数形结合在数学中的应用(卢鹏).doc

目目 录录 摘要 摘要 1 A ABSTRACTBSTRACT 1 第第 1 1 章章 绪绪 论论 3 第第 2 2 章章 数形结合在数学教学中的应用数形结合在数学教学中的应用 3 2 12 1 数形结合的原则数形结合的原则 3 2 22 2 数形结合在小学数学中的应用数形结合在小学数学中的应用 4 2 32 3 数形结合在初中数学教学中的应用数形结合在初中数学教学中的应用 5 2 42 4 高中数学高中数学 数形结合数形结合 的应用探究的应用探究 7 2 52 5 借助多媒体技术借助多媒体技术 有效运用数形结合有效运用数形结合 9 第第 3 3 章章 数形结合思想在实际问题中的应用数形结合思想在实际问题中的应用 12 3 13 1 利用数形结合思想解决一次函数方案性问题中的调配问题 利用数形结合思想解决一次函数方案性问题中的调配问题 12 3 23 2 利用数形结合思想解决函数与方程 方程组 利用数形结合思想解决函数与方程 方程组 函数与不等式的关系问题 函数与不等式的关系问题 13 3 33 3 利用数形结合思想解决二次函数方案性问题中的最值问题利用数形结合思想解决二次函数方案性问题中的最值问题 14 3 43 4 利用数形结合思想解决比赛问题利用数形结合思想解决比赛问题 15 第第 4 4 章章 数形结合在信息学竞赛中的应用数形结合在信息学竞赛中的应用 16 第第 5 5 章章 结结 论论 17 参考文献参考文献 18 致谢致谢 19 0 数形结合在数学中的应用数形结合在数学中的应用 卢鹏 数学与信息学院 数学与应用数学专业 2010 级 指导教师 邵艺 摘要 数形结合是一个数学思想方法 包含 以形助数 和 以数辅形 两个 方面 其应用大致可以分为两种情形 或者是借助形的生动和直观性来阐明数 之间的联系 即以形作为手段 数为目的 比如应用函数的图像来直观地说明 函数的性质 或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即 以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 本文首先阐述了数形结合的三个原则 然后再结合一些具体例题对初中数学 高中数学中数形结合思想进行粗略的探讨 以及在实际问题和信息竞赛中的应 用 在教学中 老师借助多媒体技术辅助教学 能使 数 由 形 来描绘 形 由 数 来表达 弥补传统教学方式直观性和立体感的不足 有利于学 生对数学知识的理解和掌握 培养学生解决问题能力 数 和 形 二者珠联 璧合 借助图形可将许多抽象的数量关系形象化 简单化 直观化 从而使学 生可以很好的掌握和理解数学知识 掌握数形结合的思想 可以起到事半功倍 的效果 关键词 数形结合 思想方法 抽象 直观 事半功倍 Several form combining in the application of mathematics Lupeng Department of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics Grade 2010 Instructor Shaoyi Abstract The Combination of number and shape is a mathematical way of thinking including helps the number by the shape and by the number auxiliary shape two aspects Their application can be roughly divided into two types Or with the help of vivid and intuitive to clarify the link between the number of contact for example we can know the characteristics of an elucidation function by the image of it to clarify 1 the shape of some of the properties Or explain the properties of the image using the 2 accuracy and normative of numbers That number as