“统计与概率”的学与教).docx

“统计与概率”的学与教在新一轮基础教育课程改革中， 2001 年教育部颁发的全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）（以下简称课程标准）将“统计与概率”作为一个完整的学习内容板块与“数与代数”、“空间与图形”及“实践与综合应用”一样，贯穿于整个义务教育数学课程。 “统计与概率”之所以会在新一轮基础教育的数学课程改革中受到特别重视，并在课程标准中占据重要位置，与它在当今社会生活中的实际运用价值和在培养学生数学素养上的重要作用密不可分。在现代社会，大到一个国家乃至全球的宏观经济运行指标，小到一个家庭的日常生活开支，无处不运用统计来进行分析和决策；同时，世间万物的运行方式和人类社会生活中的各种事件，往往包含着许多不确定因素，这样，概率中的随机观念就显得至关重要。更为重要的是，随机思想和统计观念在培养学生成为对社会有用的人等方面具有特殊的作用，一个要在现代社会生存并求得发展的人，必然要时时处处对外界事物做出自己的判断和决策，而判断和决策的过程往往离不开统计和概率的作用。在我国中学数学课程教材发展中，“统计与概率”的内容曾经历了“三起三落”： 第一次是在 1960 年。在大跃进思潮的影响下的教育改革，把概率统计内容“改进”了中学教材。 第二次是在 1978 年。当时我国教育部颁布了全日制十年制教学计划试行草案，其中首次规定在初中三年级学习统计初步，内容有总体和样本，频率分布，样本均值，方差和标准差，共计划 12 课时。后来又增加累积频数分布和累积频率分布，共 16 课时。概率统计内容在数学大纲中受到明显重视，但是在执行过程中，却出现了“四难现象”教材难编、教师难教、学生难学、试题难出。 概率统计的第三次进入中学课程是在 1988 年。除了进一步落实在第二次高潮中增加的统计内容外，还较大幅度地改进了概率的教学内容，对概率统计教学给出了一个较为丰富的框架。 1992 年国家教委颁布的九年义务教育全日制初级中学教学大纲，原则上继续重申前几次大纲所规定的内容。这体现了国家教育部门对概率统计教学的一贯重视，但是从全国来看，在概率统计教学方面，上述“四难”现象并未解决。统计与概率教学仍然处在主流之外。直到 1996 年 5 月国家教育部教育司在制定的全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）中再次设置统计与概率内容。 课程标准中“统计与概率” 主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性大小的刻画，来帮助学生做出合理的推断和预测。其中 7-9 年级主要要求学生体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。 第一节 “统计与概率”的内容分析下面我们将从目标与内容、数学思想方法以及课程前后之间的联系来分析 7-9 年级的 “统计与概率”的内容。 一、 1-6 年级“统计与概率”内容的简要回顾 1-6 年级的 “ 统计与概率”学习的主要内容有：在 1-3 年级， 学生将对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性 ；在 4-6 年级，学生将经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果做出简单的判断与预测；将进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。 （一） 1-6 年级“统计与概率”的目标与内容 第一学段（ 1-3 年级）“统计与概率”的具体目标与内容是：数据统计活动初步和不确定现象。 第二学段（ 4-6 年级）“统计与概率”的具体目标与内容是：简单数据统计过程和可能性。 （二） 1-6 年级“统计与概率”中蕴涵的 数学思想方法 1-6 年级的“统计与概率”所渗透的数学思想方法主要有以下几个方面： 1. 数形结合思想 在“统计与概率”（ 1-6 年级）学段的学习中，充分体现了 数形结合思想。譬如，在第一学段（ 1-3 年级）就出现了象形统计图、条形统计图及相应的图表。在第二学段（ 4-6 年级）则进一步引入了折线统计图、扇形统计图及相应的图表。图表能够直观、形象地展示丰富的信息，有助于 “统计与概率”学习中 形象思维的展开。 2 . 分类思想 分类思想是一种非常重要的思想方法。任何处理大量经验材料的科学研究，都离不开科学的分类，否则无从下手。 “统计与概率” 的研究也毫不例外。在 “统计与概率” 的教学中，分类思想方法对 “统计与概率” 的研究有着基础的重要性，深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种数学思想方法的前提。 “统计与概率” 中所涉及的许多问题（如：随机现象）最后往往都要通过分类思想方法转化为确定性问题。 （三） 1-6 年级 与初中 的“统计与概率” 的衔接问题 7-9 年级学生 要研究的关于“统计与概率”方面的内容与 1-6 年级学段的内容是呈螺旋上升的趋势的。对于数据的收集、整理、描述和分析的过程要求逐步加深，从“有所体验、学习一些简单的数据处理方法”到“根据数据信息做出判断”。对于概率的学习从“感受不确定现象、体验事件发生的可能性大小”到“简单的概率计算”，体现了教学内容层层深入的理念，有利于帮助学生逐步建立起“初步的统计与概率观念”。 譬如，在“数据统计活动初步”中， 1-6 年级的“统计与概率”的 要求是：对数据收集、整理、描述和分析过程有所体验，并经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时，可使用计算器）。中学对学生经历数据的收集、整理、描述和分析过程的研究是在小学初步认识的基础上，形成了一套有完整步骤的方法，也就是将小学熟悉了的“体验”过程，自然地过渡到形成理论方法的高度。 二、 7-9 年级“统计与概率”的内容与结构 7-9 年级的“统计与概率”主要是体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。 