圆锥曲线答案部分.doc

圆锥曲线答案部分(一)解：设点的坐标则1分3分由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分从而得所以代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.13分（二）解法一：（1）设由得：3分直线PA的方程是：即同理，直线PB的方程是：由得：点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得：10分所以故存在=1使得12分解法二：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分（三）解：(1)设OP：y=k x,又条件可设AR:y=(xa),解得：=(,),同理可得=(,),|=|+|=.4分设=(m,n),则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2=,n2=,|2=:m2+n2=+=,点P在双曲线上，b2a2k20.无论P点在什么位置，总有|2=|.4分（2）由条件得：=4ab,2分即k2=0,4ba,得e2分由得上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分（四）解：（I）右准线，渐近线，3分（II）双曲线C的方程为：7分（III）由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范围是（0，1）13分（五）解：（I），渐近线方程为4分（II）设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线设由（i）（ii）得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分（六）解：（1）设点其中由分所成的比为85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）满足条件的圆心为，8分圆半径10分由圆与直线：相切得，又椭圆方程为12分（七）解（）证明：直线A2N的方程为4分，得（）10分当12分（八）解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2，得y=x.过点P的切线的斜率k切=x1，直线l的斜率kl=-，直线l的方程为yx12=(xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点x0=-，y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则.y=x2由消去x，得y22(k2+b)y+b2=0.y=kx+by1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.（九）解:(1)设点,点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以,点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点,点N的坐标为,当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,不合题意,舍去;(5分)设直线l:由消去x,得(6分),点N的坐标为.(8分)若,坐标为,则点E的为,由点E在曲线C上,得,即舍去).由方程得又.(10分)若,由得点N的坐标为,射线ON方程为:,由解得点E的坐标为.综上,的充要条件是.(12分)（十）解：（1）（2）因，则（1） 设，当时，（十一）解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.（十二）解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得解此不等式得由、得故k的取值范围为（十三）解：（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么.这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得上式从2到n求和得因故成立.（十四）解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.（十五）（）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得设是方程的两个不同的根，且由N（1，3）是线段AB的中点，得解得k=1，代入得，的取值范围是（12，+）.于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，N（1，3）是AB的中点，又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0.（）解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程的两根，于是由弦长公式可得将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得同理可得当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即由式知，式左边由和知，式右边式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得解和式可得不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）（十六）解：()设椭圆方程为，半焦距为，则()（十七）解：()设函数的图象上任意一