a mean the shape takes the goal such as the application of curve equation to clarify the geometric nature of the curve The standard first expounded the Combination of number and shape of the three principle then with some specific examples we discuss roughly with thoughts of the Combination of number and shape in middle and high school mathematics as well as practical problems in application and information in the race In the teaching teachers get help from multimedia technology assisted teaching he can make the number from shape to describe Shaped by the number to express make up for lack of immediacy and relief of the traditional teaching method in favor of students understanding and mastery of mathematical knowledge develop students problem solving skills Number and form perfect match with the graphics can make many abstract quantitative relationship visualizing simplified intuitive so that students can grasp and understand the mathematical knowledge better mastered the Number and Shape of ideas you can play a multiplier effect Keyword Combination of number and shape Method of thinking Abstract Visual Do more with less 3 第第 1 1 章章 绪论绪论 数与形是世界上万事万物共同存在的形式 数与形这两个基本概念是数 学的两块基石 二者珠联璧合 借助图形可将许多抽象的数量关系形象化 简 单化 直观化 将图形转化为代数问题可获得更加精确的结论 数形结合是一个 数学思想方法 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两 种情形 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数为目的 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质 或者是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如 应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 数学爱好者如果要很好的掌握 该数学知识 首先必须要求自身有一定的数学基础知识 再加上良好的抽象能 力 要勤于动手 勤于动脑 善于钻研 数形结合思想在现代数学领域是越来 越流行 随着数学知识越被深入的研究 数 和 形 的分界也愈发明显 于 是人们在研究数学时 也越难将 数 和 形 结合起来 本文将结合一些具 体例题对初中数学 高中数学等初等数学中数形结合思想进行粗略的探讨 使 数学爱好者首先可以很好的回忆起基本的数形结合的知识 在教学中 老师借 助多媒体技术辅助教学 能使 数 由 形 来描绘 形 由 数 来表达 弥补传统教学方式直观性和立体感的不足 有利于学生对数学知识的理解和掌 握 培养学生解决问题能力 起到事半功倍的作用 接着再循序渐进 举例说 明数形结合在实际问题和信息竞赛中的应用 把该数学思想应用到实际生活中 