博克斯-詹金斯预测.doc

第一章 博克斯詹金斯预测法第一节 概述一 模型简介博克斯詹金斯法，简称BJ法或ARMA法，是以美国统计学家Geogre E.P.Box和英国统计学家Gwilym M.Jenkins的名字命名的一种时间序列预测方法。它主要试图解决以下两个问题：一是分析时间序列的随机性、平稳性和季节性；二是在对时间序列分析的基础上，选择恰当的模型进行预测。其预测模型分为：自回归模型（简称AR模型）、滑动平均模型（简称MA模型）和自回归滑动平均混合模型（简称ARMA模型）。下面分别介绍这三种模型：1 自回归模型自回归模型的公式为： （91）式（91）中：p是自回归模型的阶数，原则上p可为任意非负整数，但是在实际应用中p的取值在12之间；Yt是时间序列在期的观测，Yt-1是该时间序列在t-1期的观测值，类似的，Yt-p是时间序列在t-p期的观测值；1, 2, p为自回归模型的参数；et是误差或偏差，表示不能用模型说明的随机因素。2 滑动平均模型滑动平均模型的公式为： （92）式（92）中：q是滑动平均模型的阶数，原则上q可为任意非负整数，在实际应用中q的取值在12之间；Yt是时间序列在t期的观测；et是时间序列模型在t期的误差或偏差，et1是该时间序列模型在t-1期的误差或偏差，et2是该时间序列模型在t-2期的误差或偏差，类似地，etq是时间序列模型在t-q期的误差或偏差；1, 2, p滑动平均模型的参数。3 自回归滑动平均混合模型自回归模型与滑动平均模型的有效组合，便构成了自回归滑动平均混合模型，即： （93） 各参数的含义和自回归和滑动平均模型相同。二 博克斯詹金斯法的基本思想博克斯詹金斯法依据的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，即除去个别的因偶然原因引起的观测值外，时间序列是一组依赖于时间t的随机变量。这组随机变量所具有的依存关系或自相关性表征了预测对象发展的延续性，而这种自相关性一旦被相应的数学模型描述出来，就可以从时间序列的过去值及现在值来于预测其未来值。可见，博克斯詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的。三 博克斯詹金斯法的预处理运用博克斯詹金斯法的前提条件是：作为预测对象的时间序列是一组零均值的平稳随机序列。平稳随机序列的统计特性不随时间的推移而变化。直观地说，平稳随机序列的折线图无明显的上升或下降的趋势如图91。但是，大量的社会经济现象随时间的推移，总表现出某种上升或下降的趋势，构成非零均值的非平稳的时间序列。对此的解决方法是在应用ARMA模型之前，对时间序列先进行零均值化和差分平稳化处理。1零均值化处理所谓零均值化处理，就是指对均值不为零的时间序列中的每一项数值都减去该时间序列的平均数，构成一个新的均值为零的时间序列，即： （94）式中：是原时间序列的平均数；n是时间序列的个数。2差分平稳处理所谓差分平稳处理，就是指对零均值的非平稳时间序列进行差分，使之成为平稳的时间序列。即对序列Yt进行一阶差分，得到一阶差分序列： （95）对一阶差分序列再进行一阶差分，得到二阶差分序列： （96）依此类推，可以得到n阶差分序列。一般情况下，非平稳序列在经过一阶差分或二阶差分后都可以实现平稳化。四 博克斯詹金斯法的预测流程博克斯和詹金斯在说明他们的预测方法时，曾绘制了图92所示的流程图。该预测方法把预测问题分为三个阶段：（1）模型识别；（2）模型参数估计和模型的检验；（3）预测应用。在图92中，先假设预测模型的一般分类，博克斯詹金斯法使用的模型是ARMA模型体系。第一阶段：利用自相关分析和偏自相关分析等方法，分析时间序列的随机性、平稳性和季节性，并选定一个特定的模型以拟合时间序列数据。模型的识别是博克斯詹金斯法预测中至关重要的一步。识别模型是否恰当，需要有一个可以比较的标准，这里给出的标准是：对一般ARMA模型体系中的一些特征，分析其理论特征，把这种特定模型的理论特征，作为鉴别实际模型的标准，观测实际资料与理论特征的接近程度。