相交线、平行线知识精讲.doc

用心 爱心 专心 七年级数学相交线 平行线七年级数学相交线 平行线华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 相交线 平行线 学习要求 1 理解垂线段的概念 点到直线的距离 垂线的性质 2 会过一点作已知直线的垂线 3 掌握对顶角的概念和性质 并会应用 4 理解同位角 内错角 同旁内角的概念与区别 5 会识别三线八角 6 掌握平行线的概念 平行线的画法 7 理解经过已知直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 8 掌握平行线的特征 掌握识别平行线的方法 知识内容 一 相交线部分 1 相交线的定义 在同一平面内 如果两条直线只有一个公共点 那么这两条直线叫做相交线 如图 AB 与 CD 相交于点 P A C P D B 2 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线 那么这两个角就叫做对顶 角 如图 A D 3 4 C B 1 2 和 和都是对顶角 1 2 3 4 由此可见 对顶角具有三个特征 1 有两个角 2 有一个公共顶点 3 角的两边互为反向延长线 所以两条直线相交 就构成了两对对顶角 3 对顶角的性质 对顶角相等 4 关于垂线 在垂线定义中 两条直线相交成四个角中哪一个角是直角 都可以判定两条直线垂直 反之 已知两直线垂直 那么它们的四个交角中无论哪个角都是直角 5 垂线的性质 用心 爱心 专心 1 过直线上或过直线外一点 可以作这条直线的一条垂线 并且只能作一条 2 垂线段最短 6 点到直线的距离 这里的距离是指垂线段的长度 而不能说垂线段是距离 7 同位角 内错角 同旁内角 2 7 图 1 3 1 4 6 5 8 同位角 在两条直线的上方 与下方 在另一条直线的同侧的角是同位角 如图 1 中 同位角有和 和 和 和 1 5 2 6 3 7 4 8 内错角 在两条直线的内侧 在另一条直线的两旁的角是内错角 如图 1 中 和 3 和都是内错角 5 4 6 同旁内角 在两条直线的内侧 在另一条直线的同旁的角是同旁内角 如图 1 中 和 和是同旁内角 3 6 4 5 图 1 就是三线八角 二 平行线部分 1 平行线定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 如图 2 a b 图 2 理解此概念关键有两点 1 在同一平面内 2 不相交 在同一平面内 两条不重合的直线有两种位置关系 1 相交 2 平行 2 平行线的画法 按 一落 二靠 三移 四画 的过程进行 一落 用三角板的一边落在已知直线上 二靠 用直尺紧靠三角形的另一边 三移 沿直尺移动三角板 使三角板与已知直线重合的边过已知点 四画 沿三角板过已知点的边画直线 3 平行公理 即平行线的基本性质 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 由平行公理还可以得到一个推论 即平行线的基本性质二 定理 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 4 平行线的判定 1 同位角相等 两直线平行 用心 爱心 专心 2 内错角相等 两直线平行 3 同旁内角互补 两直线平行 4 在同一平面内 如果两条直线同时垂直于同一条直线 那么这两条直线平行 5 平行线的性质 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角互补 4 垂直于两平行线之一的直线 必垂直于另一直线 典型例题典型例题 例 1 已知 如图 直线 AB 和 CD 相交于 O 于 O 于 O OE CD OF AB 求和的度数 DOF65 BOE AOC F D A O B C E 分析 分析 由图形和已知条件知和互余 和互余 且 BOD DOF BOE BOD 和是对顶角 BOD AOC 解 解 OF ABDOF 65 垂直定义 BOD906525 对顶角相等 AOCBOD25 OE CD 垂直定义 BOE902565 小结 垂线概念为重点 若已知两条直线垂直 则四个交角均为直角 根据题目的需 要选用一个即可 这是常用的证题方法 例 2 已知 如图 于 O OD 平分 OE 平分 求的AO BO BOC AOC EOD 度数 A E C D 2 1 O B 分析 分析 根据角平分线的概念及垂直的概念 即可求出的度数 EOD 解 解 已知 AO OB 垂直定义 AOB90 OD 平分 OE 平分 已知 BOC AOC 角平分线定义 1 1 2 2 1 2 BOCAOC 用心 爱心 专心 EODBOCAOC12 1 2 1 2 9045 例 3 已知 如图 中 同位角有哪些 内错角有哪 123456 些及同旁内角有哪些 2 1 6 3 4 5 分析 分析 注意区分这三种角 严格按定义去找 解 解 同位角有和 和 1 3 4 6 内错角有 和 和 2 4 5 3 同旁内角 和 和 和 和 和 3 4 1 2 2 5 5 6 1 6 例 4 读下列语句 并画出图形 1 直线 AB CD 是相交直线 点 P 是直线 AB CD 外的一点 直线 EF 经过点 P 与直 线 AB 平行 与直线 CD 相交于 E 2 点 P 是直线 AB 外的一点 直线 CD 经过点 P 且与直线 AB 平行 分析 分析 画平行线是几何画图的基本技能之一 在以后的画图中 常常会遇到画平行线 的问题 我们可以采用直尺和三角板来画 固定直尺不动 按要求移动三角板画出平行线 如图 1 2 D P E F A B C 图 1 C P D A B 图 2 例 5 已知 如图 直线 AB CD 被 EF 所截 求证 AB CD 12 E A 3 B C D F 5 1 4 2 分析 分析 欲证 AB CD 根据平行线判定公理和定理 只需证明或或 32 14 或即可 34 35180 证明 证明 对顶角相等 13 已知 12 等量代换 32 用心 爱心 专心 