发挥数学的巨大价值 第第 2 2 章章 数形结合在数学教学中的应用数形结合在数学教学中的应用 2 12 1 数形结合的原则数形结合的原则 数形结合一般遵循以下三个原则 2 1 1 等价原则 等价原则是指 数 的代数性质与 形 的几何的转化应是对应的 即对 于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性 4 2 1 2 双向性原则 双向性原则是指几何形象直观的分析 进行代数计算的探索 2 1 3 简单性原则 简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理 既使几何形象优美又 使代数计算简单 明了 2 22 2 数形结合在小学数学中的应用数形结合在小学数学中的应用 2 2 1 以形助数 在直观中理解数 借助图形的直观性将抽象的数学概念 运算等形象化 简单化 给学生以 直观感 让学生以多种感官充分感知 在形成表象的基础上理解数学的本质 解决数学问题 形成数学思想的目的 小学数学内容中 有相当部分的内容是 计算问题 计算教学要引导学生理解算理 但在教学中很多老师忽视了引导学 生理解算理 尤其在课改之后 老师们注重了算法多样化 在计算方法的研究 上下了很大功夫 却更加忽视了算理的理解 我们应该意识到 算理就是计算 方法的道理 学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢 在教学时 教 师应以清晰的理论指导学生理解算理 在理解算理的基础上掌握计算方法 正 所谓 知其然 知其所以然 根据教学内容的不同 引导学生理解算理的策略 也是不同的 我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式 2 2 2 以数想形 帮助理解各种公式 在教学有关的数学公式时 如果只是让学生死记公式 这样只会将知识学 死 如果学生稍微碰到有变化的图形问题 就不能灵活解决 所以教师在教学 长方形周长公式的时候 就让学生借助图形充分理解公式的含义 求长方形周 长大体有三种方法 长 宽 长 宽 长 2 宽 2 长 宽 2 通过 对学生的前测 教师会发现学生对于前两种方法应用的比较多 第三种应用的 比较少 还有一部分学生对于第三种方法没有形象上的认识 只是知道有这样 一个公式可以求长方形的周长 知其然 而不知所以然 于是教师们可以应用 让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法 2 2 3 数形结合 借助表象发展空间观念 儿童的认知规律 一般来说是从直接感知到表象 再到形成概念的过程 5 表象介于感知和形成概念之间 抓住这中间环节 促使学生多角度灵活思考 大胆想象 对知识的理解逐步深化 发展学生的空间观念 具有十分重要的意 义 数学家华罗庚曾经说过 人们对数学早就产生了枯燥无味 神秘难懂的 印象 成因之一便是脱离实际 数形结合的思维方法 便是理论与实际的有机 联系 是思维的起点 是儿童构建数学模式的基本方法 数形结合思想是充分 利用 形 把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象 直观 从而丰富了 学生的表象 引发联想 探索规律 得到结论 总之 在小学数学教学中 数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象 材料 可以将抽象的数量关系具体化 把无形的解题思路形象化 不仅有利于 学生顺利的 高效率的学好数学知识 更有利于学生学习兴趣的培养 智力的 开发 能力的增强 使教学收到事半功倍之效 最关键一点 能使抽象枯燥的 数学知识 形象化具体化 使得数学教学充满乐趣 相信巧妙地运用数形结合 一定会引导学生由怕数学变成爱数学 2 32 3 数形结合在初中数学教学中的应用数形结合在初中数学教学中的应用 2 3 1 代数问题用几何方法解决 数与形在一定条件下是可以互相转化的 借助几何图形可以使代数问题更 简单 直观化 例2 1 一次函数的图像过 两点 则的解集bkxy 0 2 A 3 0 B0 bkx 是 A B C D 0 x0 x2 x2 x 方法一 由提意可知的图像是一条直线 又经过 两bkxy 0 2 A 3 0 B 点 于是可以很简单的作出图2 1 6 图 2 1 一次函数的图像bkxy 要使即 由图像可知 当时 图像位于轴下方 对bkxy 0 y2 xx 应的 所以解集为 