最后，根据这种分类比较分析的结果，来判定实际模型的类型。第二阶段：用时间序列的数据，估计模型的参数，并进行检验，以判定该模型是否恰当。如不恰当，则返回第一阶段，重新确定模型。第三阶段：当一个恰当的模型选定以后，便进入了第三阶段，即对将来的某一时刻的数值做出预测。第二节 重要参数解释一 ARMA模型的自相关分析博克斯詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的，以便识别时间序列的模式，实现建模和完成预测的任务。自相关分析就是对时间序列求其本期与不同滞后期的一系列相关系数和偏自相关系数，据以识别时间序列的特性。1自相关系数对时间序列Yt，Yt-k是其滞后1期数据形成的序列，Yt-2是其滞后2期数据形成的序列，一般地， Yt-k是其滞后k期数据形成的序列，时间序列相差k个时期的两项数据序列之间依赖程度或相关程度可用自相关系数rk表示： （97）式中：n是时间序列Yt的数据的个数；是时间序列的平均值。相关分析与回归分析中变量之间的相关系数说明两个不同变量之间的相关程度，而自相关系数则是说明同一变量在不同时期的数据之间的相关程度。自相关系数rk与相关分析中的相关系数一样，取值范围在1到1之间，即-1rk1。|rk|与1越接近，说明时间序列的自相关程度越高。自相关系数可提供时间序列及其模式构成的重要信息。对于纯随机序列，即一个完全由随机数字构成的时间序列，其各阶的自相关系数接近于零或等于零。而具有明显的上升或下降趋势的时间序列或具有强烈的季节波动或循环波动性质的时间序列，将会有高度的自相关性。这种信息的有用之处在于：我们对现有的时间序列数据及其模式无需任何的了解，就能得到其自相关系数。这些系数可以用来揭示我们所研究的时间序列数据的特性，并能帮助我们选定一个合适的模型。2偏自相关系数在时间序列中，偏自相关是时间序列在给定了的条件下，通过剔除其它各期的影响，与滞后k期时间序列之间的条件相关。它用来度量当其它滞后1,2,3,k-1期时间序列的作用已知的条件下，与之间的相关程度。这种相关程度可以用偏自相关系数来度量： （98）在博克斯詹金斯法中，偏自相关系数被用来配合自相关系数，共同辨认适当的ARMA模型。在自回归模型的识别中，我们可以用偏自相关系数来初步判定模型的阶数；在滑动平均模型中，我们可以用自相关系数来识别滑动平均模型。二 ARMA模型参数的初步估计1P阶自回归模型参数的初步估计阶自回归模型的公式为：（99）利用YuleWalker方程： （910）可求得参数的值。对于一阶自回归模型AR(1)，由式99可知： （911）对于二阶自回归模型AR(2)，由式910可得： （912）2q阶滑动平均模型参数的初步估计阶滑动平均模型的公式为： （913）由公式： （914）可求得参数 的值。对于一阶滑动平均模型MA(1)，由914式可得： （915）解915式得： （916）对于二阶滑动平均模型MA(2)，由914式得： （917）第三节 ARMA模型识别与检验一 ARMA模型的识别将时间序列的自相关系数与偏自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间，这种图就称为自相关分析图。博克斯詹金斯法中的自相关分析主要是利用自相关分析图来完成的。在自相关分析图中，自相关系数与偏自相关系数的置信区间（自相关分析图中的两条虚线之间的区域）都取为，这里n是指时间序列中所含的数据的项数。1P阶自回归模型的识别阶自回归AR()模型的公式为：它的偏自相关系数满足： （918）因此， （919）亦即，AR（p）模型的偏自相关系数kk是以p步截尾的。利用kk的截尾性就可以判定出AR（p）模型的阶数。以下是AR(1)和AR(2)的自相关分析图，以供参考之用。2Q阶滑动平均模型的识别q阶滑动平均MA(q)模型的公式为：它的自相关系数为： （920）因此， （921）亦即，当kq时，rk=0，但rq0，因，MA(q)模型的自相关系数rq具有q步截尾性。