具体要求有以下几个方面： 从事收集、描述、分析数据，做出判断并进行交流，感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率； 能收集、选择、处理数字信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。 （一） 7-9 年级“统计与概率”的知识技能 “统计与概率”（ 7-9 年级） 在知识与技能方面，课程标准要求学生亲身经历收集、描述、分析数据的过程，并做出判断，进行交流；感受抽样调查的必要性，体会用样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率。具体包括统计和概率两个方面。 统计的知识技能主要包括：（ 1 ）从事收集、整理、描述和分析数据的活动的全过程，能用计算器处理较为复杂的统计数据。（ 2 ）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能会得到不同的结果。（ 3 ）会用扇形统计图表示数据。等等，共有 10 个方面的具体内容，请大家参看课本。 概率的知识技能主要包括：（ 1 ）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。（ 2 ）通过实验，获得事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。（ 3 ）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。 （二） 7-9 年级“统计与概率”中的数学思想方法 1-6 年级的“统计与概率”所渗透的数学思想方法主要有数形结合思想方法和 分类思想方法。当然， 7-9 年级的“统计与概率”的学习是在 1-6 年级的学习基础之上的进一步深入学习，除了关注上述两种数学思想方法外，还渗透了以下几种数学思想方法。 1 . 归纳思想 归纳法与概率之间存在着非常密切的联系。早在亚里士多德时代，人们就已经对归纳方法有了非常深入的了解和认识，而概率方法的真正被承认是在中世纪以后的事，而且正是由于归纳方法和实验方法在实践中遇到了困难才逐渐被人们所注意和重视，归纳法中的概率归纳推理（它是根据一类事件中部分事件出现的概率，推断出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理），是归纳法发展的极致，也是从归纳法向概率法发展的标志，概率归纳推理是由部分到全体的推理，它的特点是对可能性的大小做“量的方面”的估计。它的结论超出了前提所断定的范围，因而是或然的。 从某种程度上来说，归纳是一种特殊的概率，概率方法是归纳法的自然推广，概率是归纳法发展到一定程度的必然产物。概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳，它是对随机事件发生的结果的归纳，它并不关心事件发生的具体过程；而归纳法不仅关注事件发生的结果，它还关注事件发生的具体过程，它承认事件发生过程中的规律性，并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性。从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然。 7-9 年级的“统计与概率”内容及其学习要注意与归纳法紧密联系，通过归纳思想来理解 样本估计总体、随机现象及其概率等。 2 . 特殊化方法 所谓特殊化方法，它是将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究的一种思想方法。特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中。而数理统计思想方法是通过对样本的研究来把握总体内在规律的一种研究方法，换句话说，统计是通过对特殊事物的认识来把握一般性规律。因此，从某种意义上来说，数理统计思想方法是一种特殊化方法。 若将这两种数学思想方法作一比较则可以发现，特殊化方法主要处理确定性问题，它更侧重过程和对具体方法的把握；而统计思想方法则主要研究随机现象，它更强调对结果和整体思想的把握。事实上，数理统计思想方法并不局限在具体的方法层次，它主要是从思想层次来把握，可以说数理统计思想方法是一种真正意义上的特殊化思想方法，它是特殊化思想方法发展的高级阶段。如果把通常意义上的特殊化思想方法说成是一种狭义的特殊化思想方法，那么统计思想就是一种广义的特殊化思想方法。 3 . 用样本估计总体的思想方法 统计调查是获得第一手数据的重要途径，它们常常通过访问、邮寄、电话、电脑辅助等形式来收集数据；科学试验是取得自然科学数据的主要手段；各种文献资料、报刊杂志、广播、电视媒体等提供了大量的统计数据，通过这些资料或媒体可以获得第二手数据。全面调查和抽样调查是统计调查的常用方法，全面调查是对全体对象进行考察的一种统计调查。用样本估计总体是统计的基本思想，抽样调查是实际中经常采用的一种调查方式。 4 . 随机思想 对于数学知识的教学，约翰 布兰斯福特 认为：“教学要围绕大概念或大观点来联系和组织有效的学习，因此，就要求教师必须了解他们所教学科的结构，并以此作为认知路标来指导学生的作业，来评价学生的进步。”把这句话用在数学思想方法的教学上，就是教学中必须始终抓住数学思想的发展脉络，并围绕这一脉络来组织数学知识和数学思想网络。具体到初中“统计与概率”的教学，就应该牢牢把握随机思想这一核心思想并围绕这一思想来构建数学思想网络。 （三） 7-9 年级与高中的“统计与概率”的衔接问题 高中数学课程分必修和选修。必修课程由 5 个模块组成；选修课程有 4 个系列。必修课程是整个高中数学课程的基础，包括 5 个模块（数学 1 、数学 2 、数学 3 、数学 4 和数学 5 ），是所有学生都要学习的内容。其中数学 3 就包括：算法初步、统计、概率。 高中数学课程标准数学 3 指出：现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时也为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。 高中概率统计内容与初中的“统计与概率”的联系非常密切，可以认为，高中