故选C 0 y2 x 方法二 如果用代数方法来解此题 则需要把 两点的坐标分别带入一AB 次函数解出 的值 这样就增加了计算量 也给学生解题带 来一bkxy kb 些麻烦 2 3 2 数形结合可使复杂的问题简单化 巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题可起到事半功倍的 效果 例2 2 求方程组 的解的个数 xxy3 2 12 xy 首先画出函数与函数的图像 如图2 2 xxy3 2 12 xy 7 图2 2 方程组 的图像xxy3 2 12 xy 根据图2 2的交点个数就可以判定方程组的解的个数为2 分析 用代数方法来解此题就要采用消元的思想 即得 变123 2 xxx 形得 再根据根的判别式得 所以方程组有01 2 xxacb4 2 05 两个不同的根 所以方程组的解的个数为2 这样就比较复杂 没有图形直观 易懂 如果采用数形结合的方法 可知二次函数在直角坐标系中的坐xxy3 2 标点为 且图像开口向上 一次函数与直角坐标系的 0 0 A 0 3 B12 xy 交点为 是一条斜率为正的直线 学生依次作出俩个图像以 0 5 0 C 1 0 D 后 就会发现方程组 的解的个数就是这俩图像交点的个xxy3 2 12 xy 数 所以就是2 个解 总之数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维与 形象思维结合 发挥数与形的优势互补作用 巧妙应用数形结合能避免复杂的 推理与计算 能节约解题的时间 能起到事半功倍的效果 2 42 4 高中数学高中数学 数形结合数形结合 的应用探究的应用探究 2 4 1 以形助数 借助于几何直观性揭示数与式的内在规律 结合函数的图象或方程的曲线 利用数式的几何意义或已知图形性质 借 助于几何直观性常常能帮助理解概念 揭示数式的内在关系 有利于探求解题 8 途径 优化解题过程 许多问题 以形助数 不仅能避免繁杂冗长的计算与推 理 而且对问题会有更深刻 更全面的认识 以形助数求最值 例 2 3 图像法求的值域53 xxy 解 因为 3 22 xxy 53 8 xy 5 22 xxy 自己画图 得到图 2 3 图 2 3 的图像53 xxy 由图可知的值域是 53 xxy 8 2 4 2 以数辅形 用代数方法研究几何问题 9 在某些几何问题中 常常利用数量关系来揭示其几何性质 或借助数式的 推演 使之量化 从而准确揭示 形 的性质 或试着从 数 的运算角度辅 助 并运用有关代数公式与结论 获得直接应用几何定理难以推证的结果 例 2 在平行四边形中 将平面折ABCDABAD2 60BADCDB 成直二面角 求证 BDEADED 分析 欲证线线垂直 已知平面 平面 由题设条件只需证EDB ABD 可利用勾股定理转化 BDED 设 则 由余弦定理可得 在中 1 AB2 AD3 BDEBD BEDEBD 22 90EDB 平面 平面 平面 DBE ABDED ABD ADED 本题通过分析三角形中数量关系 由勾股定理揭示了 与之间的垂直EDBD 关系 从而使问题获证 这种情况很普遍 证中有算 在几何中是很常见的一类 问题 另外 利用向量可以解决线段相等 直线垂直 立体几何中空间角 异面 直线的角 线面角 二面角 和空间距离 点线距 线线距 线面距 面面距 建立坐标系 写出坐标 可以 以数定形 利用空间向量解决立体几何问 题 将抽象的逻辑论证转化为代数计算 以数辅形 大大降低了空间想象能力 是数形结合的深化 2 4 3 数形互助 在解题中串联 结合使用 许多数学问题既要借助于 形 的直观 同时又离不开 数 的刻划 数 形互助 在解题中串联 结合使用是数形结合思想的主要表现形式 它充分体 现了 数 与 形 之间相互联系 互为转化 相得益彰的那种辨证统一关系 纵观多年来的高考试题 利用数形结合思想解题比比皆是 因此 在教学中 应加以重视 并积极引导学生树立数形结合的思想 从而提高学生思维的广阔性 灵活性 提高学生的解题能力 10 2 52 5 借助多媒体技术借助多媒体技术 有效运用数形结合有效运用数形结合 2 5 1 借助图形演示 培养学生的数感 教学中 教师如果采用多媒体技术进行图形演示 建立抽象的数学概念与 形象的图形之间的联系 把数和形结合起来 可以丰富学习活动的感性材料 有利于学生数感的培养 如教学 1000 以内数的认识 教师借助多媒体课件辅助教学 第一层次 复习 10 个一是十 教师先出示一个正方体积木 再出示一排积木 