2011人教版数学26.1反比例函数的意义.doc

261 反比例函数的意义 数学目标 1知识与技能 会识别相关量之间的反比例关系，理解反比例函数的意义，能确定简单的反比例函数关系式 2过程与方法 通过对实际问题的分析、类比、归纳，培养学生分析问题的能力，并体会函数在实际问题中的应用 3情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，又能为社会服务，在实际问题的分析中感受数学美 教学重点难点 重点：反比例函数意义的理解 难点：反比例函数的建模 课时安排 1课时 教与学互动设计 （一）创设情境，导入新课问题：1京沪线铁路全长1 463km，某次列车的平均速度vkm/h随此次列车的全程运行问题th的变化而变化，其关系可用函数式表示为： vt =1 463或v= 2某住宅小区要种植一个面积为1 000m2矩形草坪，草坪的长ym随宽xm的变化而变化，可用函数式表示为 yx =1 000或y= 3已知北京市的总面积为1.68104km2，人均占有的土地面积Skm2/人，随全市总人口n人的变化而变化，其关系可用函数式表示为 sh =1.68104或S= （二）合作交流，解读探究 【分析】 上述问题中的函数关系式都有y=的形式，其中k为常数 归纳 一般地，形如y=（k为常数，且k0）的函数称为反比例函数。（inverseprorportional function） 注意 在y=中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以x的取值范围 x0 探究 在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别的两个量是否成反比例函数关系的关键 （三）应用迁移，巩固提高 例1已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6 （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时y的值 【点拨】（1）由题意，可设y=，把x=2，y=6代入即可求得k，进而求得y关于x的函数关系式（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y的值 解：（1）设设求函数解析式为y=，把x=2，y=6代入得6=，解得k=12，所以解析式为y=； （2）将x=4代入y=，得y=3，所以当x=4时，y=3 例2（2005年中考盐城）反比例函数y=与直线y=-2x相交于点A，且点A的横坐标为-1，则此反比例函数的解析式为 （ ） Ay= By= Cy=- Dy=- 【点拨】 将x=-1代入y=-2x得，y=2，所以A点坐标为（-1，2）；因为点A在反比例函数y=的图象上，所以2=，所以k=-2，因此选C 【答案】 C 例3下列关系中说法不正确的是（ ） A在y=-1中，y+1与x成反比例 B在xy=-2中，y与成正比例 C在y=中，y与x成反比例 D在xy=-3中，y与x成反比例 【分析】 两个量是否成反比例，关键是看这两个量的积是否是一个定值从题中可以看出A中的y+1与x之积为-1，C中的y与x2的积为，但y与x的积不是定值，所以C是错误的 【答案】 C 备选例题 （2005年中考变式扬州）若反比例函数y=与一次函数y=2x-4的图象都过点A（m，2） （1）求点A坐标 （2）求反比例函数解析式 【答案】 （1）（3，2），（2）y= （四）总结反思，拓展升华 1两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征 2反比例函数的定义的理解是解决反比例函数问题的基础和保证 3知识应用： （1）识别两个量是否成反比例关系 （2）识别两个变量构成关系式是否成反比例函数式 （3）确定简单的反比例函数关系式 （五）课堂跟踪反馈 夯实基础 1写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数 （1）平行四边形面积是24cm2，它的一边长xm和这边上的高hcm之间的关系是 xh=24 （2）小明用10元钱与买同一种菜，买这种菜的数量mkg与单价n元/kg之间的关系是 mn=10 （3）老李家一块地收粮食1 000kg，这块地的亩数S与亩产量tkg/亩之间的关系是 st=1 000 （4）刘飞骑自行车行驶了100千米的路程，他行驶的时间t小时和速度v千米/时之间的关系是 vt=100 （5）某小区绿地总面积是400m2，该小区的人口数y和人均绿地面积数x之间的关系是 xy=400 2若y是x-1的反比例函数，则x的取值范围是 x1 3若y=是y关于x的反比例函数关系式，则n是 2 4把xy=-1化为y=的形式，其中k= -1 5指出下列函数关系式中，哪一个成反比例函数关系，并指出k的值 （2）y=- （2）xy= （3）=1 （4）y= （5）y=- （6）y= 【答案】 成反比例函数关系的是（2）（5），它们的k值分别为和 提升能力 6已知y是2x的反比例函数，当x=时，y=1 （1）求y与2x的函数关系式； （2）当x=-时，求y的值； （3）当y=-时，求x的值 【答案】 （1）y=； （2）y=-2； （3）x=-1 开放探究 7若y与x3成反比例，且x=2是y= （1）求y与x3的函数关系式； （2）求y=-16时x的值 【答案】 （1）y=； （2）x=- 教学反思1712 反比例函数的图象和性质 教学目标 1知识与技能 会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质能用反比例函数的定义和性质解决实际问题 2过程与方法 通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征 3情感、态度与价值观 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣 教学重点难点 重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析 课时安排 2课时第1课时 （一）创设情境，导入新课 问题：1若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n或n-1 2用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 3试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x； （2）y=1-2x （二）合作交流，解读探究 问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k0）的图象是什么样呢？ 尝试 用描点法来画出反比例函数的图象 画出反比例函数y=和y=-的图象 解：列表x-6-5-4-3-2-1123456y=-1-1.5-2-631y=-11.236-1.5 （请把表中空白处填好） 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来 探究 反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=和y=-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称 归纳 反比例函数y=和y=-的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成 （2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴） （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola） 此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象 交流 两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】 由y=和y=-的图象及y=和y=-的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？ 