进一步猜想的表达式，在应用数学归纳法证明后，再利用得出的通项公式。解：（I）当时，为方程的根，代入解得，同理解得。（II）由题设，当时，代入有， ，记为式，由（I）知，由式可推知，从而猜想，下面用数学归纳法证明这个结论：（1）当时，结论成立；（2）假设当时，成立，那么当时，由式得，故当时结论成立，从而，于是当时，当时，也成立，的通项公式，。评注：本例通过第1问的求解完全可以直接猜想出，但运用数列性质把转化为的递推关系是非常麻烦的，所以应该先求，再求。二、求和的通性通法数列求和问题在高考中主要考查的是两类问题：一类是利用等差数列、等比数列的前项和公式求和；另一类是先进行适当的恒等变形，把数列求和问题转化为可求和的形式。本文只介绍后一类的求和问题，有关的方法概括地说是有四种“通法”，即“错位相减法”、“裂项法”、“倒序相加法”和“二项式定理法”，由于后两种方法结构都很特殊（如含有组合数符号的数列求和问题，很容易想到利用后两种方法中的一种），所以高考试题中出现的机会很少，本文只介绍前两种“通法”。（一）错位相减法“错位相减法”主要是针对数列的通项公式的表达式为等差数列和等比数列的乘积构成的新数列的求和问题。这种通法核心思维是：写出前n项和的等式，然后等式两边乘以等比数列的公比得到新的一个等式，经过错位相减将不可求和的数列转化为等比数列的求和问题。例7（05年湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前n项和Tn.解：（1）（略）（II）由（）知，两式相减得评注：如果乘积中的等比数列的公比是参数形式，一定要注意公比是否等于1。（二）、裂项法适合用“裂项法”求和的数列必须满足以下条件：，其中是非零的常数。其中右边中的数列最常见的是等差数列，即。其它的裂项还有：，等等。例8 （06年全国卷）设数