问学生 有多少个积木 你是怎么数的 数了几个一 学生回答 一个一个地数 数了 10 个一 第二层次 教学 10 个十是一百 教师借助课件依次出示 2 排 3 排正方体积木 紧接着问 这是几个十 你是怎么数的 还是一个一个地数 吗 待学生回答问题后 教师再次引导学生 十 是我们以前学过的计 数单位 请注意观察 这是几个十 与此同时 教师连续播放课件 4 排 5 排 直至 10 排积木 问 10 个十是多少 这样 学生借助 形 很快 地知道 10 个十是一百 第三层次 教学 10 个百是一千 在借助 形 认识 10 个十是一百 的基础上 教师继续进行课件演示 一层一层往上摞 同 时问 这一层是一个百 这是有几层 是几个百 你是怎么数的 通过课 件直观 学生知道一个一个地数或者一十一十地数是件很麻烦的事 必须一百 一百地数 从而认识计数单位 百 紧接着 课件出示 4 层 5 层 10 层 积木 让学生一百一百地数 当数到 10 层 10 个百 时 教师追问 这是几 个百 10 个百是多少 由此引出计数单位 千 使学生知道 10 个百是一 千 在这一教学中 多媒体技术功不可没 它直观形象地将 数 与 形 有 机结合 不仅帮助了学生理解数的概念 而且还在图形的不断变换中培养学生 的数感 这是传统教学手段所达不到的效果 2 5 2 变静态为动态 帮助学生理解掌握 教材内容是静态呈现的 这对学生理解掌握知识带来困难 因此 教师可 以把图片情境由静态变为动态 把知识形成的过程淋漓尽致地显现在学生的眼 前 这样 不仅能有效地激发学生探究新知识的兴趣 还能使学生快速直观地 了解知识形成的动态过程 从而帮助学生对知识的理解和掌握 11 如教学 两位数加两位数 进位加法 时 为了突破难点 在学生动手 操作的基础上 借助多媒体设计展示这样的演示环节 先出示 4 捆零 5 根小棒 表示 45 再出示 3 捆零 8 根小棒 表示 38 这时画面显示整捆对齐整捆 单根 对齐单根 紧接着动态演示 把 13 根单根中的前 10 根捆成一捆 放在整捆下 面 其余 3 根小棒仍保留在单根处 这样的演示过程使学生一下就明白了 满 十进一 突破了教学难点 帮助学生理解抽象的概念 2 5 3 积累感性材料 引导学生合理猜想 在小学数学教学中 要实现数形结合 提高学习效率 可以利用多媒体技 术提供感性材料 通过形象思维这个中间环节 提高学生抽象思维的能力 化 难为易 化繁为简 加深学生对某些抽象关系的理解 如教学 积的变化规律 时 多媒体课件先出示图 2 4 图 2 4 矩形面积80 30 ba 让学生计算出它的面积 30 80 2400 平方米 接着 多媒体课件动 态演示 此长方形的长不变 将宽延长 3 倍 但不告诉学生延长了多少 让学 生观察图形 并猜测它的面积大约是多少 当学生说出 7200 平方米时 教师追 问 为什么 学生说是宽扩大了 3 倍 教师借助课件验证宽确实扩大了 3 倍 然后教师继续课件动态演示 将图 1 的宽缩小到原来的 1 3 长不变 同样也不 告诉宽缩短了多少 让学生猜测这个长方形的面积是多少 当学生基本上能说 12 出 800 平方米时 教师追问 为什么 并让学生观察所列算式 再结合图形 的变化 说说自己的发现 然后教师问 请同学们继续想象 如果这个长方 形的宽仍然不变 长边的长度继续乘几 那它的面积还是乘几吗 如果长除以 几 面积也会除以几吗 请把你想象的乘法算式写出来 这样 通过多媒体 技术动态演示长方形面积大小的变化 使得积的变化规律这一抽象的概念形象 化 为学生积累丰富的感性材料 给学生进行大胆合理的猜想提供充分的空间 总之 多媒体既生动形象 又音形兼备 在众多的教学媒体中具有独特的 优势 特别是在表现数形结合思想时具有无与伦比的强大功能 但是 教师在 选用多媒体技术应用于数形结合教学中时 首要原则是多媒体要服从教学目标 选择适当的数学知识使用 才能恰到好处 获得传统教学方法无法体现的最佳 效果 第第3 3章章 数形结合思想在实际问题中的应用数形结合思想在实际问题中的应用 3 13 1 利用数形结合思想解决一次函数方案性问题中的调配问题 利用数形结合思想解决一次函数方案性问题中的调配问题 例 3 1 在八年级上册一次函数这一章 有这样一个问题 城有肥料200吨 城有肥料300吨 现在要把这些肥料全部运往 ABC 两乡 从城往 两乡运肥料的费用分别为每顿20元和25元 从城往DACDB 两乡运肥料的费用分别为每顿15元和24元 现乡需要肥料240吨 CDC 乡需要肥料260吨 