猜想 反比例函数y=（k0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】 （1）反比例函数y=（k为常数，k0）的图象是双曲线 （2）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小 （3）当k0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k0）在同一坐标系中的图象 （ ） 【分析】 对于y=kx来说，当k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象在一、三象限，当k 0，在图象的每一支上，y值随x的增大而 减小 2下列图象中，是反比例函数的图象的是 （D） 3（2005年中考东营）在反比例函数y=（kx20，则y1-y2的值为 （A） （A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数 提升能力 4（2005年中考苏州）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可是_（写出满足条件的一个k值即可） 【答案】 略 5在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数图象上 y= （填函数关系式） 6若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象一定在 二、四 象限 开放探究 7两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？ 【答案】 不会相交，因为当k1k2时，方程无解 8点A（a，b）、B（a-1，c）均在反比例函数y=的图象上，若a0，则b 0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小 （2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上 例2（2005年中考河南）三个反比例函数y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系 【分析】 由图象所在的象限可知，k10，k30；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而cb0，因而k3k2k1 【答案】 k3k2k1例3直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求SABC 解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以SAOC=SBOC 设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=x1，OC=y1 故SAOC=ACOC=x1y1=6=3， 从而SABC=2SAOC=6 备选例题 1（2005年中考兰州）已知函数y=-kx（k0）和y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则SBOC=_ 2（2005年中考常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标 【答案】 12； 2y=x，（-3，-1） （四）总结反思，拓展升华 反比例函数的性质及运用 （1）k的符号决定图象所在象限 （2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质 （3）从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S=k （4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用 （五）课堂跟踪反馈 夯实基础 1判断下列说法是否正确 （1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴（） （2）在y=中，由于30，所以y一定随x的增大而减小（） （3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-的图象上，则abc（） （4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）（） 2设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x10x2时，有y1y2，则m的取值范围是 m3 3点（1，3）在反比例函数y=的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y随x的增大而 减小 4正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3x-1时，反比例函数y的取值范围 【答案】 （1）-， （2）-49- 提升能力 5（2005年中考资阳）已知正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k20）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A） A（2，1） B（-2，-1） C（-2，1） D（2，-1） 6（2005年中考沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（ky2 【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-； （2）（-2，1）； （3）-2x0，因此电流I与电阻R的函数图象应该是双曲线在第一象限内的一支，故选A 【提升】 本题是跨学科知识之间的联系，问题的解决需要相关的物理学知识，首先知道物理学中的电流I与电阻R的反比例函数关系同时还必须兼顾到在这个实际问题中自变量R的取值范围 例2 在函数y=-的图象上有三点（-1，y1），（-，y2），（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（D） 【解析】 由于k=-20，所以此函数的图象在二、四象限，且在每个象限中函数值随着自变量值的增加而增加，根据所给出的三点的横坐标知道其中的两个点在第三象限，一个点在第四象限，那么在第四象限的纵坐标y最小，第二象限内的两个点，横坐标大的，其纵坐标也大，所以y1y2，因此y3y10 Bk1 Ck0 Dk=0 2若y与x成正比例，x与成反比例，则y与z之间的关系为（A） A成正比例 B成反比例 C既不成正比例，也不成反比例 D无法确定 3下列几个关系中，成反比例关系的是（C） A正三角形的面积与其周长 B人的身高与年龄 C三角形面积一定时，一边与这边上的高 D矩形的长与宽4函数y=-x与y=在同一直角坐标系中的图象是（B） 5已知，如图所示的P是反比例y=函数图象上的一点，若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（B）Ay= By=- Cy= Dy=- 6已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（A） A（-a，-b） B（a，-b） C（-a，b） D（0，0） 二、填空题（每题4分，共24分） 7双曲线y=-经过点（-2， 1 ）； 8若函数y=的图象经过点（，-4），则k= -4 ，此图象在 二、四 象限，在每一个象限内y随x的减小而 减小 ； 9u与t成反比例，且当u=6时，t=，这个函数解析式为 t= 10已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 y=-+2 ； 11已知一次函数y=mx与反比例函数y=的图象相交于点（1，3），求该直线与双曲线的另一个交点坐标（ -1，-3 ）；