利用这一性质，可以判断出MA(q)模型的阶数。以下分别是MA(1)和MA(2)的自相关分析图。3ARMA模型的识别由于自回归滑动平均混合模型式由自回归和滑动平均两部分组成，其自相关系数与偏自相关系数多比单纯的自回归模型与滑动平均模型复杂，如图97所示。按照博克斯詹金斯法的要求，时间序列的项数应不少于50项，最好达到100项，自相关系数与偏自相关系数的滞后期最多不超过资料项数的1/4。这一点在使用ARMA模型时应当加以注意。二 ARMA模型的检验对所建的ARMA模型优劣的检验，是通过对原始时间序列与所建的ARMA模型之间的误差序列et进行检验来实现的。若误差序列et具有随机性，就意味着所建立的模型已包含了原始时间序列的所有趋势（包括周期性变动），从而将所建立的模型应用于预测是合适的；反之，若误差序列et不具有随机性，则说明所建立的模型还有改善的余地，应对模型进行修正或重新建模。误差序列的这种随机性可利用博克斯皮尔斯Q统计量法来进行。Q统计量可按下式计算： （922） 式中：m为ARMA模型中所含的最大时滞；n为时间序列观测值的个数。对于给定的置信概率1，查分布表中自由度为m的值，将Q与比较。若，则判定所选用的ARMA模型是合适的，可以用于预测。若，则判定所选用的ARMA模型不适合用于预测，应当进行进一步地改善。第四节 实例分析例1：表91是一个包含27期数据的时间序列。请选择恰当的ARMA模型，并求出该模型的参数。表91 27个数据的时间序列Yt 解：首先，画出该时间序列Yt的动态折线图，如图98。从图98中可以发现，该时间序列具有明显的上升趋势，不具有稳定性。因此，对时间序列Yt取一阶差分，得到一阶差分序列，图99是一阶差分序列的动态折线图，可以发现，一阶差分序列已经无明显的上升或下降趋势。对一阶差分序列进行自相关分析，得表92所示的数据。对照各ARMA模型的自相关分析图，可以发现这大体上符合AR(2)模型的特征。因此，初步判定本序列数据适用于二阶自回归模型。表92 一阶差分序列Yt的自相关分析表由表92得，r1=0.422，r2=-0.03。利用式912，得AR(2)参数1，2的初步估计为：由此，可得该AR(2)模型的公式为：由上式可得最终的预测模型：检验过程略。例2：表93是一个包含27期数据的时间序列。请选择恰当的ARMA模型。表93 45个数据的时间序列xt 解：首先，画出该时间序列xt的动态折线图，如图910。从图910中可以看出，该时间序列无明显的上生或下降趋势，因此，可直接计算其自相关系数如表94所示。其偏自相关系数序列成明显的衰减正弦曲线状，其自相关系数只有两个明显不为零。对照各ARMA模型的自相关分析图，可初步选定该时间序列适用于二阶滑动平均模型。表94 时间序列xt的自相关分析表 由表92得，r1=-0.418，r2=0.286，利用式917得：这是一个二元非线形方程组，解法从略。展望2002的博克斯詹金斯预测模型经过一系列的调整以后，已经能够自动进行模型的识别与优化，用户只需要输入数据，即可得到理想的输出结果，而无需进行任何的计算工作。第五节 博克斯詹金斯模型的评价博克斯詹金斯模型是除了神经网络模型（在第十一章将有详细地介绍）以外最通用的时间序列预测模型。前面介绍的时间序列预测方法，需要首先了解时间序列的发展模式，然后根据时间序列的这种模式建立某一预测模型，以实现预测。博克斯詹金斯法则无需了解时间序列的发展模式，而是通过对时间序列数据的具体分析，初步选定一个模型，然后通过一系列的统计方法来对该模型进行检验。如果通过检验，则该模型可以用于预测；如果不通过检验，则应对该模型进行调整或重新进行建模。这一过程可以反复进行，其最终结果可以保证所选用的模型的预测误差达到最小。因此，博克斯詹金斯模型适用于各种类型的时间序列。博克斯詹金斯法利用一套相当明确的准则来处理各种复杂的时间序列模式，其中所涉及的运算过程、参数估计等都有明确的公式可以遵循，而且博克斯詹金斯法的预测过程也是相当模式化的。这也是展望2002中博克斯詹金斯预测模型建立的原理。利用展望2002