怎样调动总运费最少 D 这一道题 是典型的方案性问题 是历年中考的一个热门考题 许多考生 尤其是基础较差的考生 此题丢分非常厉害 究其原因是 此题涉及到的已知 数据较多 容易张冠李戴 造成数据上的混乱 在解答该问题的过程中 学生只需简单的画出示意图 问题便迎刃而解了 而且对于变量 表示城运往城的肥料吨数 表示需要的总费用 xxACyy 之间关系的表达也显得非常简单 一次函数也就100404 60 24 240 15 200 2520 xxxxxy 轻易的得出 其中自变量的取值范围是一个难点 但由实际情况也较轻易得x 13 到 从而解出 再次利用数形结合 解析式与函数图象 2000 x 图 3 1 的图像100404 xy 得出 当时 有最小值10040 0 xy 3 23 2 利用数形结合思想解决函数与方程 方程组 利用数形结合思想解决函数与方程 方程组 函数与不等式的关系问题 函数与不等式的关系问题 例如 利用函数的图像 122 xy 图 3 2 的图像122 xy 就能知道方程的解为 不等式的解集为 0122 x6 x0122 x6 x 14 不等式的解集为 0122 x6 x 3 33 3 利用数形结合思想解决二次函数方案性问题中的最值问题利用数形结合思想解决二次函数方案性问题中的最值问题 例如 有一道中考模拟题 某家家乐小超市销售某种品牌的糖果 已知进价为每斤10元 市场调查发 现 若每斤以20元销售 平均每天可以销售10斤 价格每降低1元 平均每天多 销售4斤 但售价不能低于14元 设每箱降价元 为正整数 xx 1 写出平均每天销售 斤 与 元 之间的函数关系式与自变量的yxx 取值范围 2 何定价才能使超市平均每天销售这种糖果的利润最大 最大利润为多少 在 1 问中 我们并不难得出 60 104 xxy 在 2 问中 设每斤降价元 利润为元 我们也不难得出 xw 即 100304 2 xxw25 156 75 3 4 2 xw 结论是否正确呢 显然 这个答案中 2 是错误的 那么 错在哪里 很显然 错在我们的x 不能小数 应该取正整数 那么 到底取多少呢 怎样处理此题 不妨试试x 下面的方法 在平面直角坐标系中 画出图像 100304 2 xxw 图 3 3 的图像100304 2 xxw 15 从图像中 就可以看出 当时 有最大值156 从函数图象上的最4 xw 高点 最低点 或接近最高点 最低点 可以很快找到函数的最值 这便是图 像带给我们的好处 3 43 4 利用数形结合思想解决比赛问题 利用数形结合思想解决比赛问题 在七年级下册学过 利用不等式关系分析比赛 这一节的学生都知道 这 一节要想学好 真的是不容易 而且作为传授知识的老师 也非常清楚 要想 将这一节涉及到的知识能让学生能轻松 愉快的接受 这也是非常难的 数形结合的好处 现举例说明 有五个队分别在同一小组进行单循环足球比赛 争夺出线权 EDCBA 比赛规则规定 胜一场得3分 平一场得3分 负一场得0分 小组中名次在前的 两个队出线 小组赛结束后 队的积分为9 A 讨论 如果小组中有一个队的成绩为全胜 队能否出线 A 在课本上 分析提示 如有一个队胜4场 则它的积12分并且名次为小组第 一 为分析问题方便 不妨设这个队为队 队能否出线取决于三个BAEDC 队中是否有积分不少于9的队 分析这三个队中任何一队的积分数应满足的不m 等式关系 得出与9的大小关系 从而可以判断队积9分时能否出线 mA 由 队的积分9分 这一条件可知 队3胜0平1负 因为小组中有一个AA 队的成绩为全胜 所以 队得12分 队得9分 而 队最高也只能得6CADB E 分 所以队能出线 A 16 第第4 4章章 数形结合在信息学竞赛中的应用数形结合在信息学竞赛中的应用 例4 1引理的证明 Raney 设整个序列 且部分和 序列中所有 NiAA i 2 1 kk AAS 1 数字的和 1 n S 证明 在的个循环表示中 有且仅有一个序列 满足的任意部分ANBB 和均大于零 i S 目标图形化 周期性的推广A序列 得到一个无穷序列 便于观察其循环表 示 得到 2121nn AAAAAA 同时计算这个序列的部分和 因为这个序列是周期性的 因此对于所有 i S 的 均有 如果做出这个函数的图形 就可以说明函数有一个0 k 1 knk SS 平均斜率 为 每沿横轴正方向走个单位 函数值就增加 1 于是可以 N 1 N 做出图像 证明就出来了 一个简单的几何论证就证明了著名的引理 其简练是其他方法不能Raney 企及的 引理有很