AB CD 同位角相等 两直线平行 小结 本题也可先证明 利用 内错角相等 两直线平行 来证 还可先证 34 明 利用 同旁内角互补 两直线平行 来证 35180 例 6 已知 如图 BE 平分 求证 BC DE ABC 12 A D E B C 3 1 2 证明 证明 BE 平分 已知 ABC 角平分线定义 13 又 已知 12 等量代换 32 BC DE 内错角相等 两直线平行 例 7 已知 如图 DE BC 求 DDBC 21 12 DEB D E 2 B C 1 分析 分析 图形中 DE BC BD 与 BE 都可以是平行线的截线 根据平行线的性质 有 DEB1 D12180 再结合已知条件可求 DEB 解 解 DE BC 已知 两直线平行 同旁内角互补 DDBC180 又 已知 DDBC2 等量代换 DBC60 已知 DBC1212 等量代换 130 又 已知 DEBC 两直线平行 内错角相等 1DEB 等量代换 DEB30 总结 平行线有 3 个性质 其基本图形都是两条平行线被第三条直线所截 在本例求 解过程中 关键是在复杂图形中辨认出应用性质的基本图形 利用性质和已知条件求解 例 8 已知 如图于 E 求证 AE BC 12DC BC 用心 爱心 专心 D A B C E 1 2 分析 分析 证明两条直线互相垂直的方法有两种 即 由垂直的定义证或者由判定定理 垂直于两平行线之一的直线 必垂直于另一直线 证出 证法证法 1 1 已知 12 AE DC 内错角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 DCBAEB 又 已知 AE BC 垂直定义 AEB90 等量代换 DCBAEB90 垂直定义 DC BC 证法证法 2 2 已知 12 AE DC 内错角相等 两直线平行 又 已知 AE BC 垂直于两平行线之一的直线 必垂直于另一条直线 DC BC 小结 比较两种方法 例 9 已知 如图 AB CD 直线 EF 分别截 AB CD 于点 M N MG NH 分别是 与的平分线 求证 MG NH EMB END E G 1 A M B H 2 C N D F 分析 分析 要证明 MG NH 只需证 12 证明 证明 AB CD 已知 两直线平行 同位角相等 EMBEND 又MG NH 分别是与的平分线 已知 EMB END 1 1 2 EMB 角平分线定义 2 1 2 END 等量代换 12 同位角相等 两直线平行 MGNH 小结 本例题说明 如果两条平行线被第三条直线所截 那么同位角的平分线互相 用心 爱心 专心 平行 例 10 已知 如图 直线 EF 过的顶点 A 且 EF BC 求证 ABC 3180BC A E 1 2 F B C 3 分析 分析 要证 只需证 3180BC 123180 证明 证明 EF BC 已知 1B 两直线平行 内错角相等 2C 又EAF 是一直线 已知 平角定义 132180 等量代换 BC3180 模拟试题模拟试题 答题时间 45 分钟 一 选择 1 下列说法错误的是 A 垂线段最短 B 垂线段不是最短的 C 两直线相交成四个角中 有一个角是直角 其它三个角也都是直角 D 点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 2 如图 图中与是内错角关系的角有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 3 如图 是内错角 2 1 3 4 A 和B 和 1 2 2 3 C 和D 和 1 4 3 4 4 如图 是同位角 用心 爱心 专心 D A B C 6 1 2 3 4 5 A 和 和 C 6 6 D B 和 和 2 3 1 D C 和 和 2 6 3 4 D 和 和 1 D 6 D 5 下列说法正确的是 A 经过一点有一条直线与某一直线平行 B 经过一点有无数条直线与已知直线平行 C 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6 已知直线 AB CD 直线 EF 交 AB CD 于 G H 则 BGE75 CHF A B C D 15 75 105 255 7 已知 AB CD 若是的 2 倍 则 2 1 2 A B C 2 D 1 A B C D 60 90 120 150 8 已知 如图 直线 于 O BC 交于 E 若 则 ll 12 AB l 1 l2 143 2 A l1 O B 2 l2 E C 1 A B C D 43 47 137 133 9 已知 如图 点 A O B 在一条直线上 OC 为一射线 OD OE 分别平分 BOC 则 OD 和 OE 的位置关系 AOC C E D A O B 用心 爱心 专心 A 互相平行B 相交C 互相垂直D 无法确定 10 如图 图中小于平角的角有 D C A O B A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 二 填空 1 如图 于 O 和的度数之比是 1 5 则 BO OA BOC BOA COA 的补角 BOC B C O A 2 如图 于 O 于 O 则 OA OC OB OD 155 2 3 D C B O A 3 1 2 3 如图 AB EF DC EG BD 则图中与相等的角 除外 共有 个 1 1 D C E F 1 A G B 4 如图 于 O 且 则AO BO AODDOC 32 BOCAOD 53 DOC D C A O B 5 如图 已知 AB CD EG 平分 若 则 BEF 158 2 3 用心 爱心 专心 A 3 B E 1 2 C F G C 三 解答题 1 已知 如图 BF 和 DE 分别平分和 求 ABCADC ABC ADC 12 证 DE FB D F C A E B 3 2 1 2 已知 如图于 B 于 C 求证 DC EFAB BC CD BC 12180 D E A B F C 2 1 3 已知 求证 12 CD AF D E F A B